A parte inicial desta tese está relacionada com o formalismo das integrais de Feynman num espaço curvo. Desenvolvemos um processo de quantização para uma partícula movendo-se em uma variedade Riemeniana de dimensão n a qual tem o mérito de ser canonicamente invariante. O método é baseado na teoria de Faddeev-Fradkin para sistemas com Lagrangeanas degeneradas e conduz à proposição de De Witt para a equação de Schredinger. Na segunda parte tratamos dos processos aleatórios. Obtemos uma equação de evolução para um sistema de partículas não interagentes movendo-se em um espaço curvo considerado como um espaço euclidiano vinculado. A equação de evolução reproduz corretamente, para tempos pequenos, o comportamento mecânico do sistema e, para intervalos de tempos maiores, a equação da difusão. Fazemos uma aplicação para o rotor planar sujeito à colisões térmicas como uma primeira aproximação ao estudo da auto correlação de dipolos rígidos
A parte inicial desta tese está relacionada com o formalismo das integrais de Feynman num espaço curvo. Desenvolvemos um processo de quantização para uma partícula movendo-se em uma variedade Riemeniana de dimensão n a qual tem o mérito de ser canonicamente invariante. O método é baseado na teoria de Faddeev-Fradkin para sistemas com Lagrangeanas degeneradas e conduz à proposição de De Witt para a equação de Schredinger. Na segunda parte tratamos dos processos aleatórios. Obtemos uma equação de evolução para um sistema de partículas não interagentes movendo-se em um espaço curvo considerado como um espaço euclidiano vinculado. A equação de evolução reproduz corretamente, para tempos pequenos, o comportamento mecânico do sistema e, para intervalos de tempos maiores, a equação da difusão. Fazemos uma aplicação para o rotor planar sujeito à colisões térmicas como uma primeira aproximação ao estudo da auto correlação de dipolos rígidos
Este trabalho está dedicado a estudar a consistência global da dinâmica quântica de sistemas não-comutativos. Nosso ponto de partida é a teoria de sistemas vinculados, dado que esta provê uma descrição uni cada da dinâmica clássica e quântica para os modelos a serem investigados. Analisamos o problema relacionado com a existência da série de Born e unitariedade e focamos, na seqüência, na formulação funcional da dinâmica quântica dos sistemas não-comutativos. A compatibilidade entre as abordagens funcional e operatorial é substanciada de forma geral. Subseqüentemente, a transformada de Weyl generalizada de índice α é usada para implementar a de nição "via time-slicing" da integral de caminho no espaço de fase, o que nos permite calcular o correspondente propagador de Feynman. Como esperado, esta representação para o propagador de Feynman não é única, mas rotulada pelo parâmetro real α. Provamos que as contribuições dependentes de α desaparecem no limite quando o "slice" de tempo tende a zero, tal qual é requerido pela consistência da formulação. Esta prova é intrincada pois o Hamiltoniano envolve, necessariamente, produtos de operadores não comutantes. A anti-simetria da matriz que parametriza a não-comutatividade joga um papel fundamental no mecanismo de cancelamento dos termos dependentes de α. Por m, estudamos a implementação do processo formulado por Batalin, Fradkin e Tyutin (BFT), o qual permite transformar esses sistemas em uma teoria de calibre Abeliana exibindo apenas vínculos de primeira classe. A adequação da imersão BFT, como aplicada neste trabalho, é veri cada demonstrando que existe um mapeamento isomór co que conecta o modelo de segunda classe com o setor invariante de calibre da teoria de calibre. Como é sabido, a quantização funcional de uma teoria de calibre exige a eliminação da liberdade de calibre. Então, temos a nossa disposição um conjunto in nito de descrições alternativas para a mecânica quântica não-comutativa, uma para cada calibre. Estudamos as características relevantes deste in nito conjunto de correspondências. A quantização funcional da teoria de calibre é explicitamente realizada para dois calibres diferentes e os resultados comparados com o correspondente ao sistema de segunda classe. Dentro do quadro operatorial, a teoria de calibre é quantizada utilizando-se o método de Dirac.
A teoria quântica de campos pode ser vista como um conjunto de métodos e idéias que além de sua importância no estudo das partículas elementares, tem sido amplamente usada em outras áreas. Em especial, ela constitui uma ferramenta indispensável no estudo moderno de transições de fases e fenômenos críticos. A origem dessa constante relação entre a teoria de campos e a matéria condensada deve-se ao fato que, apesar de suas diferenças superficiais, ambas tratam de problemas envolvendo um grande número de graus de liberdade. Assim, não é surpreendente que as mesmas técnicas possam ser úteis nos dois campos. Este trabalho trata de problemas nessas duas áreas e está essencialmente divido em duas partes. A primeira parte é dedicada ao estudo de teorias de campos com uma anisotropia entre o espaço e o tempo, o que implica uma quebra da simetria de Lorentz. Uma das motivações para considerar esse tipo de teoria vem justamente do estudo de transições de fase em sistemas da matéria condensada. Análises do grupo de renormalização com ênfase na possibilidade de restauração da simetria de Lorentz e também uma discussão sobre identidades de Ward são realizadas. Na segunda parte, a atenção é voltada para a mecânica estatística mas com uma abordagem típica da teoria de campos, em especial, voltada para o estudo de transições de fase clássicas e quânticas a partir da versão quantizada do modelo esférico e de sua extensão supersimétrica.
Realizamos nesse trabalho um tratamento abrangente da interação entre um sistema quântico e o meio ambiente modelado como um conjunto de osciladores harmônicos. Partimos para isso de um tratamento prévio de redes de osciladores harmônicos quânticos dissipativos. Utilizando a função característica, transformamos a equação de von Neumann em uma equação diferencial, e explorando a sua linearidade, essa é transformada em uma equação vetorial, cuja resolução é computacionalmente eficiente. Nosso formalismo, que parte de uma rede de osciladores harmônicos, não necessariamente dividida entre sistema e meio ambiente, permite que se contorne a necessidade da hipótese de acoplamento súbito sistema-reservatório para o tratamento exato da evolução do sistema. Em seguida, mostramos que essa evolução pode ser sempre descrita por uma equação mestra na forma usual de Lindblad, embora os coeficientes que a definem possam ser dependentes do tempo. Isso abre novas possibilidades para a dinâmica do sistema, e leva a efeitos que podem ser classificados de não-Markovianos, embora sejam descritos por uma equação mestra completamente local no tempo. Ressaltamos que, por ser baseado em uma solução exata, o método pode ser aplicado para qualquer intensidade de acoplamento, e é consideravelmente mais simples do que outros métodos disponíveis para esse fim, como os baseados em integrais de trajetória. Por fim, utilizamos simulações computacionais para explorar a validade das aproximações de ondas girantes e de Born-Markov, e os fenômenos que podem ser observados nos regimes em que elas deixam de ser válidas.
Realizamos nesse trabalho um tratamento abrangente da interação entre um sistema quântico e o meio ambiente modelado como um conjunto de osciladores harmônicos. Partimos para isso de um tratamento prévio de redes de osciladores harmônicos quânticos dissipativos. Utilizando a função característica, transformamos a equação de von Neumann em uma equação diferencial, e explorando a sua linearidade, essa é transformada em uma equação vetorial, cuja resolução é computacionalmente eficiente. Nosso formalismo, que parte de uma rede de osciladores harmônicos, não necessariamente dividida entre sistema e meio ambiente, permite que se contorne a necessidade da hipótese de acoplamento súbito sistema-reservatório para o tratamento exato da evolução do sistema. Em seguida, mostramos que essa evolução pode ser sempre descrita por uma equação mestra na forma usual de Lindblad, embora os coeficientes que a definem possam ser dependentes do tempo. Isso abre novas possibilidades para a dinâmica do sistema, e leva a efeitos que podem ser classificados de não-Markovianos, embora sejam descritos por uma equação mestra completamente local no tempo. Ressaltamos que, por ser baseado em uma solução exata, o método pode ser aplicado para qualquer intensidade de acoplamento, e é consideravelmente mais simples do que outros métodos disponíveis para esse fim, como os baseados em integrais de trajetória. Por fim, utilizamos simulações computacionais para explorar a validade das aproximações de ondas girantes e de Born-Markov, e os fenômenos que podem ser observados nos regimes em que elas deixam de ser válidas.
Na presente tese, estudamos o oscilador harmonico generalizado com massa e frequencia
dependentes do tempo e submetido a uma forca de friccao linear na velocidade cujo coeficiente de friccao depende do tempo, do ponto de vista classico e quântico. Obtivemos as
solucoes da equacao de movimento classica deste sistema para alguns casos particulares e
derivamos uma equacao de movimento que descreve simultaneamente tres sistemas diferentes.
Em seguida, com a ajuda dos operadores invariantes quadraticos e a luz do metodo
de invariantes dinâmicos encontramos as solucoes exatas da equacao de Schrodinger para
este sistema. Tambem derivamos as fases geometrica, dinâmica e de Berry para este
sistema nao-estacionario e as avaliamos para tres casos especiais. Ainda construimos estados
coerentes para este sistema quantizado e os empregamos para investigar algumas
propriedades quânticas tais como
utuacoes quânticas da coordenada e momento bem
como do produto das incertezas. Em seguida, utilizamos um operador invariante linear
e usamos o metodo de invariantes dinâmicos para encontrar solucoes exatas da equacao
de Schrodinger para um oscilador harmonico amortecido e forcado dependente do tempo.
Com as solucoes desta equacao, construimos solucoes na forma de pacotes de onda Gaussianos
assim como calculamos as
utuacoes quânticas das coordenadas e momentos, bem
como as correlacoes entre ambos. Finalmente, mostramos que a largura das
utuacoes e
correlacoes do pacote Gaussiano nao dependem da forca externa.
Nesta tese, estudamos o comportamento de sistema quânticos cujo limite clássico pode tanto apresentar um comportamento regular como caótico. Nosso estudo se baseou na caracterização dinâmica do comportamento, caótico ou regular, destes sistemas quânticos no limite clássico através da análise da estrutura de distribuições no espaço de fases. Particularmente, aplicamos estas ferramentas ao estudo da transição quântico-clássica para uma classe de sistemas, que denominamos genericamente como sistemas com propensão coletiva, os quais possuem a importante propriedade de admitir, em um certo limite análogo ao limite termodinâmico, uma descrição de sua dinâmica em termos de um número reduzido de variáveis de natureza coletiva. Esta propriedade além de nos permitir reduzir a dinâmica de sistemas com,plicados à dinâmica de sistema com poucos graus de liberdade, também nos permite, através de um escalonamento apropriado das variáveis coletivas, estudar o limite clássico destes sistemas concomitantemente com o limite termodinâmico, evitando assim lidar diretamente com procedimentos formais usualmente associados ao limite clássico da forma h 0. Diferentemente das abordagens usuais, a abordagem que utilizamos nesta tese, baseada na propensão coletiva dos sistemas, permite a implementação de uma descrição em termos do comportamento de distribuições no espaço de fases para sistemas com espectro puramente discreto num espaço de dimensão finita.