Utilizamos o modelo de Bose-Hubbard para estudar as estabilidades dinâmica e termodinâmica dos condensados numa rede óptica periódica circular. O nosso principal objetivo foi investigar a existência de condensados metaestáveis no sistema. Deduzimos e resolvemos a equação de Gross-Pitaevskii e, a partir da análise das soluções, foi possível mostrar que o sistema se condensa em estados com momento modular bem definido. Esses estados formam uma base que diagonaliza o termo que descreve o tunelamento atômico no hamiltoniano de Bose-Hubbard. No contexto da teoria de Bogoliubov deduzimos para cada condensado, o hamiltoniano efetivo cuja diagonalização determina o espectro das excitações coletivas do sistema. Identificamos corretamente o modo de energia zero, conseqüência da violação da conservação do número de átomos, e verificamos que este possui momento modular igual ao do condensado. No estudo da estabilidade vimos que todos os condensados com momento modular nos 2º e 3º quadrantes são termodinamicamente instáveis e as respectivas condições de estabilidade dinâmica dependem dos parâmetros de controle do sistema. Por outro lado os condensados com momento modular nos 1º e 4º quadrantes são todos dinamicamente estáveis enquanto que, nesse caso, é a estabilidade termodinâmica que depende dos parâmetros de controle do sistema. Nessa análise verificamos que o condensado com momento modular zero, que corresponde ao mínimo global da energia, é sempre estável. Determinamos exatamente o intervalo nos parâmetros de controle a partir do qual podemos encontrar condensados metaestáveis no sistema. Examinamos como a competição entre as intensidades dos termos de tunelamento e repulsão local afeta a estabilidade dos condensados. Essa competição define dois regimes distintos: Rabi, onde a coerência entre estados localizados nos sítios é mantida, e Fock, onde não há mais essa coerência e a aplicabilidade da aproximação de Bogoliubov é questionável.
Utilizamos o modelo de Bose-Hubbard para estudar as estabilidades dinâmica e termodinâmica dos condensados numa rede óptica periódica circular. O nosso principal objetivo foi investigar a existência de condensados metaestáveis no sistema. Deduzimos e resolvemos a equação de Gross-Pitaevskii e, a partir da análise das soluções, foi possível mostrar que o sistema se condensa em estados com momento modular bem definido. Esses estados formam uma base que diagonaliza o termo que descreve o tunelamento atômico no hamiltoniano de Bose-Hubbard. No contexto da teoria de Bogoliubov deduzimos para cada condensado, o hamiltoniano efetivo cuja diagonalização determina o espectro das excitações coletivas do sistema. Identificamos corretamente o modo de energia zero, conseqüência da violação da conservação do número de átomos, e verificamos que este possui momento modular igual ao do condensado. No estudo da estabilidade vimos que todos os condensados com momento modular nos 2º e 3º quadrantes são termodinamicamente instáveis e as respectivas condições de estabilidade dinâmica dependem dos parâmetros de controle do sistema. Por outro lado os condensados com momento modular nos 1º e 4º quadrantes são todos dinamicamente estáveis enquanto que, nesse caso, é a estabilidade termodinâmica que depende dos parâmetros de controle do sistema. Nessa análise verificamos que o condensado com momento modular zero, que corresponde ao mínimo global da energia, é sempre estável. Determinamos exatamente o intervalo nos parâmetros de controle a partir do qual podemos encontrar condensados metaestáveis no sistema. Examinamos como a competição entre as intensidades dos termos de tunelamento e repulsão local afeta a estabilidade dos condensados. Essa competição define dois regimes distintos: Rabi, onde a coerência entre estados localizados nos sítios é mantida, e Fock, onde não há mais essa coerência e a aplicabilidade da aproximação de Bogoliubov é questionável.
Nesta tese utilizamos o Modelo de Bose-Hubbard (MBH) generalizado para duas espécies bosonicas para investigar a estabilidade dinâmica da fase superfluida de uma mistura binaria de átomos bosonicos ultra-frios confinados em uma rede optica periódica anelar com M sítios. Na primeira parte consideramos a Hamiltoniana do MBH sem a presença do tunelamento inter-especies. Deduzimos e resolvemos as equações de Gross-Pitaevskii para os estados de equilíbrio do MBH e mostramos que são misturas binarias de condensados nos quais os átomos de cada espécie ocupam um estado de quase-momento q bem definido. As excitações elementares foram determinadas resolvendo as equações de Bogoliubov-de Gennes o que foi possível graças a estrutura de acoplamento dos quase-momentos que reduziu a Hamiltoniana Efetiva a uma soma direta de um dubleto e quadrupletos. Através da analise do comportamento das energias de excitação como função dos parâmetros de controle do sistema, investigamos a estabilidade dinâmica de dois casos de misturas de condensados onde, em um caso, os átomos de cada espécie ocupam o mesmo estado de quase-momento, qA = qB e, no outro, quase-momentos opostos, qA = qB. Em ambos os casos as condições de estabilidade dependem do quase-momento q estar nos quartos centrais ou laterais da primeira zona de Brillouin. No caso qA = qB vemos que a forma do diagrama de estabilidade independe do quase-momento do condensado. Por outro lado, o mesmo não ocorre nos condensados contra-propagantes qA = qB. Esta diferença fica mais acentuada no limite termodinâmico onde os diagramas de estabilidade no centro e nas extremidades da primeira zona de Brillouin ficam idênticos nos dois casos. Já nas bordas que separam os quartos centrais e laterais o comportamento ´e diferente pois a presença de uma interação interespécies por menor que seja desestabiliza completamente a mistura com qA = qB. Em todos estes casos ficou evidente o papel desestabilizador da interação interespécies. Na segunda parte consideramos o efeito de um termo de tunelamento inter-especies. As soluções das equações de Gross-Pitaevskii revelam uma estrutura biestável de estados de equilíbrio essencial para a ocorrência de bifurcação no sistema e, portanto, a presença de catástrofe. Investigamos se a catástrofe e acessível a uma observação experimental. De acordo com nosso critério, esta observação e impossível se o plano de bifurcação for a fronteira de um domínio de instabilidade dinâmica. Através da analise da estabilidade dinâmica dos estados de equilíbrio vimos que para um sistema invariante por inversão de cor essa resposta depende apenas da razão entre as intensidades de tunelamento intra e inter-especies de modo que se JAB/J > 1 a observação e impossível e se JAB/J < 1 é possível, supondo existir uma rota adiabática ate a bifurcação.
Nessa tese, o objetivo principal foi verificar a estabilidade de sistemas atômicos condensados, sujeitos a diferentes combinações lineares e não-lineares de redes ópticas bie tridimensionais, considerando algumas situações simétricas e assimétricas. Com esse objetivo, foram realizadas análises variacionais e simulações numéricas exatas da equação não-linear correspondente que descreve sistemas condensados de Bose-Einstein, tipo-Schrödinger, mais conhecida como equação de Gross-Pitaevskii. No caso bidimensional, com redes ópticas cruzadas, linear e não-linear, foi verificada a existência de estabilidade para certas regiões de parâmetros das interações. Observou-se que essa estabilidade desaparece ao se incluir uma terceira dimensão sem a presença de um potencial de confinamento. No caso tridimensional, considerando redes ópticas lineares e não-lineares cruzadas, a estabilidade só ocorre quando consideramos uma interação confinante na terceira dimensão, no caso, uma segunda rede óptica linear. Finalmente, espera-se que nossos resultados venham a ser úteis para estudos experimentais que vêm sendo feitos em laboratórios de átomos ultra-frios.
Nessa tese, o objetivo principal foi verificar a estabilidade de sistemas atômicos condensados, sujeitos a diferentes combinações lineares e não-lineares de redes ópticas bie tridimensionais, considerando algumas situações simétricas e assimétricas. Com esse objetivo, foram realizadas análises variacionais e simulações numéricas exatas da equação não-linear correspondente que descreve sistemas condensados de Bose-Einstein, tipo-Schrödinger, mais conhecida como equação de Gross-Pitaevskii. No caso bidimensional, com redes ópticas cruzadas, linear e não-linear, foi verificada a existência de estabilidade para certas regiões de parâmetros das interações. Observou-se que essa estabilidade desaparece ao se incluir uma terceira dimensão sem a presença de um potencial de confinamento. No caso tridimensional, considerando redes ópticas lineares e não-lineares cruzadas, a estabilidade só ocorre quando consideramos uma interação confinante na terceira dimensão, no caso, uma segunda rede óptica linear. Finalmente, espera-se que nossos resultados venham a ser úteis para estudos experimentais que vêm sendo feitos em laboratórios de átomos ultra-frios.
O espectro da equação de Gross-Pitaevskii, para os sistemas repulsivo e atrativo de bósons confinados em uma armadilha cilíndrica , é calculado quando aplicamos a teoria de perturbação otimizada e a técnica das raízes aproximantes auto-similares . O espectro de energia é calculado em uma função dos parâmetros de acoplamentos fraco e forte. Aplicando a técnica das raízes aproximantes auto-similares foi possível encontrar fórmulas analíticas precisas para descrever os sistemas de forma mais detalhada. As expressões obtidas são válidas para os níveis de energia arbitrários de todos os modos coerentes excitados e para diferentes formas de armadilhas como: esférica, charuto e disco. O número crítico de partículas que assegura o valor real para o espectro de energia é calculado como uma função do parâmetro de anisotropia. Encontramos uma forte dependência na anisotropia da armadilha com o número crítico de partículas. Para o número de partículas acima do valor crítico a metaestabilidade do sistema é caracterizada através do cálculo do tempo de vida do condensado . Nos capítulos de 1 à 3, temos a introdução , a idéia e a descr ição do condensado Bose-Einstein. Nos capítulos de 4 à 6, temos os experimentos realizados do condensado Bose-Einstein, os critérios da condensação Bose-Einstein e a definição dos estados atômicos coerentes . Nos capítulos de 7 à 9, o significado da equação de Gross-Pitaevskii e os métodos utilizados são definidos. Nos capítulos 10 e 11, os resultados e conclusões para os sistemas repulsivos e atrativos dos gases bosônicos confinados são mostrados.
Neste trabalho de mestrado é estudada a estabilidade de vórtices em condensados de Bose-Einstein com interação atrativa entre os átomos através da solução numérica da equação de Gross-Pitaevskii. Inicialmente são reproduzidos resultados da literatura, nos quais são estudados vórtices em condensados bidimensionais atrativos com potencial interatômico homogêneo em todo o condensado. A estabilidade de tais sistemas é inferida através da solução numérica das equações de Bogoliubov-de Gennes e da evolução temporal dos vórtices. Demonstra-se que esses vórtices são estáveis, até um certo número crítico de átomos, apenas para valores de vorticidade S=1. Em seguida foi proposto um modelo no qual a interação entre os átomos é espacialmente modulada. Neste caso é possível demonstrar que vórtices com valores de vorticidade de até S=6, pelo menos, são estáveis. Finalmente é estudada a estabilidade de vórtices em condensados tridimensionais atrativos, novamente com potencial interatômico homogêneo em todo o condensado. Assim como no caso bidimensional mostra-se que tais vórtices são estáveis para valores de vorticidade de S=1. Espera-se em breve estudar a estabilidade de vórtices em condesados tridimensionais com potencial de interação espacialmente modulado.
Neste trabalho de mestrado é estudada a estabilidade de vórtices em condensados de Bose-Einstein com interação atrativa entre os átomos através da solução numérica da equação de Gross-Pitaevskii. Inicialmente são reproduzidos resultados da literatura, nos quais são estudados vórtices em condensados bidimensionais atrativos com potencial interatômico homogêneo em todo o condensado. A estabilidade de tais sistemas é inferida através da solução numérica das equações de Bogoliubov-de Gennes e da evolução temporal dos vórtices. Demonstra-se que esses vórtices são estáveis, até um certo número crítico de átomos, apenas para valores de vorticidade S=1. Em seguida foi proposto um modelo no qual a interação entre os átomos é espacialmente modulada. Neste caso é possível demonstrar que vórtices com valores de vorticidade de até S=6, pelo menos, são estáveis. Finalmente é estudada a estabilidade de vórtices em condensados tridimensionais atrativos, novamente com potencial interatômico homogêneo em todo o condensado. Assim como no caso bidimensional mostra-se que tais vórtices são estáveis para valores de vorticidade de S=1. Espera-se em breve estudar a estabilidade de vórtices em condesados tridimensionais com potencial de interação espacialmente modulado.