Sistemas quânticos cuja dinâmica é não-unitária e que evoluem adiabaticamente apresentam características únicas com aplicações no campo da computação quântica. Estudamos nessa dissertação o formalismo de sistemas quânticos abertos, a teoria de semigrupos dinâmicos e os chamados operadores de Lindblad. Enunciamos e provamos o teorema adiabático na formulação de T. Kato a fim de entender a idéia e o formalismo por trás de regimes adiabáticos. Utilizamos essas ferramentas para descrever o problema de otimização de trajetórias adiabáticas em sistemas quânticos dissipativos (cuja dinâmica é dada por uma classe de operadores de Lindblad) e, seguindo as indicações de Avron et al. [8], obtemos as condições para que essa otimização seja única e aplicamos esse resultado em algoritmos quânticos de busca.
Sistemas quânticos cuja dinâmica é não-unitária e que evoluem adiabaticamente apresentam características únicas com aplicações no campo da computação quântica. Estudamos nessa dissertação o formalismo de sistemas quânticos abertos, a teoria de semigrupos dinâmicos e os chamados operadores de Lindblad. Enunciamos e provamos o teorema adiabático na formulação de T. Kato a fim de entender a idéia e o formalismo por trás de regimes adiabáticos. Utilizamos essas ferramentas para descrever o problema de otimização de trajetórias adiabáticas em sistemas quânticos dissipativos (cuja dinâmica é dada por uma classe de operadores de Lindblad) e, seguindo as indicações de Avron et al. [8], obtemos as condições para que essa otimização seja única e aplicamos esse resultado em algoritmos quânticos de busca.
carinho e apoio.À equipe da Comissão de Pós-Graduação do IFUSP, sempre solícita e compreensiva.À CNPq pelo auxílio financeiro.i ResumoSistemas quânticos cuja dinâmica é não-unitária e que evoluem adiabaticamente apresentam características únicas com aplicações no campo da computação quântica.Estudamos nessa dissertação o formalismo de sistemas quânticos abertos, a teoria de semigrupos dinâmicos e os chamados operadores de Lindblad.Enunciamos e provamos o teorema adiabático na formulação de T. Kato a fim de entender a idéia e o formalismo por trás de regimes adiabáticos.Utilizamos essas ferramentas para descrever o problema de otimização de trajetórias adiabáticas em sistemas quânticos dissipativos (cuja dinâmica é dada por uma classe de operadores de Lindblad) e, seguindo as indicações de Avron et al. [8], obtemos as condições para que essa otimização seja única e aplicamos esse resultado em algoritmos quânticos de busca.
A dinâmica de sistemas quânticos fechados (ideais), i.e., sistemas em que não consideramos interações com um meio externo (ambiente), é governada por uma evolução unitária, que pode ser geralmente descrita pela equação de Schrödinger - ou, na linguagem de operadores densidade, a equação de von-Neumann. No entanto, sistemas reais, ou seja, sistemas que podem ser medidos no laboratório, nunca estão completamente fechados e inevitavelmente irão interagir com os diversos graus de liberdade de seus ambientes. Nesse cenário, a equação de Schrödinger é apenas uma descrição válida da evolução do sistema por pequenos períodos de tempo, e uma nova descrição se torna necessária. Uma das formas de fazer isso é através do uso de equações mestras, que são equações de movimento que consideram os efeitos dissipativos no sistema devido às interações com o ambiente. Entre as possiveis formas das equações mestras, a equação de Lindblad é uma das mais extensivamente estudadas. Ela descreve evoluções markovianas, que geralmente são válidas no regime de interações fracas entre sistema e ambiente. Nessa perspectiva, ela tem sido aplicada com sucesso em muitos contextos, como medição contínua e ótica quântica. No contexto de problemas de sistemas quânticos abertos de muitos corpos, nem sempre é possível descrever a dinâmica dos sistemas através de uma equação mestra na forma de Lindblad. No entanto, essa aproximação pode ser usada em uma classe especial de sistemas atômicos, moleculares e ópticos (AMO). O objetivo desta dissertação é estudar a dinâmica de sistemas quânticos abertos de muitos corpos AMO, que são aproximadamente descritos pelo modelo de Hubbard, através do uso de métodos numéricos. Para isso, vamos focar nossa atenção em uma técnica de simulação particular conhecida como trajetórias quânticas, que em muitos contextos se mostra muito eficiente - o que pode ser melhorado se integrarmos esse método com outros, como Tensor Networks, t-DMRG e diagonalização exata.
O entendimento dos fenômenos associados com a dinâmica de convergência dos estados quânticos e fundamental para o avanço da teoria da informação quântica. Este trabalho apresenta uma introdução ao formalismo matemático necessário para a análise de sistemas quânticos dissipativos, através da álgebra de semigrupos de operadores completamente positivos que preservam traço, e uma breve discussão sobre os princípios da teoria da informação. Posteriormente e introduzido o conceito de cutoff e são expostas algumas definições matemáticas relacionadas a distinguibilidade de estados quânticos e ao próprio fenômeno de cutoff. O comportamento de cutoff é demonstrado para duas classes de semigrupos: de operadores gerados por lindbladianos comutantes e de operadores constituídos de sequências de produtos tensoriais. Por fim, discutem-se direções futuras deste estudo no contexto do modelo de computação quântica dissipativa e de passeios aleatórios quânticos abertos.
Nessa tese estudamos propriedades das dinâmicas adiabática e diabática de sistemas quânticos de muitos corpos. Como aplicação, investigamos formulações Hamiltonianas para o problema da busca quântica e a aplicação de atalhos para adiabaticidade em um gás unitário quântico que imita em tempo finito exatamente uma evolução adiabática. Primeiro examinamos as correlações quânticas mensuradas pela local quantum uncertainty (LQU) em uma cadeia de spins implementando a versão adiabática da busca quântica. Obtemos o valor exato da correlação entre um spin e um bloco de L spins para diversos valores de L ao longo da evolução. Nós mostramos que a LQU apresenta um comportamento característico no ponto de transição de fase quântica. Em seguida estudamos os erros ocorridos numa implementação em tempo finito da busca quântica com uma forma análoga ao mecanismo de Kibbe-Zurek (KZM em inglês) porém aplicada a transições quânticas de primeira ordem. É demonstrado que a formação de kinks segue uma lei exponencial, e são comparadas as dinâmicas de estrategias local e global para adiabaticidade. Finalmente, encontramos um sistema em que atalhos para adiabaticidade podem ser implementados em laboratório com tecnologia atual e os erros causados por excitações são suprimidos. Isso é demonstrado ao estudarmos a implementação em tempo finito da expansão de uma nuvem de gás quântico unitário em um motor termodinâmico.
Estudamos a evolução temporal de um sistema quântico, sob o regime adiabático, através da formulação de integrais de trajetória. Reobtemos as fases de Berry para sistemas de espectros de energia não-degenerado e degenerado, recuperando os resultados conhecidos na literatura, inclusive verificamos o comportamento das fases por uma mudança de base de autoestados instantâneos da hamiltoniana. Apresentamos também uma demonstração do Teorema Adiabático[1] usando uma notação atual. Temos um resumo comparativo das representações de Schrödinger e de Heisenberg para uma hamiltoniana que varia no tempo e descrevemos como aplicar o Teorema Adiabático a um operador qualquer na representação de Heisenberg sob o regime adiabático
Este trabalho possui como tema principal o estudo da dinâmica de sistemas quânticos da perspectiva da teoria de sistemas dinâmicos, em particular, do ponto de vista da teoria de controle. Os principais tópicos abordados são (i) a análise da controlabilidade dos sistemas quânticos em dimensão finita e infinita e (ii) a teoria generalizada de medição de sistemas quânticos com o objetivo de obter as equações diferenciais estocásticas associadas a sistemas submetidos a processos de medição contínuos. Com relação à controlabilidade de sistemas dinâmicos quânticos fechados em dimensão finita resgatamos da literatura os resultados, já consolidados, da aplicação da teoria de grupos e álgebras de Lie aos essa classe de sistemas dinâmicos. Em dimensão infinita, a aplicação direta das técnicas de controle geométrico já não ocorre diretamente. Em espaços de estados de dimensão infinita as técnicas de análise matemática devem ser mais sofisticadas, há problemas relacionados à convergência e problemas relacionados a operadores não limitados. Os principais resultados conhecidos da literatura são apresentados e suas limitações são discutidas. Realizamos em seguida uma analogia entre sistemas clássicos lineares e sistemas dinâmicos quânticos de dimensão infinita cuja dinâmica é restrita a uma álgebra de operadores auto adjuntos comutativa. Observamos também que a controlabilidade de alguns sistemas quânticos em dimensão infinita está associada a Hamiltonianos não lineares. Notamos, em particular, que os sistemas quânticos comutativos estão associados a operadores não lineares. Com relação à teoria de medição de sistemas quânticos, partimos da teoria de sistemas quânticos abertos para a obtenção da equação dinâmica que rege a evolução dos sistemas não conservativos. Em paralelo, realizamos uma análise da descrição matemáticas dos experimentos de medição em sistemas quânticos desde os postulados de medição ortogonal até a descrição de processos de medição contínuos. Observamos que a equação de Schrödinger estocástica associada a um processo de medição contínuo possui como gerador infinitesimal um Hamiltoniano não linear no operador auto adjunto associado ao observável. Realizamos em seguida uma discussão a respeito das implicações de processos de medição contínuos na dinâmica de sistemas quânticos, analisando possíveis impactos em sua controlabilidade. Analisamos também o caso particular de sistemas quânticos cujos operadores associados a sua dinâmica e a seus observáveis estão restritos a uma mesma álgebra comutativa. Concluímos com sugestões de trabalhos futuros relacionados controlabilidade em dimensão infinita e a à dinâmica de sistemas quânticos sujeitos a medição.