Estudamos as excitações de baixa energia, presentes em um gás de bosons homogêneo, de spin nulo, sujeitos a uma interação de dois corpos repulsiva e a temperatura zero, utilizando a aproximação gaussiana, que consiste num caso particular de aproximação de campo médio. As equações dinâmicas resultantes foram linearizadas ao redor da solução estática de Hartree-Fock-Bogoliubov. Obtivemos uma banda contínua e limitada inferiormente, além de um segundo ramo discreto, que define um limite inferior para as excitações e que, ao contrário do resultado proveniente do tratamento de Hartree-Fock-Bogoliubov, possui um comportamento linear sem gap com respeito ao momento da excitação no limite de grandes comprimentos de onda, ou seja, possui uma equação de dispersão do tipo fônon. Discutimos também a forma através da qual é possível gerar desvios do equilíbrio, vinculados aos estados excitados, e concluímos haver restrições sobre os possíveis desvios das grandezas características em campo médio gaussiano, quando tais desvios são gerados por transformações infinitesimais unitárias de um corpo tomadas até primeira ordem.
Estudamos as excitações de baixa energia, presentes em um gás de bosons homogêneo, de spin nulo, sujeitos a uma interação de dois corpos repulsiva e a temperatura zero, utilizando a aproximação gaussiana, que consiste num caso particular de aproximação de campo médio. As equações dinâmicas resultantes foram linearizadas ao redor da solução estática de Hartree-Fock-Bogoliubov. Obtivemos uma banda contínua e limitada inferiormente, além de um segundo ramo discreto, que define um limite inferior para as excitações e que, ao contrário do resultado proveniente do tratamento de Hartree-Fock-Bogoliubov, possui um comportamento linear sem gap com respeito ao momento da excitação no limite de grandes comprimentos de onda, ou seja, possui uma equação de dispersão do tipo fônon. Discutimos também a forma através da qual é possível gerar desvios do equilíbrio, vinculados aos estados excitados, e concluímos haver restrições sobre os possíveis desvios das grandezas características em campo médio gaussiano, quando tais desvios são gerados por transformações infinitesimais unitárias de um corpo tomadas até primeira ordem.
Estudamos as excitações de baixa energia, presentes em um gás de bosons homogêneo, de spin nulo, sujeitos a uma interação de dois corpos repulsiva e a temperatura zero, utilizando a aproximação gaussiana, que consiste num caso particular de aproximação de campo médio.As equações dinâmicas resultantes foram linearizadas ao redor da solução estática de Hartree-Fock-Bogoliubov. Obtivemos uma banda contínua e limitada inferiormente, além de um segundo ramo discreto, que define um limite inferior para as excitações e que, ao contrário do resultado proveniente do tratamento de Hartree-Fock-Bogoliubov, possui um comportamento linear sem gap com respeito ao momento da excitação no limite de grandes comprimentos de onda, ou seja, possui uma equação de dispersão do tipo fônon.Discutimos também a forma através da qual é possível gerar desvios do equilíbrio, vinculados aos estados excitados, e concluímos haver restrições sobre os possíveis desvios das grandezas características em campo médio gaussiano, quando tais desvios são gerados por transformações infinitesimais unitárias de um corpo tomadas até primeira ordem.
O estado fundamental e propriedades térmicas de um sistema de bosons não relativísticos interagentes por uma interação repulsiva de dois corpos, são investigados através de uma aproximação Gaussiana auto-consistente que consiste em escrevermos o operador densidade variacionalmente determinado como o funcional Gaussiano mais geral dos operadores de campo. Resultados a temperatura finita são obtidos, incluindo transições de fase, no contexto do ensemble grand-canônico. Através de truncamentos na aproximação Gaussiana completa podemos reproduzir resultados tradicionais de Bogolyubov e de Lee, Yang e Huang. A aproximação Gaussiana completa fornece uma fase condensada que é termodinamicamente instável e uma fase não condensada que não difere essencialmente de uma teoria livre quando forças de contato e um esquema de renormalização padrão são usados. Como alternativa, uma teoria dependente do cut-off no momento é desenvolvida para um sistema diluído de bosons interagentes. A aproximação Gaussiana gera um espectro de quasi-partículas que contém um gap na energia, em conflito com os resultados perturbativos. Para investigar o espectro de excitações na teoria efetiva, é desenvolvida uma formulação dependente do tempo e o regime de pequenas oscilações para os parâmetros variacionais é estudado. São obtidas então as mesmas energias utilizadas no cálculo das ocupações estáticas.
Esta dissertacao tem como objetivo apresentar um estudo critico dos condensados atomicos de Bose-Einstein (BEC). Tomando como ponto de partida a fisica do gas livre, estudamos o efeito de potenciais fracamente confinantes. Dois casos foram estudados em detalhe: i) um gas atomico em um poco de potencial quadrado finito com poucos estados ligados; e ii) um sistema confinado em duas dimensoes por um potencial oscilador harmonico isotropico, sendo fracamente confinado na terceira dimensao. Para o primeiro exemplo, estudamos as propriedades termodinâmicas, comparândo-as com a transicao de fase do gas livre, Interacoes entre bosons sao introduzidas segundo a teoria de Bogoliubov para tratar interacoes elasticas de dois corpos. Dentro da aproximacao de campo medio, as propriedades do condensado sao descritas por uma funcao de onda macroscopica, que satisfaz a equacao de Gross-Pitaevskii (GP). Analisamos os efeitos de comprimentos de espalhamento de onda 5, atrativos e negativos, para BEC aprisionados no poco de potencial finito, onde o sistema suporta excitacoes quânticas coerentes nao-lineares. Solucoes numericas, para a equacao GP independente do tempo, foram encontradas para a funcao de onda do estado condensado a temperatura zero, bem como para as suas excitacoes elementares nao lineares. Para analisar os resultados, usamos valores realistas de parâmetros para os gases atomicos atualmente estudados experimentalmente. Para o segundo caso mencionado acima, desenvolvemos um programa destinado ao estudo de nao-linearidades mais gerais. A fisica nao e restrita so ao BEC, alguns sistemas de interesse sao modelados por familias de equacoes de Schrodinger nao-lineares, sendo a equacao GP um caso particular. Para um potencial harmonico, apesar da nao-linearidade, uma vez que uma solucao e conhecida, muitas outras solucoes podem ser construidas por uma translacao espacial do centro do pacote de onda. O metodo e testado analiticamente no limite da equacao de Schrodinger linear com um potencial de oscilador harmonico em duas dimensoes. As solucoes sao obtidas atraves de uma superposicao de solucoes estacionarias construidas por deslocamentos espaciais de uma solucao exata. O metodo pode ser estendido para o regime de nao-linearidades fracas, e tem uma aplicacao direta na geracao de estados vortice em BEC
Abstract
O estado fundamental e propriedades térmicas de um sistema de bosons não relativísticos interagentes por uma interação repulsiva de dois corpos, são investigados através de uma aproximação Gaussiana auto-consistente que consiste em escrevermos o operador densidade variacionalmente determinado como o funcional Gaussiano mais geral dos operadores de campo. Resultados a temperatura finita são obtidos, incluindo transições de fase, no contexto do ensemble grand-canônico. Através de truncamentos na aproximação Gaussiana completa podemos reproduzir resultados tradicionais de Bogolyubov e de Lee, Yang e Huang. A aproximação Gaussiana completa fornece uma fase condensada que é termodinamicamente instável e uma fase não condensada que não difere essencialmente de uma teoria livre quando forças de contato e um esquema de renormalização padrão são usados. Como alternativa, uma teoria dependente do cut-off no momento é desenvolvida para um sistema diluído de bosons interagentes. A aproximação Gaussiana gera um espectro de quasi-partículas que contém um gap na energia, em conflito com os resultados perturbativos. Para investigar o espectro de excitações na teoria efetiva, é desenvolvida uma formulação dependente do tempo e o regime de pequenas oscilações para os parâmetros variacionais é estudado. São obtidas então as mesmas energias utilizadas no cálculo das ocupações estáticas.
Neste trabalho estudamos a extensão da aproximação de campo médio, dada uma condição inicial, para a evolução temporal de um sistema composto de férmions e bósons que interagem. Para isto usamos uma técnica de projeção dependente do tempo através do qual obtemos equações de movimento do tipo cinético para o conjunto de variáveis dinâmicas de um corpo. Na primeira parte do trabalho aplicamos a técnica para um sistema descrito pelo modelo de Jaynes Cummings, o qual descreve a interação da matéria, representada por um sistema de dois níveis, com a radiação, representada por um modo normal do campo quantizado. Obtemos a dinâmica de campo médio e a seguir usando a técnica de projeçào, calculamos correções à esta descrição de campo médio. Além de ser um modelo exatamente solúvel, o que nos permite comparar nossos resultados com a solução exata, o modelo de Jaynes-Cummings corresponde ao plasma escalar relativístico em zero dimensões espaciais. Na segunda parte deste trabalho estudamos o modelo do plasma escalar relativístico. Esta teoria quântica de campos descreve a interação de campos bosônicos escalares e fermiônicos de spin-1/2 através de uma interação do tipo Yukawa. Para o sistema do plasma escalar relativístico obtemos as equações que descrevem a dinâmica de campo médio e a partir das soluções estacionárias, renormalizamos a teoria. Finalmente, estudamos o regime de pequenas oscilações em torno do equilíbrio, obtendo soluções analíticas para a evolução de nossas variáveis. Analisamos também as condições para existência de estados ligados neste regime.
Usando o princípio variacional de máxima entropia, deduzimos as equações de GrossPitaevskii e de Hartree-Fock-Bogoliubov que descrevem, respectivamente, os estados de equilíbrio e as excitações coletivas de uma mistura homogênea de átomos bosônicos em dois estados hiperfinos diferentes, à temperatura finita e na presença de um termo de acoplamento de Josephson interno. Para corrigir o problema da ausência de um ramo sem lacuna do espectro de energia de excitação na teoria de Hartree-Fock-Bogoliubov, mostramos como estender a aproximação de Popov para o caso de misturas de condensados. Para temperaturas abaixo da temperatura de transição do condensado, calculamos, como função da temperatura, o número de partículas em cada condensado, o espectro das excitações coletivas, a lacuna e a velocidade do som. Examinamos como a bi-estabilidade do sistema muda com a temperatura. Quando aquecemos a mistura, dependendo dos valores dos parâmetros do sistema, verificamos que a bi-estabilidade desaparece para uma temperatura menor que a temperatura de transição, ou pela instabilidade de um dos estados de equilíbrio, ou pela degenerescência dos dois estados de equilíbrio estável.