Passeios quânticos em tempo contínuo é uma das áreas de pesquisa em teoria algébrica de grafos e computação quântica. Uma das suas sub-áreas de pesquisa é a de transferência de estados entre vértices de um grafo. Transferências de estados são importantes, pois permitem avaliar em quais casos uma rede com comunicação feita através de estados modelados por um grafo permitem que esses estados sejam transmitidos com o máximo possível de probabilidade de maneira eficiente. Em geral, trabalhos sobre transferência de estados lidam com transferências perfeitas ou quase perfeitas entre dois vértices. Transferências perfeitas de estado possuem caracterizações para as matrizes de Adjacência e Laplaciana. Além disso, foi mostrado ser possível verificar transferências perfeitas de estado em um grafo com um algoritmo polinomial. Em relação a transferências quase perfeitas, embora existam caracterizações para sua ocorrência, tais caracterizações demandam um certo trabalho para sua verificação em grafos e nenhum algoritmo exato é conhecido para validar sua existência. Alguns artigos mostram que, devido às restrições que as transferências perfeitas impõem nos autoespaços do grafo, tais transferências são relativamente raras em classes comuns de grafos. Portanto, é natural tentar verificar a ocorrência de transferências quase perfeitas de estados. Nessa dissertação, apresenta-se o primeiro algoritmo exato para conferir a ocorrência de transferências quase perfeita de estados em grafos. Além disso, aplicou-se resultados conhecidos nas matrizes de adjacência e Laplaciana de transferências perfeita e quase perfeita de estados na matriz Normalizada Laplaciana, considerando sua relação com passeios clássicos em grafos.
Passeios quânticos em tempo contínuo é uma das áreas de pesquisa em teoria algébrica de grafos e computação quântica. Uma das suas sub-áreas de pesquisa é a de transferência de estados entre vértices de um grafo. Transferências de estados são importantes, pois permitem avaliar em quais casos uma rede com comunicação feita através de estados modelados por um grafo permitem que esses estados sejam transmitidos com o máximo possível de probabilidade de maneira eficiente. Em geral, trabalhos sobre transferência de estados lidam com transferências perfeitas ou quase perfeitas entre dois vértices. Transferências perfeitas de estado possuem caracterizações para as matrizes de Adjacência e Laplaciana. Além disso, foi mostrado ser possível verificar transferências perfeitas de estado em um grafo com um algoritmo polinomial. Em relação a transferências quase perfeitas, embora existam caracterizações para sua ocorrência, tais caracterizações demandam um certo trabalho para sua verificação em grafos e nenhum algoritmo exato é conhecido para validar sua existência. Alguns artigos mostram que, devido às restrições que as transferências perfeitas impõem nos autoespaços do grafo, tais transferências são relativamente raras em classes comuns de grafos. Portanto, é natural tentar verificar a ocorrência de transferências quase perfeitas de estados. Nessa dissertação, apresenta-se o primeiro algoritmo exato para conferir a ocorrência de transferências quase perfeita de estados em grafos. Além disso, aplicou-se resultados conhecidos nas matrizes de adjacência e Laplaciana de transferências perfeita e quase perfeita de estados na matriz Normalizada Laplaciana, considerando sua relação com passeios clássicos em grafos.
Esta dissertação explora o problema da Transferência Perfeita de Estado (PST) em grafos, que tem implicações significativas na computação quântica. O objetivo é determinar quais grafos permitem transferir perfeitamente o estado de um qubit (ou vértice) para outro qubit em um determinado tempo. O texto apresenta uma introdução ao tema utilizando técnicas de álgebra linear, discutindo condições necessárias e suficientes para alcançar o PST e enfatizando a transferência de longa distância entre qubits. O objetivo da otimização ´e minimizar o número de componentes quânticos necessários para alcançar a transferência perfeita de estado. Uma classe importante de grafos que admite PST são os caminhos com pesos. Para o PST entre vértices nos extremos, o problema foi completamente resolvido explorando a conexão desses grafos com polinômios ortogonais. No entanto, o problema se torna consideravelmente mais complexo para vértices em outras posições, levando a novos resultados e conexões explorados neste documento. Entre esses resultados, podemos citar uma fórmula que relaciona, de maneira inédita, o polinômio extremo com outro polinômio arbitrário em uma sequência de polinômios ortogonais; como criar uma sequência de polinômios ortogonais que contenha outros dois dados; e como o PST em caminhos com pesos se relaciona com o problema de Prouhet-Tarry-Escott, um problema em aberto na área de teoria dos números. Por fim, o documento apresenta uma abordagem para a construção de grafos com PST, explorando caminhos ponderados e partições equitativas. Também são apresentados novos teoremas nessa ´área, que têm relevância geral para a teoria dos grafos. Entre esses teoremas, destaca-se um critério para dois grafos possuírem um quociente simetrizado em comum; como as matrizes de partições equitativas se relacionam com matrizes projetivas; e como o conjunto de partições equitativas se transforma quando o grafo original é quocientado.
Dado um grafo qualquer é possível definir um operador que representa a evolução de estados respeitando a localidade do grafo. A busca quântica, representada por uma pequena perturbação em alguns nós nesse operador de evolução para marcá-los, se baseia em evoluir o estado quântico por um determinado número de passos até que a probabilidade de encontrar um dos nós marcados seja máxima. Encontrar o número de passos e a probabilidade de sucesso final em grafos de interesse com um número qualquer de marcados é o principal objetivo deste trabalho. Para tal, desenvolvemos um método analítico que obtém uma expressão assintótica no número de nós para as quantidades desejadas a partir da análise de dois autovetores principais da matriz de evolução. O método foi desenvolvido para o caso de passeios discretos e contínuos, com exemplos na malha bidimensional e em grafos de Johnson, respectivamente e ambos com dois elementos marcados. Para um exemplo ainda mais geral é apresentada a análise de passeios contínuos em t-designs, uma abstração matemática que nos gera diferentes grafos bipartidos. Neste último caso obtemos expressões analíticas dependendo não apenas dos parâmetros do grafo, como também do número de marcados. Os exemplos estudados são casos onde não há uma teoria tão precisa a respeito da probabilidade de sucesso e tempo ótimo de passeios quânticos e também mostram o potencial do método desenvolvido para lidar com problemas mais gerais.
A Computação Quântica é um tópico relativamente recente e pouco conhecido, principalmente no meio da Computação.Seu estudo surgiu na tentativa de físicos simularem sistemas regidos pela Mecânica Quântica por computadores clássicos, o que se conjecturou inviável.Portanto, um novo modelo computacional que utiliza a estrutura quântica da matéria para computar foi teorizado para suprir estas deficiências.Este trabalho tem como objetivo principal estudar as influências da Computação Quântica na Teoria da Computação.Para atingir tal objetivo, primeiramente são expostos os conhecimentos básicos da Mecânica Quântica através de uma linguagem voltada para Teóricos de Computação sem conhecimento prévio na área, de forma a remover a barreira inicial sobre o tema.Em seguida, serão apresentadas inovações na área da Teoria de Computação oriundas da Computação Quântica.Começaremos com os principais Algoritmos Quânticos desenvolvidos até hoje, que foram os primeiros passos para demonstrar a possível superioridade computacional do novo modelo.Dentre estes algoritmos, apresentaremos o famoso Algoritmo de Shor, que fatora números em tempo polinomial.Adicionalmente, neste trabalho foram estudados tópicos mais avançados e atuais em Computabilidade e Complexidade Quânticas.Sobre Autômatos Quânticos, foram estudados aspectos de um modelo que mistura estados clássicos e quânticos, focando na comparação do poder computacional em relação aos Autômatos Finitos Clássicos.Do ponto de vista de Classes de Complexidade, será abordada a questão se em linguagens da classe QMA, o análogo quântico da classe NP, consegue-se atingir probabilidade de erro nulo na aceitação de instâncias positivas.
Neste trabalho, apresentamos o uso de computadores quânticos para implementar, ini- cialmente, passeios quânticos em tempo discreto. Para esse propósito, empregamos o modelo de passeios quânticos escalonados (SQW, na sigla em inglês) em ciclos de 8 e 16 vértices, visando alcançar taxas com a maior fidelidade possível. Além disso, demonstramos resultados para um problema de busca espacial e para uma malha bidimensional. Exibimos resultados para passeios quânticos a tempo discreto. Ademais, a decomposição de portas multicontroladas em portas elementares de qubits demonstra uma estratégia pragmática para a mitigação de erros, contribuindo significativamente para a confiabilidade e reprodu- tibilidade de nossos resultados em computação quântica. Essa abordagem meticulosa é crucial, especialmente ao lidar com algoritmos quânticos complexos nos quais a precisão é fundamental. Utilizando metodologia semelhante, também implementamos passeios quânticos em tempo contínuo para três casos: grafo completo, grafo bipartido completo e hipercubo. Além disso, realizamos uma comparação entre os resultados obtidos pelo simulador quântico e pelo computador quântico em todos os casos. Nosso estudo não apenas contribui para o crescente corpo de pesquisa em algoritmos quânticos, mas também destaca a importância da otimização cuidadosa em nível de portas para a computação quântica prática. À medida que as tecnologias quânticas continuam a avançar, essas descobertas abrem caminho para o desenvolvimento de algoritmos quânticos mais robustos e eficientes com aplicações no mundo real.
Aos colegas do grupo de pesquisa, À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo apoio financeiro, À minha família e aos meus amigos.v Resumo Nesta tese estudamos um sistema de duas cavidades acopladas e sua interação com átomos de dois níveis bem como com íons aprisionados.Para o acoplamento entre as cavidades consideramos dois mecanismos distintos: (1) acoplamento pela sobreposição dos campos e; (2) acoplamento via fibra óptica.Considerando a interação dos campos acoplados com átomos de dois níveis nós observamos o emaranhamento em um sistema tripartite (quando as cavidades estão interagindo com apenas um átomo).Também foi possível obter a transferência do estado quântico entre dois átomos localizado em cavidades diferentes.Além disso elaboramos uma proposta relativamente simples para a geração de estados maximamente emaranhados (estados de Bell) entre dois átomos utilizando as duas cavidades acopladas.Por último, estudamos dois íons aprisionados, cada um deles localizado no interior de cavidades diferentes.As duas cavidades sendo conectadas por uma fibra óptica.Neste caso foi possível observar a transferência de um conjunto de estados de doisqubits a partir dos graus de liberdade (de movimento e dos estados internos) de um dos íons para o outro, localizado em uma cavidade diferente.Nas propostas envolvendo a transferência de estados quânticos e a geração de estados de Bell foram incluídos os efeitos de dissipação devido à presença de um reservatório de temperatura T = 0K.Com isso pudemos concluir que as propostas são confiáveis para as reais taxas de dissipação observadas em experimentos.vi
A teoria dos algoritmos quânticos promete benefícios sem precedentes ao utilizar as leis da mecânica quântica para resolver certos problemas computacionais. Entretanto, alguns desafios impedem que tais vantagens se apliquem a todos os algoritmos quânticos. Entre esses desafios está o desenvolvimento de uma codificação eficiente de dados clássicos em um estado quântico. Em aplicações práticas, o custo para carregar a informação clássica em um dispositivo quân- tico pode dominar o custo computacional assintótico do algoritmo. Foram propostos diversos métodos baseados em circuitos para codificar dados clássicos nas amplitudes de probabilidade de um estado quântico. Entretanto, esses métodos produzem circuitos com complexidade que cresce linearmente com o tamanho do dado, anulando o benefício da aplicação quântica. O objetivo principal deste trabalho é reduzir a complexidade computacional dos circuitos para a inicialização de estados quânticos. As duas estratégias utilizadas para alcançar tal objetivo exploram a troca de complexidade temporal por espacial ou a transferência de complexidade computacional para um computador clássico. A primeira estratégia reinterpreta métodos al- gébricos para a decomposição de estados quânticos como caminhadas ao longo de árvores binárias. A segunda investiga o grau de emaranhamento de bipartições do estado quântico através da decomposição de Schmidt. Os métodos baseados em árvore alcançam uma redução exponencial na profundidade dos circuitos, em comparação às abordagens existentes. Os base- ados na decomposição de Schmidt produzem circuitos de complexidade variável, proporcional ao emaranhamento do estado. A perspectiva é que o resultado desta tese auxilie os profissionais da computação quântica durante a era dos dispositivos ruidosos de escala intermediária.