Diese Arbeit besteht aus zwei Teilen, der erste betrifft die Quantenmechanik, im zweiten geht es um Quantenkosmologie. Beiden liegt das Bestreben zu Grunde, den Übergang von klassischer Dynamik zu quantenmechanischem Verhalten zu verstehen, und die auftretenden Abweichungen zu analysieren. Im ersten Teil liegt das Interesse bei der semiklassischen Phase der Zeitentwicklung, in der zwar noch keine Revivalph\"anomene, auftreten, aber dennoch bereits Quanteneffekte zum tragen kommen. Es wird die Methode der Laplacetransformation eingeführt, mit deren Hilfe man die Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung angeben kann, wenn die Lösung der zeitunabhängigen Gleichung bekannt ist. Dabei ist es nicht nötig, Eigenzustände zu summieren oder das Pfadintegral zu Hilfe zu nehmen. Es werden die Propagatoren für das Kastenpotential, die Potentialstufe, das asymmetrische Kastenpotential (Kasten mit Ausgang) und die endliche Barriere hergeleitet. Die Lösungen geben anschaulich die Dynamik der Wellenpakete wieder und beinhalten das quantenmechanische Analogon zum klassischen Reflexionsprozess. Im Fall des Kastenpotentials gelingt es, die Spiegellösung herzuleiten, ohne dabei die Symmetrie des Potentials zu Hilfe zu nehmen. Es werden zwei Theoreme präsentiert, die zeigen, dass in einer bestimmten Phase der Zeitentwicklung nur bestimmte Terme der Spiegiellösung zum tragen kommen. Bei der Potentialsufe wird gezeigt, dass Wellenpakete, die eine niedrigere Enegrie als die der Stufe haben, nur während des Reflexionsprozesses in den verbotenen Bereich jenseits der Stufe hineinfließen. Der Reflexionskoeffizient für genügend konzentrierte Wellenpakete enspricht dem bekannten Wert für das zeitunabhängige Problem. Die Propagator für das asymmetrische Kastenpotential stellt sich als intuitive Kombination der Lösungen für das das gewöhnliche Kastenpotential und die Potentialstufe heraus. Dieses Ergebnis unterscheidet sich grundsätzlich von dem, was unter dem Gesichtspunkt der Darstellung als einer Kombination von Eigenzuständen erwartbar ist, da der Kasten mit Ausgang zum Unterschied vom unendlich hohen Potentialtopf sowohl gebundene als auch ungebundene Eigenzustände besitzt. Soweit bekannt ist, ist das Anfangswertproblem für das asymmetrische Kastenpotential noch nicht betrachtet worden. Bei der Untersuchung der endlichen Barriere ist es gelungen, den Hartmann Effekt in einem neuen Licht erscheinen zu lassen. Dieser besagt, dass für genügend dicke Barrieren die Tunnelzeit nicht von der Barrierendicke abhängt. Interessanter Weise ist es jedoch nicht ein Wellenpaket, das die Barriere verlässt, sondern es sind unendlich viele, die eines nach dem anderen hindurch tunneln. Die Zeit, die jedes davon für das Durchtunneln der Barriere benötigt hängt nicht von der Dicke der Barriere ab. Aber je dicker die Barriere ist, desto stärker werden die späteren Wellenpakete abgeschwächt. Um eine eindeutige Zeitentwicklung in der Quantenkosmologie zu erhalten, wurde die unimodulare Theorie anstatt der allgemeinen Relativitätstheorie als Ausgangspunkt für die kanonische Quantisierung verwendet. Diese Theorie ist praktisch ununterscheidbar von der allgemeinen Relativit\"atstheorie. Der einzige Unterschied besteht darin, dass die kosmologische Konstante eine Erhaltungsgröße und nicht eine Naturkonstante ist. Da die unimodulare Theorie jedoch eine andere kanonische Struktur hat, führt sie auf eine Quantentheorie, die eine Zeitentwicklung zulässt. Im Rahmen des untersuchten Modells eines räumlich flachen Universums mit einem masselosen skalaren Feld werden Lösungen mit einer unitären Zeitentwicklung konstruiert. Im Gegensatz zu den geläufigen quantenmechanischen Modellen (wie den im ersten Teil untersuchten), bekommen die Lösungen in diesem Modell mit der Zeit in einem gewissen Sinn immer mehr klassischen Charakter. Außerdem ist es gelungen das Analogon zu den de Sitter Lösungen zu finden, indem bestimmte Symmetriebedingungen an die Lösungen gestellt werden. In einem expliziten Beispiel werden Lösungen präsentiert, die über die Singularität bei
t=0 hinaus fortgesetzt werden können, wobei die minimale Ausdehnung das Universums endlich bleibt.
In dieser Arbeit werden Algorithmen zur Lösung zahlentheoretischer Probleme für klassische Computer und Quantencomputer entwickelt und analysiert sowie ihre Auswirkungen auf Public-Key-Kryptosysteme untersucht. Im Jahr 1994 veröffentliche Shor einen Quantenalgorithmus [Shor, 1994], der das Periodengitter einer gegebenen Funktion in Quanten-Polynomzeit bestimmt. Mit diesem Algorithmus läßt sich das Faktorisierungs- und das Diskreter-Logarithmus-Problems in endlichen abelschen Gruppen in Quanten-Polynomzeit lösen. Dadurch werden die meisten heutzutage verwendeten Public-Key-Kryptoverfahren unsicher, sollten hinreichend große Quantencomputer eines Tages gebaut werden können. Der erste Quantencomputer wurde 1998 gebaut [Chuang/Vandersypen/Zhou/Leung/Lloyd, 1998]. Er bestand aus zwei Qubits. Der größte Quantencomputer, der bis heute gebaut wurde, besteht aus nur sieben Qubits [Vandersypen/Steffen/Breyta/Yannoni/Sherwood/Chuang, 2001]. Es hat sich herausgestellt, daß das Bauen von großen Quantencomputern ein extrem schwieriges Problem ist. Aus diesem Grund kann davon ausgegangen werden, daß die Größe der Quantencomputer, d.h. die Anzahl der Qubits, aus denen ein Quantencomputer besteht, nur langsam wachsen wird. Deshalb ist es von Interesse, Shors Quantenalgorithmus an verschiedene abelsche Gruppen sowie gruppenähnliche Strukturen zu adaptieren und ihre genaue Komplexität zu untersuchen, um daraus die Bedrohungen für die betroffenen Kryptosysteme genau zu bestimmen. In dieser Arbeit werden Quantenalgorithmen zur Lösung des Ordnungsproblems und des DL-Problems in der Klassengruppe der Ideale eines imaginär-quadratischen Zahlkörpers angegeben und ihre Komplexität, d.h. die Anzahl der Qubits und der elementaren Quantenoperationen, bestimmt. Darüberhinaus werden Algorithmen zur Bestimmung des Regulators und zur Lösung des Hauptidealproblems und des erweiterten Diskreter-Logarithmus-Problems in reell-quadratischen Zahlkörpern präsentiert. Shors Algorithmus wird dabei auf Funktionen angewendet, die nicht injektiv innerhalb einer Periode sind. Auch in diesem Fall wird die Komplexität der Algorithmen genau bestimmt. Im Falle von Zahlkörpern eines beliebigen Grades wird eine weitere Modifikation von Shors Algorithmus entwickelt: Es wird das Periodengitter einer Funktion bestimmt, deren Periodengitter irrational ist. Dieser Algorithmus wird benutzt, um die Einheitengruppe eines beliebigen endlich-dimensionalen Zahlkörpers zu berechnen. Als nächstes werden die Auswirkungen von Quantenalgorithmen auf die Sicherheit von Public-Key-Kryptosystemen untersucht. Es wird ein neuer Sicherheitsbegriff eingeführt. Die Sicherheit zweier Kryptosysteme wird als gleich definiert, wenn die Anzahl der Qubits zum Brechen dieser Kryptosysteme gleich ist. Basierend auf der neuen Sicherheitsdefinition wird die Geschwindigkeit und die Schlüsselgröße von einigen Kryptosystemen verglichen. Im letzten Kapitel wird ein deterministischer klassischer Algorithmus zur Berechnung der Struktur einer endlichen abelschen Gruppe aus einem Erzeugendensystem präsentiert, dessen Laufzeit nur linear von der Anzahl der gegebenen Erzeuger abhängt und dessen Speicherplatzkomplexität unabhängig von der Anzahl der gegebenen Erzeuger ist. Das stellt eine exponentielle Verbesserung zu früheren Algorithmen dar, bei denen sowohl die Laufzeit als auch die Speicherplatzkomplexität exponentiell von der Anzahl der Erzeuger im gegebenen Erzeugendensystem abhängt [Buchmann/Jacobson/Teske, 1997].
Diese Bachelorarbeit erläutert die Grundlagen von Quantencomputern und ihr Potential sowie die Vorteile, die eine Auseinandersetzung mit diesem Thema mit sich bringt. Sie richtet sich an Leser ohne Vorwissen auf diesem Gebiet und stellt die Konzepte auf eine Art vor, die für jede Person mit einem Grundwissen im Softwarebereich zugänglich ist. Es werden dabei die Unterschiede zwischen klassischen Computern und Quantencomputern besprochen, sowie die grundlegende Funktionsweise, wie die Basiseinheiten (Qubits) und die Gatter, die auf diese angewendet werden. Um diese Grundbausteine und Funktionsweise zu veranschaulichen sowie die Potentiale von Quantencomputern nachzuvollziehen, werden drei Algorithmen näher besprochen. Der Deutsch-Algorithmus zeigt, dass Quantencomputer manche Probleme schneller als klassische Computer lösen können. Der Shor-Algorithmus kann RSA verschlüsselte Nachrichten schnell entschlüsseln. Der Grover-Algorithmus bietet eine schnelle Methode eine bestimmte Information in unsortierten Daten zu suchen. Die drei Algorithmen decken bereits ein recht breites Spektrum von Anwendungsmöglichkeiten von Quantencomputern ab. Dieses Potential sowie die Wichtigkeit der Auseinandersetzung mit der Mächtigkeit von Quantencomputern und ein kurzer Einblick in mögliche zukünftige Entwicklungen schießen die Arbeit ab. Diese Bachelorarbeit erläutert die Grundlagen von Quantencomputern und ihr Potential sowie die Vorteile, die eine Auseinandersetzung mit diesem Thema mit sich bringt. Sie richtet sich an Leser ohne Vorwissen auf diesem Gebiet und stellt die Konzepte auf eine Art vor, die für jede Person mit einem Grundwissen im Softwarebereich zugänglich ist. Es werden dabei die Unterschiede zwischen klassischen Computern und Quantencomputern besprochen, sowie die grundlegende Funktionsweise, wie die Basiseinheiten (Qubits) und die Gatter, die auf diese angewendet werden. 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