In dieser Arbeit werden die\nOrdnungsprozesse in klassischen frustrierten Isingmodellen und das\nGrundzustandsverhalten von frustrierten Quantenspinmodellen\nuntersucht. Im ersten Teil der Arbeit wird der Phasenübergang von\neiner paramagnetischen Hochtemperaturphase in einen\nantiferromagnetischen Grundzustand für ein Isingmodell auf dem\nQuadratgitter analysiert, das konkurrierende antiferromagnetische\nWechselwirkungen zwischen nächsten und übernächsten Nachbarspins\nbeinhaltet.\nIm Falle räumlich isotroper Wechselwirkungen ist der Phasenübergang\nzu einem kollinearem Zustand von besonderer Bedeutung. Mit Hilfe\nvon Monte-Carlo-Simulationen auf endlichen Gittern und\nfeldtheoretischen Methoden für das kontinuierliche Modell wird\ngezeigt, dass in Abhängigkeit von der Frustration drei Bereiche\nunterschieden werden können, die (i) Ising-universelles Verhalten,\n(ii) Ashkin-Teller-artiges nicht-universelles Verhalten\n(variierende Exponenten) und (iii) nicht-kritisches Verhalten\nerster Ordnung zeigen.\nFür räumlich anisotrope Wechselwirkungen wird mit Hilfe von\nMonte-Carlo-Simulationen eine inkommensurable Phase verifiziert ,\ndie durch frühere Molekularfeldrechnungen vorhergesagt wurde. Die\nNatur dieser Phase wird anhand von Spin-Spin-Korrelationsfunktionen\nuntersucht und es wird gezeigt, dass der Ordnungsvektor stark von\nder Temperatur und der Systemgröße abhängt. Im zweiten Teil der\nArbeit wird der Einfluss von Quantenfluktuationen auf klassische\nantiferromagnetische Grundzustände in anisotropen\nQuantenspin-1/2-Heisenbergmodellen untersucht, die konkurrierende\nWechselwirkungen aufweisen.\nUnter Benutzung von Quanten-Monte-Carlo-Simulationen, exakter\nDiagonalisierung und Störungstheorie wird das\nGrundzustandsphasendiagramm für das Quadratgitter mit nächster und\nübernächster Nachbarkopplung und das hexagonale Gitter mit bis zu\ndritt-nächster Nachbarwechselwirkung berechnet, wobei die\nFluktuationen als nicht konkurrierend gewählt sind. In beiden\nFällen werden die Regionen stabiler magnetischer Phasen\nidentifiziert und es wird eine Zwischenphase gefunden, die keine\nlangreichweitige Spinordnung zeigt. Weitere Berechnung schließen\naußerdem Valenzbond- und topologische Ordnung aus, d.h. ein\nungeordneter Grundzustand ist in diesen quantenmechanischen\nModellen stabil.
In dieser Arbeit werden die\nOrdnungsprozesse in klassischen frustrierten Isingmodellen und das\nGrundzustandsverhalten von frustrierten Quantenspinmodellen\nuntersucht. Im ersten Teil der Arbeit wird der Phasenübergang von\neiner paramagnetischen Hochtemperaturphase in einen\nantiferromagnetischen Grundzustand für ein Isingmodell auf dem\nQuadratgitter analysiert, das konkurrierende antiferromagnetische\nWechselwirkungen zwischen nächsten und übernächsten Nachbarspins\nbeinhaltet.\nIm Falle räumlich isotroper Wechselwirkungen ist der Phasenübergang\nzu einem kollinearem Zustand von besonderer Bedeutung. Mit Hilfe\nvon Monte-Carlo-Simulationen auf endlichen Gittern und\nfeldtheoretischen Methoden für das kontinuierliche Modell wird\ngezeigt, dass in Abhängigkeit von der Frustration drei Bereiche\nunterschieden werden können, die (i) Ising-universelles Verhalten,\n(ii) Ashkin-Teller-artiges nicht-universelles Verhalten\n(variierende Exponenten) und (iii) nicht-kritisches Verhalten\nerster Ordnung zeigen.\nFür räumlich anisotrope Wechselwirkungen wird mit Hilfe von\nMonte-Carlo-Simulationen eine inkommensurable Phase verifiziert ,\ndie durch frühere Molekularfeldrechnungen vorhergesagt wurde. Die\nNatur dieser Phase wird anhand von Spin-Spin-Korrelationsfunktionen\nuntersucht und es wird gezeigt, dass der Ordnungsvektor stark von\nder Temperatur und der Systemgröße abhängt. Im zweiten Teil der\nArbeit wird der Einfluss von Quantenfluktuationen auf klassische\nantiferromagnetische Grundzustände in anisotropen\nQuantenspin-1/2-Heisenbergmodellen untersucht, die konkurrierende\nWechselwirkungen aufweisen.\nUnter Benutzung von Quanten-Monte-Carlo-Simulationen, exakter\nDiagonalisierung und Störungstheorie wird das\nGrundzustandsphasendiagramm für das Quadratgitter mit nächster und\nübernächster Nachbarkopplung und das hexagonale Gitter mit bis zu\ndritt-nächster Nachbarwechselwirkung berechnet, wobei die\nFluktuationen als nicht konkurrierend gewählt sind. In beiden\nFällen werden die Regionen stabiler magnetischer Phasen\nidentifiziert und es wird eine Zwischenphase gefunden, die keine\nlangreichweitige Spinordnung zeigt. Weitere Berechnung schließen\naußerdem Valenzbond- und topologische Ordnung aus, d.h. ein\nungeordneter Grundzustand ist in diesen quantenmechanischen\nModellen stabil.
In der vorliegenden Arbeit erforschen wir Netzwerke von Vielteilchen-Quantensystemen, um neue, durch die Wechselwirkung der individuellen Knoten entstehende Quanten- und topologische Phasen zu beschreiben. Alle betrachteten Netzwerke beruhen auf dem semi-klassischen Lipkin–Meshkov–Glick-Model, und die Kopplungen zwischen den Netzwerk-Knoten werden mit entweder einer oder zwei Kopplungskonstanten beschrieben. Es wurde gezeigt, dass die uniforme anisotropische y–y Kopplung vier Quantenphasen ergibt (wenn sowie positive, als auch negative Werte für Kopplungskonstanten berücksichtigt werden), die sich in den Mean-Fields und der Entartung der Grundzustände unterscheiden. Für schwache Kopplungen befindet sich das Netzwerk in der paramagnetischen Phase. Wird es jedoch von der Selbstwechselwirkung dominiert, so wird der Grundzustand exponentiell entartet. Für starke Kopplungen ist der Grundzustand zweifach entartet und weist eine Fernordnung auf. Über die Mean-Field-Approximation hinausgehend, erhielten wir analytische Ausdrücke für die Dispersionsrelationen der Energie für ein eindimensionales Netz mit periodischen Randbedingungen. Für relativ kleine Netzwerke rechneten wir die Grundzustandsenergie durch direkte Diagonalisierung des Hamiltonians aus. Das Effekt der Einführung einer zweiten Kopplungskonstante wurde auf dem Beispiel der eindimensionale Kette (eine Erweiterung des SSH-Models auf Vielteilchensysteme) betrachtet, und die grundsätzliche Frage war die Untersuchung vom Wechselspiel zwischen den topologischen und Quantenphasen. Es wurde gezeigt, dass die Sprungkopplung zwischen Knoten fünf Quantenphasen ergibt, wenn sowie positive, als auch negative Werte für Kopplungskonstanten berücksichtigt werden. Die Analyse von der Quantenfluktuationen um die Mean-Field-Lösungen zeigte, dass es für dieses Model topologisch triviale und nicht-triviale Phasen gibt, die durch den Wert der symplectischen Polarisation voneinander abweichen. Die Bulk--Grenzen-Beziehung wurde auf dem Beispiel einer endlichen Kette mit offenen Randbedingungen getestet, und es wurde bestätigt, dass die Anzahl der lokalisierten Randzustände proportional zum Wert der symplectische Polarisation ist. Weitere Analyse zeigte, dass ein zusätzliches Paar von Randzuständen in der selbstwechselwirkungdominierten Quantenphase erscheint, das keinen Zusammenhang mit der Topologie hat. Außerdem, wenn eine von den Kopplungen stark wird, werden topologische Randzustände von Bulk-Bänden abgefangen und dadurch seine Lokalisation verlieren.
Die theoretische und experimentelle Untersuchung stark korrelierter Quantensysteme im und ausserhalb des Gleichgewichts ist in den letzten Jahren zu einem zentralen Forschungsschwerpunkt in der Physik der kondensierten Materie geworden. In dieser Habilitationsschrift werden anhand eigener Beiträge aktuelle Entwicklungen diskutiert und ein Ausblick auf zukünftige Entwicklungen des Feldes gegeben. Es wird dabei ein direkter Bezug von theoretischen Zugängen zu aktuellen Experimenten mit ultrakalten Gasen und mit stark korrelierten Materialien genommen. Insbesondere werden mikroskopische Modelle diskutiert, die zur Modellierung stark korrelierter Materialien (wie z.B. Quantenmagnete) herangezogen werden. Das zweite Thema der Schrift behandelt die Realisierung und Untersuchung von Quantenvielteilcheneffekten in aktuellen Experimenten mit ultrakalten Gasen durch sogenannte Quantensimulatoren. Ziel ist es, aufgrund theoretischer Überlegungen Vorhersagen zur Emulation stark korrelierter Systeme zu treffen und, basierend auf numerisch exakten Simulationen, Vorhersagen für die Experimente zu treffen. Da solche Experimente insbesondere auch ausserhalb des Gleichgewichts durchgeführt werden können, knüpft dies direkt an das dritte Thema der Schrift an, in dem die Physik von Quantenvielteilchensystemen ausserhalb des Gleichgewichts untersucht wird. Dazu gehören die Behandlung des Relaxationsverhaltens nach sogenannten Quantum Quenches und Fragestellungen zum Transport, die hier anhand von Situationen auf optischen Gittern diskutiert werden. Die drei Themenbereiche werden überspannt von der Fragestellung, wie man neuartige Quantenzustände realisieren kann, und wie man diese charakterisieren kann. Ausserhalb des Gleichgewichts erwächst die Fragestellung, ob durch das Relaxationsverhalten ungewöhnliche Zustände erzeugt werden können. Wie in dieser Arbeit diskutiert, ergeben sich in der Tat unerwartete Ergebnisse, wie die Bildung negativer Temperaturen, oder das Anwachsen der Teilchendichte verursacht durch repulsive Wechselwirkungen. Im Gleichgewicht kann das Vorhandensein starker Magnetfelder zu interessantem Verhalten führen, wie anhand verschiedener Systeme diskutiert wird. Hervorzuheben sind hier die Bildung unkonventioneller Mott-Isolatoren, von Phasen mit 'spin-nematischer' Ordnung, und unkonventionelle Quantenphasenübergänge. Eine aktuelle Entwicklung der aktuellen Forschung behandelt die Bildung sogenannter topologischer Phasen, die nicht durch einen lokalen Ordnungsparameter beschrieben werden und sich somit der Charakterisierung im Rahmen der Landau-Theorie von Phasen und Phasenübergängen entziehen. Aktuelle Fragestellungen sind die Realisierung solcher Phasen im Vorhandensein von Wechselwirkungen, auch langreichweitiger Natur, wie sie in Quantensimulatoren mit polaren Molekülen in Erscheinung treten. In dieser Schrift wird diskutiert, wie diese Fragestellungen durch einen numerischen Zugang - die Dichtematrixrenormierungsgruppe - behandelt werden können und wie diese sehr flexible Methode zu interessanten Einsichten in die facettenreiche Physik stark korrelierter Quantensysteme führt.
Die vorliegende Arbeit gibt eine Einführung in die Theorie der Optimum-Grundzustände und ihrer Realisation in Vertex-Zustands-Modellen in Dimensionen D>=2. Mit Hilfe einer Verallgemeinerung der Vertex-Zustands-Modelle können Quanten-Spin-Systeme mit Spins der Größe S auf beliebigen Gittern mit beliebiger Koordinationszahl z für S>= n z/2 realisiert werden. Die Grundzustände dieser Modelle können exakt angegeben werden und bieten so Zugang zum Tieftemperaturverhalten dieser Modelle. Mit dieser Methode konstruierte Grundzustände zeigen reichhaltiges physikalisches Verhalten. Es werden Modelle mit anitiferromagnetischer, schwach antiferromagnetischer und mit schwach ferromagnetischer/ ferrimagnetischer Ordnung vorgestellt, deren Grundzustände niedrig entartet sind. Bei vielen Modellen lassen sich Quantenphasenübergänge sehen, die erster oder zweiter Ordnung sein können. Im Fall der Phasenübergänge zweiter Ordnung lassen sich diverse kritische Exponenten bestimmen. Die Abhängigkeiten der unterschiedlichen Eigenschaften von der Größe der Spins, von der Dimensionalität sowie von der Koordinationszahl werden untersucht.
Ziel dieser Forschungsarbeit ist die Untersuchung von Phasen der Quantenmaterie, die dynamischer Natur sind, d.h. Phasen, welche durch das Treiben eines Quanten-Vielteilchensystems aus dem Gleichgewicht erzeugt werden. Die untersuchten Systeme sind offene Quanten-Vielteilchensysteme, die mit den Freiheitsgraden ihrer Umgebung gekoppelt sind. Im Gegensatz zu Quantenphasenübergängen von isolierter Quantenmaterie, welche in der Regel eng mit den Eigenschaften des Grundzustands und den entsprechenden statischen Ordnungsparametern verbunden sind, wie z. B. Transporteigenschaften, Korrelationslänge oder topologische Phänomene, kann in offenen Quantensystemen, welche effektiv durch nicht-hermitsche Dynamik beschrieben werden, kein Grundzustand definiert werden, und die Charakterisierung der dynamisch induzierten Phasen ist weniger offensichtlich. In unserer Forschung untersuchen wir zwei Fälle von dynamischen Phasen in Quanten-Vielteilchensystemen. Zunächst betrachten wir ``quantum quenches'' in getrieben-dissipativen quadratischen fermionischen Systemen. Ein quantum quench bezieht sich hier auf die abrupte Änderung eines Systemparameters und die Entwicklung eines Anfangszustandes gemäß diesen neuen Bedingungen, wodurch eine Dynamik außerhalb des Gleichgewichts entsteht. Im Gegensatz zu isolierten Quantensystemen, in denen solche Protokolle gut untersucht sind, sind quantum quenches in offenen Quantensystemen kaum erforscht. In diesem Zusammenhang finden wir eine neue Art von dynamischer Phase, die eng mit einer bestimmten verallgemeinerten Form von Thermalisierung verbunden ist. Diese Form der Thermalisierung wird durch eine kombinierte Paritäts-Zeit-Symmetrie der getrieben-dissipativen fermionischen Systeme garantiert. Ähnlich wie bei integrablen isolierten Quantensystemen, die lokal zu einem verallgemeinerten Gibbs-Ensemble relaxieren nachdem sie aus dem Gleichgewicht gebracht wurden, zeigen wir, dass paritätszeitsymmetrische quadratische fermionische Systeme zu einem statistischen Ensemble relaxieren, das wir das paritätszeitsymmetrische verallgemeinerte Gibbs-Ensemble (PTGGE) nennen. Darüber hinaus stellen wir fest, dass Nullmoden des PTGGE die Oszillationsperioden der topologischen (Un-)Ordnungsparameter bestimmen, die an dynamischen Phasengrenzen mit kritischen Skalierungsexponenten divergieren. Weiters deutet die Modifikation der langwelligen effektiven Beschreibung durch ein langreichweitig gekoppeltes Modell und die dadurch veränderten kritischen Exponenten stark auf ein universelles Verhalten hin. Messungsinduzierte Phasen und Übergänge sind ein weiteres Beispiel im Bereich der dynamisch erzeugten Phasen. In diesem Fall erzeugt das Zusammenspiel von unitärer Evolution und häufigen Messungen in einem Quanten-Vielteilchensystem eine stochastische Dynamik mit einem Übergang in der Skalierung der Verschränkung des stationären Zustands. Insbesondere in einem System, das bei rein unitärer Evolution eine volumensabhängige Skalierung der Verschränkungsentropie aufweist, unterdrücken häufige Messungen die Erzeugung von Verschränkung im Durchschnitt über viele Realisationen der stochastischen Entwicklung, was zu einer flächenabhängigen Skalierung führt. Eine gängige Erklärung für dieses Phänomen ist das Einfrieren der Dynamik aufgrund häufiger projektiver Messungen, die einen Quanten-Zeno-Effekt hervorrufen. Wir zeigen, dass die Unterdrückung der Verschränkungserzeugung nicht nur bei projektiven Messungen auftritt, sondern dass vielmehr ein verallgemeinerter Zeno-Effekt aufgrund verallgemeinerter Messungen ausreicht, um die kohärente Dynamik zu unterdrücken, was analoge Signaturen in den stationären Observablen für projektive und verallgemeinerte Messungen verursacht. Des Weiteren gehen wir auf eine aktuelle Kontroverse ein, in der die Existenz einer dynamischen Phase mit kritischer Verschränkungsskalierung für freie Fermionen unter kontinuierlicher Messung lokaler Besetzungszahlen diskutiert wird. Durch eine präzise numerische Analyse in Verbindung mit analytischen Vorhersagen, die aus einer replizierten Keldysh-Feldtheorie für verallgemeinerte Messungen abgeleitet wurden, sind wir in der Lage, starke Hinweise für das Fehlen einer ausgedehnten kritischen Phase vorzulegen und das theoretische Verständnis weiterzuentwickeln, indem wir zeigen, dass die Kritikalität auf einen gut definierten kritischen Bereich endlicher Längenskalen beschränkt ist.
Thema dieser Arbeit ist die Entwicklung und Kombination verschiedener numerischer Methoden, sowie deren Anwendung auf Probleme stark korrelierter Elektronensysteme. Solche Materialien zeigen viele interessante physikalische Eigenschaften, wie z.B. Supraleitung und magnetische Ordnung und spielen eine bedeutende Rolle in technischen Anwendungen. Es werden zwei verschiedene Modelle behandelt: das Hubbard-Modell und das Kondo-Gitter-Modell (KLM). In den letzten Jahrzehnten konnten bereits viele Erkenntnisse durch die numerische Lösung dieser Modelle gewonnen werden. Dennoch bleibt der physikalische Ursprung vieler Effekte verborgen. Grund dafür ist die Beschränkung aktueller Methoden auf bestimmte Parameterbereiche. Eine der stärksten Einschränkungen ist das Fehlen effizienter Algorithmen für tiefe Temperaturen.rnrnBasierend auf dem Blankenbecler-Scalapino-Sugar Quanten-Monte-Carlo (BSS-QMC) Algorithmus präsentieren wir eine numerisch exakte Methode, die das Hubbard-Modell und das KLM effizient bei sehr tiefen Temperaturen löst. Diese Methode wird auf den Mott-Übergang im zweidimensionalen Hubbard-Modell angewendet. Im Gegensatz zu früheren Studien können wir einen Mott-Übergang bei endlichen Temperaturen und endlichen Wechselwirkungen klar ausschließen.rnrnAuf der Basis dieses exakten BSS-QMC Algorithmus, haben wir einen Störstellenlöser für die dynamische Molekularfeld Theorie (DMFT) sowie ihre Cluster Erweiterungen (CDMFT) entwickelt. Die DMFT ist die vorherrschende Theorie stark korrelierter Systeme, bei denen übliche Bandstrukturrechnungen versagen. Eine Hauptlimitation ist dabei die Verfügbarkeit effizienter Störstellenlöser für das intrinsische Quantenproblem. Der in dieser Arbeit entwickelte Algorithmus hat das gleiche überlegene Skalierungsverhalten mit der inversen Temperatur wie BSS-QMC. Wir untersuchen den Mott-Übergang im Rahmen der DMFT und analysieren den Einfluss von systematischen Fehlern auf diesen Übergang.rnrnEin weiteres prominentes Thema ist die Vernachlässigung von nicht-lokalen Wechselwirkungen in der DMFT. Hierzu kombinieren wir direkte BSS-QMC Gitterrechnungen mit CDMFT für das halb gefüllte zweidimensionale anisotrope Hubbard Modell, das dotierte Hubbard Modell und das KLM. Die Ergebnisse für die verschiedenen Modelle unterscheiden sich stark: während nicht-lokale Korrelationen eine wichtige Rolle im zweidimensionalen (anisotropen) Modell spielen, ist in der paramagnetischen Phase die Impulsabhängigkeit der Selbstenergie für stark dotierte Systeme und für das KLM deutlich schwächer. Eine bemerkenswerte Erkenntnis ist, dass die Selbstenergie sich durch die nicht-wechselwirkende Dispersion parametrisieren lässt. Die spezielle Struktur der Selbstenergie im Impulsraum kann sehr nützlich für die Klassifizierung von elektronischen Korrelationseffekten sein und öffnet den Weg für die Entwicklung neuer Schemata über die Grenzen der DMFT hinaus.
Der erste Teil dieser Arbeit ist dem Kondogittermodell gewidmet. Für ein Elektron, das in einen ferromagnetisch gesättigten Hintergrund aus lokalen Spinmomenten eingebracht wird (ferromagnetisches Polaron), wird die stationäre Schrödingergleichung gelöst und das vollständige Eigenwertspektrum im endlichen und unendlichen Gitter abgeleitet. Danach wird die zeitabhängige Schrödingergleichung für beliebige Anfangsbedingungen gelöst und eine detaillierte Analyse des Down-Elektron-Zerfalls vorgenommen. Für endliche Bandfüllungen wird im Anschluss das magnetische Grundzustandsphasendiagramm mit Hilfe einer Molekularfeldtheorie bestimmt. Der Einfluss von Verdünnung/Unordnung im lokalen Momentensystem auf die auftretenden Phasen wird analysiert. Im zweiten Teil der Arbeit wird das Hubbardmodell untersucht. Für dieses wird mit Hilfe einer modifizierten Störungstheorie (englisch: modified perturbation theory, MPT) eine wellenzahlabhängige (nicht-lokale) Selbstenergie abgeleitet, die sowohl für schwache als auch für starke Coulombwechselwirkungen gute Ergebnisse liefert. Mit dieser werden dann Spektraldichten und Quasiteilchenzustandsdichten berechnet, wobei insbesondere die nicht-lokalen Korrelationseffekte im Fokus stehen. Daneben werden Ergebnisse für die optische Leitfähigkeit, die in einer renormierten diagrammatischen Ein-Schleifen-Näherung berechnet wurden, besprochen. Es wird dann gezeigt, dass nur unter Beachtung der nicht-lokalen Korrelationseffekte ein ferromagnetisches Phasendiagramm konstruiert werden kann, das in Einklang mit dem Mermin-Wagner-Theorem steht.