Espaces de Fok, produit tensoriel et fonctions spéciales en mécanique quantique : un problème d’optimisation non convexe en cristallographie : théorie et algorithme
Ce travail comporte trois parties. Dans la premiere partie, on etablit d’abord une correspondance entre les operateurs d’un espace de Hilbert et les operateurs de l’espace de Fok qu’on peut lui associer (generateurs infinitesimaux de semi-groupes, mesures spectrales) ; on donne ensuite un fondement mathematique a l'usage du produit tensoriel en mecanique quantique pour representer les etats d'un systeme complexe et un resultat sur les produits tensoriels de systemes d'imprimitivite. On etudie ensuite des equations differentielles dont les solutions, generalisant les fonctions speciales, sont des fonctions d'ondes de l’equation de Schrodinger pour certains potentiels. On etudie tout particulierement l’equation de Heun et ses confluentes. Par ailleurs on etudie aussi les systemes de coordonnees dans lesquels l’equation de Helmholtz se separe. On decrit enfin dans le cas de r#2 un lien entre types d'orbites et coordonnees locales permettant de separer les operateurs differentiels d'ordre 2. Dans la derniere partie, on etudie un probleme d'optimisation en cristallographie. Une etude theorique est faite en faisant intervenir une fonctionnelle entropie generale et on etudie le probleme a contraintes lineaires associe et son probleme dual dans un cadre d'espace de Banach non reflexif. Le probleme non convexe de depart ainsi qu'un probleme penalise associe sont ensuite abordes. Finalement on presente un algorithme de resolution numerique et des resultats de calcul
Ce travail comporte trois parties. Dans la premiere partie, on etablit d’abord une correspondance entre les operateurs d’un espace de Hilbert et les operateurs de l’espace de Fok qu’on peut lui associer (generateurs infinitesimaux de semi-groupes, mesures spectrales) ; on donne ensuite un fondement mathematique a l'usage du produit tensoriel en mecanique quantique pour representer les etats d'un systeme complexe et un resultat sur les produits tensoriels de systemes d'imprimitivite. On etudie ensuite des equations differentielles dont les solutions, generalisant les fonctions speciales, sont des fonctions d'ondes de l’equation de Schrodinger pour certains potentiels. On etudie tout particulierement l’equation de Heun et ses confluentes. Par ailleurs on etudie aussi les systemes de coordonnees dans lesquels l’equation de Helmholtz se separe. On decrit enfin dans le cas de r#2 un lien entre types d'orbites et coordonnees locales permettant de separer les operateurs differentiels d'ordre 2. Dans la derniere partie, on etudie un probleme d'optimisation en cristallographie. Une etude theorique est faite en faisant intervenir une fonctionnelle entropie generale et on etudie le probleme a contraintes lineaires associe et son probleme dual dans un cadre d'espace de Banach non reflexif. Le probleme non convexe de depart ainsi qu'un probleme penalise associe sont ensuite abordes. Finalement on presente un algorithme de resolution numerique et des resultats de calcul
Ce memoire est divise en trois grandes parties. La premiere est consacree essentiellement a l'etude des produits en probabilites quantiques. Nous donnons une classification complete a l'aide du produit universel defini par un ensemble d'axiomes canoniques dans les differentes categories d'algebres associatives. Ceci nous permet aussi de definir la notion d'independance stochastique non-commutative. En particulier nous demontrons que les seuls produits sont les produits tensoriel (classique), libre et booleen. La seconde partie est motivee directement par la premiere. Elle est consacree a l'etude des processus de Levy sur les groupes duaux de D. Voiculescu. Ce nouveau concept generalise la theorie des processus de Levy sur les algebres de Hopf (groupes quantiques) ou la seule notion d'independance est donnee par le produit tensoriel. Ce principe nous fournit l'outil principal pour montrer qu'un processus de Levy sur un groupe dual est determine par son generateur. Comme application directe, nous donnons une realisation des processus de Levy additifs sur les trois espaces de Fock (bosonique, libre et booleen). La troisieme partie est consacree au developpement du calcul stochastique quantique sur l'espace de Fock booleen. En particulier nous introduisons l'integrale stochastique et nous donnons une formule d'Ito quantique. Nous construisons aussi les solutions de l'equation differentielle stochastique quantique au sens de R. L. Hudson et K. R. Parthasarathy. Finalement nous construisons les dilatations des semi-groupes completement positifs.
Ce mémoire est divisé en trois grandes parties. La première est consacrée essentiellement à l'étude des produits en probabilités quantiques. Nous donnons une classification complète à l'aide du produit universel défini par un ensemble d'axiomes canoniques dans les différentes catégories d'algèbres associatives. Ceci nous permet aussi de définir la notion d'indépendance stochastique non-commutative. En particulier nous démontrons que les seuls produits sont les produits tensoriel (classique), libre et booléen. La seconde partie est motivée directement par la première. Elle est consacrée à l'étude des processus de Lévy sur les groupes duaux de D. Voiculescu. Ce nouveau concept généralise la théorie des processus de Lévy sur les algèbres de Hopf (groupes quantiques) où la seule notion d'indépendance est donnée par le produit tensoriel. Ce principe nous fournit l'outil principal pour montrer qu'un processus de Lévy sur un groupe dual est déterminé par son générateur. Comme application directe, nous donnons une réalisation des processus de Lévy additifs sur les trois espaces de Fock (bosonique, libre et booléen). La troisième partie est consacrée au développement du calcul stochastique quantique sur l'espace de Fock booléen. En particulier nous introduisons l'intégrale stochastique et nous donnons une formule d'Itô quantique. Nous construisons aussi les solutions de l'équation différentielle stochastique quantique au sens de R.L. Hudson et K.R. Parthasarathy. Finalement nous construisons les dilatations des semi-groupes complètement positifs.
Cette these se compose de trois parties. Dans une premiere partie on etudie un probleme spectral associe a l'equation de Schrodinger independante du temps en trois dimensions et a plusieurs particules : la caracterisation des etats excites d'une molecule en termes de recherche de points critiques sur une variete. L'approximation utilisee est l'approximation MCSCF. Le probleme spectral est transforme en un probleme de geodesiques et d'etude d'indice de Morse de points critiques. On met en œuvre un algorithme pour le traitement numerique de ce probleme et on met en evidence l'amelioration des resultats obtenus par rapport aux algorithmes existants. Dans une deuxieme partie, on etudie l'equation de Schrodinger dependante du temps a une particule en une dimension. Des potentiels non triviaux en espace et ou en temps sont appliques. On resout alors exactement le probleme des conditions aux limites transparentes dans le cadre continu ou discret. On donne des formules fermees originales sous forme d'algorithme possedant un nombre d'iterations fini ou bien via des representations integrales sur des fonctions speciales. Le cas des potentiels harmonique, electrostatique dependant du temps, semi-periodique sont ainsi resolus. On etudie de maniere formelle sans donner de formule fermee la forme prise par l'operateur de Dirichlet-to-Neuman dans le cas d'un potentiel encore plus complique. Cette partie est completee par des apports divers d'analyse sur les fonctions speciales et certaines equations integrales. Dans une troisieme partie on etudie des proprietes et des algorithmes de resolutions numeriques d'une equation des film fin a frontiere libre posee sur une variete avec bords.
Dynamique hors-équilibre des systèmes quantiques ouverts et fermés Cette thèse est consacrée à l'étude de la dynamique de hors-équilibre dans les systèmes quantiques fermés et ouverts. La question de l'obtention d'équations dynamiques numériquement efficaces pour simuler de tels systèmes, qui souffrent d'une malédiction de dimensionnalité lorsqu'ils sont de grande taille est au centre de la thèse, ainsi que les divers nouveaux résultats physiques qui peuvent être obtenus grâce à ces équations efficaces. La question de l'obtention de représentations efficaces des états quantiques est également centrale, à travers la construction d'Ansatz. En particulier, nous présentons la méthode du sous-espace dynamique, une nouvelle méthode numérique pour la simulation de l'évolution temporelle de systèmes quantiques ouverts avec une entropie modérée. En représentant la matrice densité par un sous-espace constitué de M états purs, la complexité de l'intégration de l'équation maîtresse de Lindblad est considérablement réduite, et l'algorithme obtenu est entièrement déterministe. Nous appliquons ensuite cette méthode pour modéliser des algorithmes quantiques bruités, en simulant un algorithme quantique bruité de transformation de Fourier qui est au centre de l'algorithme de Shor pour la factorisation de nombre premiers. Nous trouvons une loi d'échelle pour l'erreur en fonction du taux de dissipation, et le comportement de l'infidélité par rapport au circuit idéal est modélisé en fonction des états initiaux qui sont fournis en entrée à l'algorithme. Ensuite, l'application des méthodes d'apprentissage automatique à la mécanique quantique est présentée, à travers la classe d'Ansatz des états quantiques neuronaux (NQS). La construction générale des NQS est introduite, ainsi que sa relation avec d'autres Ansatz tels que les réseaux tensoriels. Ensuite, le problème de la simulation de la dynamique des systèmes fermés avec NQS est étudié, ainsi que les problèmes courants liés à la géométrie de l'espace des paramètres qui peuvent survenir. Un schéma alternatif est introduit et appliqué aux quenches dépendantes du temps dans les systèmes critiques, où le mécanisme de Kibble-Zurek peut être étudié. Enfin, différentes constructions d'Ansatz pour les systèmes ouverts sont présentées, notamment la combinaison de la méthode du sous-espace dynamique avec un Ansatz neuronal. Enfin, nous étudions théoriquement la propagation de l'intrication dans les systèmes photoniques dissipatifs à forte interaction, motivés par la réalisation expérimentale récente de telles plateformes. Nos résultats montrent qu'en dépit du caractère dissipatif du système étudié, la propagation de l'intrication est ballistique avec une vitesse en accord avec l'image de quasiparticules impliquées dans la dynamique, des doublons et des holons photoniques. Notre analyse révèle que la dissipation est fortement asymétrique dans les deux cas étudiés de l'injection d'un doublon ou de son extraction, avec une influence plus forte dans le cas de l'extraction.
Dans ce travail on se concentre sur une methode alternative de quantification a travers des etats coherents. La methode canonique associe un pair de variables conjuguees classiques et identifie leur crochet de Poisson au commutateur quantique de ses observables quantiques correspondantes. Les observables sont definies comme des operateurs auto-adjoints agissant sur un espace de Hilbert particulier. Leurs valeurs physiques se trouvent dans leur resolution spectrale, et pourtant sont lies a une mesure a valeur projection (PV). Neanmoins, il existe un empechement lorsqu’on impose des bornes sur les ces spectres. Cette restriction sur la definition des operateurs est decrite par un theoreme de W. Pauli et ouvre la voie vers la definition de methodes alternatives de quantification. La quantification par etats coherents propose une definition d’observable quantique qui prend des valeurs a travers la valeur moyenne sur une famille « coherente » non-orthogonale et surcomplete de vecteurs dans l’espace de Hilbert. Les etats coherents definis a cet effet partagent avec ceux de oscillateur harmonique la propriete d’etre des resolutions de l’identite et d’etre parametrises par un indice discret et une variable complexe. Ceci les rend particulierement utiles pour « traduire » des variables classiques en operateurs quantiques bien definis. On a etudie trois cas particuliers ou la definition d’operateurs auto-adjoints est compromise. En premier on propose une definition de l’operateur de phase, correspondant a l’angle conjugue a l’action classique. En deuxieme place on etudie la quantification du mouvement dans un puits infini de potentiel, notamment, l’operateur d’impulsion problematique est defini proprement. Finalement ont propose un operateur temps, conjugue au Hamiltonien, pour une particule libre en utilisant des etats coherents de type SU(1,1) sur des demi plans de Poincare
Dans cette thèse, nous étudions trois classes de modèles utilisés dans la littérature pour représenter les systèmes quantiques: 1 -L'équation de Schrödinger où le contrôle agit sur le système de façon bilinéaire; 2 -L'équation de Lindblad; 3 -Les filtres quantiques (modèles stochastiques). Les contributions de la thèse concernant l'équation de Schrödinger se répartissent en trois parties. Dans le premier chapitre, nous étudions la contrôlabilité d'un tel système. Le cas de dimension finie étant déjà bien exploré, nous traitons l'exemple d'un oscillateur harmonique quantique comme un cas typique des problèmes de dimension infinie. Parmi les résultats obtenus nous retrouvons transposée dans les termes de la théorie du contrôle, l'assertion bien connue des physiciens: ``les sources classiques de contrôle ne peuvent générer que de la lumière classique''. La question de la génération des trajectoires est abordée dans le Chapitre 2. Le contrôle en boucle ouverte du système est alors traité à l'aide des méthodes de stabilisation de Lyapounov. Ces méthodes de contrôle par feedback sont utilisées en simulation et le contrôle retrouvé est ensuite inséré en boucle ouverte dans le système physique. La convergence est étudiée dans différentes configurations et des exemples numériques tirés de la chimie quantique sont testés. Enfin dans le chapitre 3, nous étudions le problème inverse d'identification de l'Hamiltonien. Malgré le grand intérêt pratique que présente ce problème, peu de contributions ont été apportées jusqu'à maintenant. Nous étudions d'abord le problème mathématique d'identifiabilité. Une première réponse positive à cette question est apportée. Ensuite nous considérons le problème d'identification. A l'aide de méthodes numériques d'optimisation, nous proposons une première approche qui permet de résoudre ce problème inverse. Au sujet de l'équation de Lindblad, la contribution de cette thése se résume à la réduction du modèle lorsque certaines hypothèses sur les durées de vie atomiques sont vérifiées. Cette étude peut être considérée comme une première étape vers le contrôle en boucle fermée d'un ensemble statistique de systèmes quantiques. Finalement dans le chapitre 5, nous considérons les filtres quantiques. Certaines méthodes issues de la théorie des probabilités ainsi que les techniques de Lyapounov stochastiques nous permettent d'étudier la stabilisation globale de ces modéles.