Les systemes quantiques d'interactions repetees sont des modeles a la fois simples et flexibles qui apparaissent de facon naturelle dans plusieurs domaines, dont notamment l'optique quantique et la theorie des bruits quantiques. Dans cette these, on s'est interesse a leur etude perturbative. On a generalise un theoreme du a Attal et Joye [Attal and Joye, Weak Coupling and Continuous Limits for Repeated Quantum Interactions, J. Stat. Phys., 126, (2007)] sur l'existence de limite de van Hove pour ces systemes au cadre des algebres de von Neumann quelconques. Ensuite, on a montre que si le systeme de reference est de dimension fini, alors l'existence d'un etat asymptotique unique pour la limite de van Hove implique la convergence vers un etat asymptotique periodique unique pour le systeme de reference, pourvu que le parametre de perturbation soit suffisamment petit. De plus, le terme d'ordre zero du developpement en puissances du parametre de perturbation de cet etat asymptotique periodique coincide avec l'etat asymptotique de la limite de van Hove, sauf pour la difference d'echelle temporelle qui doit etre prise en compte (donnant lieu a la periodicite). Ce resultat est important pour la justification physique de l'utilisation du formalisme thermodynamique dans le regime de couplage faible developpe dans [Lebowitz and Spohn, Irreversible thermodynamics for quantum systems weakly coupled to thermal reservoirs, Adv. Chem. Phys. 38 (1978)].
Les systemes quantiques d'interactions repetees sont des modeles a la fois simples et flexibles qui apparaissent de facon naturelle dans plusieurs domaines, dont notamment l'optique quantique et la theorie des bruits quantiques. Dans cette these, on s'est interesse a leur etude perturbative. On a generalise un theoreme du a Attal et Joye [Attal and Joye, Weak Coupling and Continuous Limits for Repeated Quantum Interactions, J. Stat. Phys., 126, (2007)] sur l'existence de limite de van Hove pour ces systemes au cadre des algebres de von Neumann quelconques. Ensuite, on a montre que si le systeme de reference est de dimension fini, alors l'existence d'un etat asymptotique unique pour la limite de van Hove implique la convergence vers un etat asymptotique periodique unique pour le systeme de reference, pourvu que le parametre de perturbation soit suffisamment petit. De plus, le terme d'ordre zero du developpement en puissances du parametre de perturbation de cet etat asymptotique periodique coincide avec l'etat asymptotique de la limite de van Hove, sauf pour la difference d'echelle temporelle qui doit etre prise en compte (donnant lieu a la periodicite). Ce resultat est important pour la justification physique de l'utilisation du formalisme thermodynamique dans le regime de couplage faible developpe dans [Lebowitz and Spohn, Irreversible thermodynamics for quantum systems weakly coupled to thermal reservoirs, Adv. Chem. Phys. 38 (1978)].
Systèmes quantiques ouverts et processus stochastiques quantiques De nombreux phénomènes de physique quantique ne peuvent être compris que par l'analyse des systèmes ouverts. Un appareil de mesure, par exemple, est un système macroscopique en contact avec un système quantique. Ainsi, tout modèle d'expérience doit prendre en compte les dynamiques propres aux systèmes ouverts. Ces dynamiques peuvent être complexes : l'interaction du système avec son environnement peut modifier ses propriétés, l'interaction peu créer des effets de mémoire dans l'évolution du système, . . . Ces dynamiques sont particulièrement importantes dans l'étude des expériences d'optique quantique. Nous sommes aujourd'hui capables de manipuler individuellement des particules. Pour cela la compréhension et le contrôle de l'influence de l'environnement est crucial. Dans cette thèse nous étudions d'un point de vue théorique quelques procédures communément utilisées en optique quantique. Avant la présentation de nos résultats, nous introduisons et motivons l'utilisation de la description markovienne des systèmes quantiques ouverts. Nous présentons a la fois les équations maîtresses et le calcul stochastique quantique. Nous introduisons ensuite la notion de trajectoire quantique pour la description des mesures indirectes continues. C'est dans ce contexte que l'on présente les résultats obtenus au cours de cette thèse. Dans un premier temps, nous étudions la convergence des mesures non destructives. Nous montrons qu'elles reproduisent la réduction du paquet d'onde du système mesuré. Nous montrons que cette convergence est exponentielle avec un taux fixe. Nous bornons le temps moyen de convergence. Dans ce cadre, en utilisant les techniques de changement de mesure par martingale, nous obtenons la limite continue des trajectoires quantiques discrètes. Dans un second temps, nous étudions l'influence de l'enregistrement des résultats de mesure sur la préparation d'état par ingénierie de réservoir. Nous montrons que l'enregistrement des résultats de mesure n'a pas d'influence sur la convergence proprement dite. Cependant, nous trouvons que l'enregistrement des résultats de mesure modifie le comportement du système avant la convergence. Nous retrouvons une convergence exponentielle avec un taux équivalent au taux sans enregistrement. Mais nous trouvons aussi un nouveau taux de convergence correspondant a une stabilité asymptotique. Ce dernier taux est interprété comme une mesure non destructive ajoutée. Ainsi l'état du système ne converge qu'après un temps aléatoire. A partir de ce temps la convergence peut être bien plus rapide. Nous obtenons aussi une borne sur le temps moyen de convergence.
De nombreux phénomènes de physique quantique ne peuvent être compris que par l'analyse des systèmes ouverts. Un appareil de mesure, par exemple, est un système macroscopique en contact avec un système quantique. Ainsi, tout modèle d'expérience doit prendre en compte les dynamiques propres aux systèmes ouverts. Ces dynamiques peuvent être complexes : l'interaction du système avec son environnement peut modifier ses propriétés, l'interaction peu créer des effets de mémoire dans l'évolution du système, . . . Ces dynamiques sont particulièrement importantes dans l'étude des expériences d'optique quantique. Nous sommes aujourd'hui capables de manipuler individuellement des particules. Pour cela la compréhension et le contrôle de l'influence de l'environnement est crucial. Dans cette thèse nous étudions d'un point de vue théorique quelques procédures communément utilisées en optique quantique. Avant la présentation de nos résultats, nous introduisons et motivons l'utilisation de la description markovienne des systèmes quantiques ouverts. Nous présentons a la fois les équations maîtresses et le calcul stochastique quantique. Nous introduisons ensuite la notion de trajectoire quantique pour la description des mesures indirectes continues. C'est dans ce contexte que l'on présente les résultats obtenus au cours de cette thèse. Dans un premier temps, nous étudions la convergence des mesures non destructives. Nous montrons qu'elles reproduisent la réduction du paquet d'onde du système mesuré. Nous montrons que cette convergence est exponentielle avec un taux fixe. Nous bornons le temps moyen de convergence. Dans ce cadre, en utilisant les techniques de changement de mesure par martingale, nous obtenons la limite continue des trajectoires quantiques discrètes. Dans un second temps, nous étudions l'influence de l'enregistrement des résultats de mesure sur la préparation d'état par ingénierie de réservoir. Nous montrons que l'enregistrement des résultats de mesure n'a pas d'influence sur la convergence proprement dite. Cependant, nous trouvons que l'enregistrement des résultats de mesure modifie le comportement du système avant la convergence. Nous retrouvons une convergence exponentielle avec un taux équivalent au taux sans enregistrement. Mais nous trouvons aussi un nouveau taux de convergence correspondant a une stabilité asymptotique. Ce dernier taux est interprété comme une mesure non destructive ajoutée. Ainsi l'état du système ne converge qu'après un temps aléatoire. A partir de ce temps la convergence peut être bien plus rapide. Nous obtenons aussi une borne sur le temps moyen de convergence.
Cette thèse se trouve à l'intersection de la théorie des matrices aléatoires, des probabilités libres et de la théorie de l'information quantique. La plus grande partie des travaux présentés se concentrent sur les aspects probabilistes de l'information quantique et, en particulier, sur l'usage des matrices aléatoires dans différents modèles en théorie quantique. Une autre partie de cette thèse est dédiée à la théorie des probabilités libres et à ses liens avec les matrices aléatoires et l'information quantique. En théorie quantique de l'information, il existe différents modèles de matrices densités aléatoires. On s'intéresse, dans l'esprit de la théorie des matrices aléatoires, au comportement asymptotique des matrices densités, dans la limite où la taille du système converge vers l'infini. Le point de vue pris dans cette thèse est celui des systèmes quantiques ouverts, où l'espace qui nous intéresse est couplé avec l'environnement et le système composé se trouve dans un état pur uniforme. En prenant la trace partielle sur l'environnement, on obtient des matrices densités aléatoires que l'on étudie dans deux régimes asymptotiques. En exploitant des liens avec l'ensemble des matrices aléatoires dites de Wishart, on obtient les densités spectrales limites et les fluctuations des valeurs propres extrémales. En collaboration avec Clément Pellegrini, on étudie des interactions répétées entre un système quantique et une chaîne de systèmes auxiliaires. Nous avons introduit des éléments aléatoires dans ce modèle, soit en considérant que les états de la chaîne sont des variables indépendantes et identiquement distribuées, soit en choisissant, à chaque interaction, une matrice unitaire d'interaction aléatoire uniforme. On s'intéresse aux propriétés asymptotiques des matrices, après un grand nombre d'interactions. Au passage, on introduit un nouveau modèle de matrices densités aléatoires que l'on compare avec les modèles existants dans la littérature. Un problème qui occupe une place centrale dans cette thèse est la conjecture de Nielsen sur la catalyse en théorie quantique de l'information. En collaboration avec Guillaume Aubrun, nous avons progressé vers la preuve de cette conjecture et nous l'avons par la suite généralisée dans différentes directions. L'outil principal utilisé dans ces travaux nous vient de la théorie des probabilités : la théorie des grandes déviations nous permet de comparer stochastiquement des puissances de convolution des mesures de probabilités. Les techniques introduites et le lien avec la théorie des grandes déviations nous ont permis de voir ce problème sous un autre angle et de donner aux théoriciens de l'information quantique un outil de travail puissant. Enfin, toujours en lien avec les matrices aléatoires, cette thèse a donné lieu à deux travaux en probabilités libres. Les ensembles de matrices aléatoires sont des exemples importants et simples où l'on peut observer l'indépendance libre; il est donc naturel de se demander s'il est possible d'obtenir la notion de liberté avec des matrices déterministes. Une telle construction a été proposée par Philippe Biane, en utilisant des sommes de transpositions dans l'algèbre du groupe symétrique. Avec Florent Benaych-Georges, on a pu généraliser les résultats de P. Biane à des cycles quelconques. Notre approche est combinatoire ce qui nous a permis d'aboutir à des formules explicites pour les moments et les cumulants libres des variables à la limite. Grâce à cette même approche nous avons élaboré un modèle analogue en probabilités classiques en remplaçant le groupe symétrique par le groupe abélien des parties d'un ensemble fini, muni de l'opération de différence symétrique. En collaboration avec Stéphane Attal, nous avons construit une approximation de l'espace de Fock libre (qui joue un rôle central en théorie des probabilités non-commutatives) par un produit libre dénombrable d'espaces discrets. Cette idée généralise au cas libre une construction similaire pour l'espace de Fock symétrique, introduite et étudié par S. Attal. En même temps nous avons obtenu une approximation des opérateurs fondamentaux de création, d'annihilation et de jauge par des opérateurs construits à partir des matrices de taille 2. En utilisant ces constructions sont ensuite utilisées pour retrouver quelques approximations connues du mouvement brownien libre et du processus de Poisson libre. Tous ces résultats se généralisent au cas des espaces de Fock de multiplicité supérieure, qui permettent d'approcher des processus multidimensionnels. En conclusion, l'ensemble des travaux scientifiques présentés dans cette thèse se situe à l'intersection de trois grandes directions: les matrices aléatoires, les probabilités libres et la théorie quantique de l'information, l'accent étant mis sur les interactions et sur les liens entre ces domaines.
On étudie les propriétés des flux d'énergie et d'entropie de l'environnement d'un Système en Interactions Répétées lorsque les sondes sont initialement à l'équilibre thermique, dans le cas particulier où les températures et autres paramètres associés aux sondes (temps d'interaction avec le petit système, hamiltonien libre et couplage) peuvent prendre un nombre fini m de valeurs. On se retrouve alors dans une situation analogue, mais pas équivalente, à un système quantique ouvert couplé à m réservoirs thermiques.Cette analogie soulève la question suivante : peut-on montrer une Théorie de la Réponse Linéaire des courants d'énergie, une Relation de Fluctuation et d'autres propriétés thermodynamiques hors-équilibre attendues sur de tels systèmes ? Dans une situation où les paramètres associés aux sondes varient de manière cyclique, aléatoire i.i.d. ou plus généralement markovienne, on montre que c'est possible en adaptant les méthodes employées par Lebowitz et al. Les résultats prennent alors une forme particulière due à la dynamique en temps discret, et à un manque d'invariance par renversement du temps.En particulier, on se sert de la structure de semigroupe dynamique quantique émergeant de nos modèles et de la notion de semigroupe déformé utilisée notamment dans les travaux de Jaksic, Pillet et al., pour montrer les bonnes propriétés de la fonction génératrice des moments/cumulants des flux d'énergie/entropie, et appliquer les théorèmes de Gartner-Ellis et de Bryc pour montrer un Principe de Grandes Déviations, une Loi des Grands Nombres et un Théorème Central-Limite.Le cas général markovien nécessite un formalisme un peu plus poussé pour faire émerger une structure de semigroupe, à savoir le formalisme de Feynman-Kac employé notamment par Pillet, qui étend l'espace de Hilbert du système quantique étudié à son produit tensoriel par l'espace des états de la chaîne de Markov qui régit les variations des paramètres liés aux sondes. Un résultat de convergence presque sûre sur les produits de matrices aléatoires, qui généralise celui de Bruneau et al. du cas i.i.d. au cas markovien, est démontré afin de compléter l'analyse du modèle.
Processus assistés par dissipation et corrélations quantiques La dynamique dissipative des systèmes quantiques ouverts et les corrélations quantiques sont des sujets de grand intérêt actuel. Le premier en raison de sa nécessité pour décrire des systèmes réalistes et le second parce que les corrélations quantiques permettent de réaliser, en général, des protocoles véritablement quantiques. Cette thèse vise à étudier des processus physiques reposant sur la dissipation, en se concentrant également sur les corrélations quantiques et leur rôle dans ces processus, et sur la façon d'utiliser la dissipation pour générer des corrélations quantiques. Tout d'abord, nous présentons au lecteur les différents sujets abordés dans la thèse qui sont liés à divers domaines de recherche tels que les systèmes quantiques ouverts, la thermodynamique quantique, l'optique quantique et l'information quantique. Ensuite, chaque chapitre traite d'un sujet différent. Une première partie de la thèse inclut deux études dans le domaine de la thermodynamique quantique. Une première étude concerne un protocole d'extraction de travail exploitant un seul bain thermique. Le travail, défini dans la théorie des ressources thermodynamiques, est extrait d'une ressource et stocké dans un système bipartite en activant et en désactivant son interaction interne. Ensuite, nous appliquons ce protocole à deux systèmes physiques pertinents : deux qubits en interaction et le modèle de Rabi. Dans les deux cas, nous obtenons une extraction de travail comparable aux énergies nues des systèmes. Dans une seconde étude, nous analysons des machines thermiques quantiques basées sur des cycles thermodynamiques à deux temps utilisant deux bains à des températures différentes. Le fluide de travail est composé de systèmes avec des niveaux d'énergie régulièrement espacés et toutes les interactions considérées sont de type d'échange. Nous maximisons la puissance de deux cycles différents, en nous concentrant également sur le rôle du temps d'attente des machines. Dans une seconde partie de cette thèse, fortement liée aux systèmes quantiques ouverts, nous étudions d'abord la dynamique Markovienne et non-Markovienne d'un oscillateur harmonique quantique guidé au sein du modèle collisionnel. Même si ce projet de recherche est "en cours", nous avons déjà des résultats prometteurs tels que l'apparition d'un terme non adiabatique dans la limite continue de la dynamique Markovienne. Ensuite, nous étudions le modèle de Dicke à deux photons dans la limite de mauvaise cavité, en considérant un modèle assez général comprenant des bains de température finis et des pilotages cohérents et incohérents. Nous parvenons à dériver une équation maîtresse efficace pour la dynamique des qubits et à la comparer au cas à un photon. Dans le modèle à deux photons, nous observons une augmentation du taux d'émission de type spontané des qubits et une augmentation de la température effective perçue par les qubits. Ces différences conduisent à une génération plus rapide d’états stationnaires avec cohérence et à une dépendance plus riche des effets collectifs sur la température. Dans la dernière partie de la thèse, nous explorons la connexion entre l'énergie et l'intrication quantique dans un système bipartite fini arbitraire sans interaction, trouvant également les états intriqués d'énergie minimale (MEESs), c'est-à-dire les états ayant la quantité d'énergie minimale pour un degré donné d’intrication quantique. Nous étudions également comment ces états peuvent être générés à la fois par des processus unitaires et dissipatifs, trouvant, pour ces derniers, que les MEESs sont pratiquement les plus économiques à produire. De plus, les MEESs peuvent être connectés entre eux au moyen d'opérations locales et de communication classique et semblent avoir des connexions remarquables avec la thermodynamique quantique et la physique à plusieurs corps. Enfin, nous analysons comment utiliser nos résultats pour réduire le coût énergétique de différents protocoles d'information quantique.
Cette thèse se trouve à l'intersection de la théorie des matrices aléatoires, des probabilités libres et de la théorie de l'information quantique. La plus grande partie des travaux présentés se concentrent sur les aspects probabilistes de l'information quantique et, en particulier, sur l'usage des matrices aléatoires dans différents modèles en théorie quantique. Une autre partie de cette thèse est dédiée à la théorie des probabilités libres et à ses liens avec les matrices aléatoires et l'information quantique. En théorie quantique de l'information, il existe différents modèles de matrices densités aléatoires. On s'intéresse, dans l'esprit de la théorie des matrices aléatoires, au comportement asymptotique des matrices densités, dans la limite où la taille du système converge vers l'infini. Le point de vue pris dans cette thèse est celui des systèmes quantiques ouverts, où l'espace qui nous intéresse est couplé avec l'environnement et le système composé se trouve dans un état pur uniforme. En prenant la trace partielle sur l'environnement, on obtient des matrices densités aléatoires que l'on étudie dans deux régimes asymptotiques. En exploitant des liens avec l'ensemble des matrices aléatoires dites de Wishart, on obtient les densités spectrales limites et les fluctuations des valeurs propres extrémales. En collaboration avec Clément Pellegrini, on étudie des interactions répétées entre un système quantique et une chaîne de systèmes auxiliaires. Nous avons introduit des éléments aléatoires dans ce modèle, soit en considérant que les états de la chaîne sont des variables indépendantes et identiquement distribuées, soit en choisissant, à chaque interaction, une matrice unitaire d'interaction aléatoire uniforme. On s'intéresse aux propriétés asymptotiques des matrices, après un grand nombre d'interactions. Au passage, on introduit un nouveau modèle de matrices densités aléatoires que l'on compare avec les modèles existants dans la littérature. Un problème qui occupe une place centrale dans cette thèse est la conjecture de Nielsen sur la catalyse en théorie quantique de l'information. En collaboration avec Guillaume Aubrun, nous avons progressé vers la preuve de cette conjecture et nous l'avons par la suite généralisée dans différentes directions. L'outil principal utilisé dans ces travaux nous vient de la théorie des probabilités : la théorie des grandes déviations nous permet de comparer stochastiquement des puissances de convolution des mesures de probabilités. Les techniques introduites et le lien avec la théorie des grandes déviations nous ont permis de voir ce problème sous un autre angle et de donner aux théoriciens de l'information quantique un outil de travail puissant. Enfin, toujours en lien avec les matrices aléatoires, cette thèse a donné lieu à deux travaux en probabilités libres. Les ensembles de matrices aléatoires sont des exemples importants et simples où l'on peut observer l'indépendance libre; il est donc naturel de se demander s'il est possible d'obtenir la notion de liberté avec des matrices déterministes. Une telle construction a été proposée par Philippe Biane, en utilisant des sommes de transpositions dans l'algèbre du groupe symétrique. Avec Florent Benaych-Georges, on a pu généraliser les résultats de P. Biane à des cycles quelconques. Notre approche est combinatoire ce qui nous a permis d'aboutir à des formules explicites pour les moments et les cumulants libres des variables à la limite. Grâce à cette même approche nous avons élaboré un modèle analogue en probabilités classiques en remplaçant le groupe symétrique par le groupe abélien des parties d'un ensemble fini, muni de l'opération de différence symétrique. En collaboration avec Stéphane Attal, nous avons construit une approximation de l'espace de Fock libre (qui joue un rôle central en théorie des probabilités non-commutatives) par un produit libre dénombrable d'espaces discrets. Cette idée généralise au cas libre une construction similaire pour l'espace de Fock symétrique, introduite et étudié par S. Attal. En même temps nous avons obtenu une approximation des opérateurs fondamentaux de création, d'annihilation et de jauge par des opérateurs construits à partir des matrices de taille 2. En utilisant ces constructions sont ensuite utilisées pour retrouver quelques approximations connues du mouvement brownien libre et du processus de Poisson libre. Tous ces résultats se généralisent au cas des espaces de Fock de multiplicité supérieure, qui permettent d'approcher des processus multidimensionnels. En conclusion, l'ensemble des travaux scientifiques présentés dans cette thèse se situe à l'intersection de trois grandes directions: les matrices aléatoires, les probabilités libres et la théorie quantique de l'information, l'accent étant mis sur les interactions et sur les liens entre ces domaines.