Conformement aux idees initiales de nelson, nous donnons une construction probabiliste des processus dits de nelson. Ces processus sont associes a des fonctions d'onde , solutions d'une equation de schrodinger et permettent une approche stochastique de l'equation : i/t=1/2+v notre methode utilise la notion de forme de dirichlet dependant du temps et prouve ainsi que les outils adaptes au cas symetrique restent efficaces dans un cadre non stationnaire. Le principal resultat est que le sous espace nodal =0 ne peut etre atteint. Nous etudions egalement les proprietes de retournement du temps de ces processus. Nous adoptons pour cela le point de vue grandes deviations suggere par le fameux probleme dit de schrodinger. Comme application, on obtient la regularite de mesures invariantes en dimension infinie. Enfin, grace a une caracterisation variationnelle de ces processus, nous etudions le probleme de densite des diffusions regulieres dans l'ensemble des diffusions d'energie finie. Nous etudions egalement le probleme inverse suivant : peut-on a partir d'un processus minimisant au sens de l'entropie, reconstituer au moins aux conditions initiales pres, le potentiel initial figurant dans l'equation de schrodinger ?
Conformement aux idees initiales de nelson, nous donnons une construction probabiliste des processus dits de nelson. Ces processus sont associes a des fonctions d'onde , solutions d'une equation de schrodinger et permettent une approche stochastique de l'equation : i/t=1/2+v notre methode utilise la notion de forme de dirichlet dependant du temps et prouve ainsi que les outils adaptes au cas symetrique restent efficaces dans un cadre non stationnaire. Le principal resultat est que le sous espace nodal =0 ne peut etre atteint. Nous etudions egalement les proprietes de retournement du temps de ces processus. Nous adoptons pour cela le point de vue grandes deviations suggere par le fameux probleme dit de schrodinger. Comme application, on obtient la regularite de mesures invariantes en dimension infinie. Enfin, grace a une caracterisation variationnelle de ces processus, nous etudions le probleme de densite des diffusions regulieres dans l'ensemble des diffusions d'energie finie. Nous etudions egalement le probleme inverse suivant : peut-on a partir d'un processus minimisant au sens de l'entropie, reconstituer au moins aux conditions initiales pres, le potentiel initial figurant dans l'equation de schrodinger ?
Systèmes quantiques ouverts et processus stochastiques quantiques De nombreux phénomènes de physique quantique ne peuvent être compris que par l'analyse des systèmes ouverts. Un appareil de mesure, par exemple, est un système macroscopique en contact avec un système quantique. Ainsi, tout modèle d'expérience doit prendre en compte les dynamiques propres aux systèmes ouverts. Ces dynamiques peuvent être complexes : l'interaction du système avec son environnement peut modifier ses propriétés, l'interaction peu créer des effets de mémoire dans l'évolution du système, . . . Ces dynamiques sont particulièrement importantes dans l'étude des expériences d'optique quantique. Nous sommes aujourd'hui capables de manipuler individuellement des particules. Pour cela la compréhension et le contrôle de l'influence de l'environnement est crucial. Dans cette thèse nous étudions d'un point de vue théorique quelques procédures communément utilisées en optique quantique. Avant la présentation de nos résultats, nous introduisons et motivons l'utilisation de la description markovienne des systèmes quantiques ouverts. Nous présentons a la fois les équations maîtresses et le calcul stochastique quantique. Nous introduisons ensuite la notion de trajectoire quantique pour la description des mesures indirectes continues. C'est dans ce contexte que l'on présente les résultats obtenus au cours de cette thèse. Dans un premier temps, nous étudions la convergence des mesures non destructives. Nous montrons qu'elles reproduisent la réduction du paquet d'onde du système mesuré. Nous montrons que cette convergence est exponentielle avec un taux fixe. Nous bornons le temps moyen de convergence. Dans ce cadre, en utilisant les techniques de changement de mesure par martingale, nous obtenons la limite continue des trajectoires quantiques discrètes. Dans un second temps, nous étudions l'influence de l'enregistrement des résultats de mesure sur la préparation d'état par ingénierie de réservoir. Nous montrons que l'enregistrement des résultats de mesure n'a pas d'influence sur la convergence proprement dite. Cependant, nous trouvons que l'enregistrement des résultats de mesure modifie le comportement du système avant la convergence. Nous retrouvons une convergence exponentielle avec un taux équivalent au taux sans enregistrement. Mais nous trouvons aussi un nouveau taux de convergence correspondant a une stabilité asymptotique. Ce dernier taux est interprété comme une mesure non destructive ajoutée. Ainsi l'état du système ne converge qu'après un temps aléatoire. A partir de ce temps la convergence peut être bien plus rapide. Nous obtenons aussi une borne sur le temps moyen de convergence.
De nombreux phénomènes de physique quantique ne peuvent être compris que par l'analyse des systèmes ouverts. Un appareil de mesure, par exemple, est un système macroscopique en contact avec un système quantique. Ainsi, tout modèle d'expérience doit prendre en compte les dynamiques propres aux systèmes ouverts. Ces dynamiques peuvent être complexes : l'interaction du système avec son environnement peut modifier ses propriétés, l'interaction peu créer des effets de mémoire dans l'évolution du système, . . . Ces dynamiques sont particulièrement importantes dans l'étude des expériences d'optique quantique. Nous sommes aujourd'hui capables de manipuler individuellement des particules. Pour cela la compréhension et le contrôle de l'influence de l'environnement est crucial. Dans cette thèse nous étudions d'un point de vue théorique quelques procédures communément utilisées en optique quantique. Avant la présentation de nos résultats, nous introduisons et motivons l'utilisation de la description markovienne des systèmes quantiques ouverts. Nous présentons a la fois les équations maîtresses et le calcul stochastique quantique. Nous introduisons ensuite la notion de trajectoire quantique pour la description des mesures indirectes continues. C'est dans ce contexte que l'on présente les résultats obtenus au cours de cette thèse. Dans un premier temps, nous étudions la convergence des mesures non destructives. Nous montrons qu'elles reproduisent la réduction du paquet d'onde du système mesuré. Nous montrons que cette convergence est exponentielle avec un taux fixe. Nous bornons le temps moyen de convergence. Dans ce cadre, en utilisant les techniques de changement de mesure par martingale, nous obtenons la limite continue des trajectoires quantiques discrètes. Dans un second temps, nous étudions l'influence de l'enregistrement des résultats de mesure sur la préparation d'état par ingénierie de réservoir. Nous montrons que l'enregistrement des résultats de mesure n'a pas d'influence sur la convergence proprement dite. Cependant, nous trouvons que l'enregistrement des résultats de mesure modifie le comportement du système avant la convergence. Nous retrouvons une convergence exponentielle avec un taux équivalent au taux sans enregistrement. Mais nous trouvons aussi un nouveau taux de convergence correspondant a une stabilité asymptotique. Ce dernier taux est interprété comme une mesure non destructive ajoutée. Ainsi l'état du système ne converge qu'après un temps aléatoire. A partir de ce temps la convergence peut être bien plus rapide. Nous obtenons aussi une borne sur le temps moyen de convergence.
Dans cette thèse, nous étudions trois classes de modèles utilisés dans la littérature pour représenter les systèmes quantiques: 1 -L'équation de Schrödinger où le contrôle agit sur le système de façon bilinéaire; 2 -L'équation de Lindblad; 3 -Les filtres quantiques (modèles stochastiques). Les contributions de la thèse concernant l'équation de Schrödinger se répartissent en trois parties. Dans le premier chapitre, nous étudions la contrôlabilité d'un tel système. Le cas de dimension finie étant déjà bien exploré, nous traitons l'exemple d'un oscillateur harmonique quantique comme un cas typique des problèmes de dimension infinie. Parmi les résultats obtenus nous retrouvons transposée dans les termes de la théorie du contrôle, l'assertion bien connue des physiciens: ``les sources classiques de contrôle ne peuvent générer que de la lumière classique''. La question de la génération des trajectoires est abordée dans le Chapitre 2. Le contrôle en boucle ouverte du système est alors traité à l'aide des méthodes de stabilisation de Lyapounov. Ces méthodes de contrôle par feedback sont utilisées en simulation et le contrôle retrouvé est ensuite inséré en boucle ouverte dans le système physique. La convergence est étudiée dans différentes configurations et des exemples numériques tirés de la chimie quantique sont testés. Enfin dans le chapitre 3, nous étudions le problème inverse d'identification de l'Hamiltonien. Malgré le grand intérêt pratique que présente ce problème, peu de contributions ont été apportées jusqu'à maintenant. Nous étudions d'abord le problème mathématique d'identifiabilité. Une première réponse positive à cette question est apportée. Ensuite nous considérons le problème d'identification. A l'aide de méthodes numériques d'optimisation, nous proposons une première approche qui permet de résoudre ce problème inverse. Au sujet de l'équation de Lindblad, la contribution de cette thése se résume à la réduction du modèle lorsque certaines hypothèses sur les durées de vie atomiques sont vérifiées. Cette étude peut être considérée comme une première étape vers le contrôle en boucle fermée d'un ensemble statistique de systèmes quantiques. Finalement dans le chapitre 5, nous considérons les filtres quantiques. Certaines méthodes issues de la théorie des probabilités ainsi que les techniques de Lyapounov stochastiques nous permettent d'étudier la stabilisation globale de ces modéles.
Dans l'optique de la mecanique stochastique, une formulation probabiliste de la mecanique quantique dans l'espace des phases est proposee. Notre approche utilise la fonction de wigner qui offre, dans un cadre general, une description d'un systeme quantique dans l'espace des phases. Alors que la mecanique stochastique ne considere que les etats purs du systeme, les proprietes de la fonction introduite par wigner nous permettent de traiter les etats de melange aussi bien que les etats purs. Apres avoir precise, en premiere partie, les proprietes essentielles de cette fonction et rappele son lien avec les operateurs de weyl, nous donnons dans une deuxieme partie une analyse heuristique de la mecanique quantique en terme de fluide. L'interpretation habituelle de la fonction de wigner comme etant une densite dans l'espace des phases, nous amene a considerer le cas d'un systeme soumis a l'action d'une force derivant d'un potentiel qui est la transformee de fourier d'une mesure bornee. Nous montrons que l'on peut alors envisager la fonction de wigner comme une difference de deux fonctions positives telles qu'a chacune de ces fonctions soit associe un processus de markov. Notre conception de fluide quantique consiste a interpreter ces deux fonctions comme etant les densites d'un fluide compose de deux types de particules differents mais dans lequel seule la difference de ces densites est observee. L'evolution de chaque type de particule est alors donnee par le processus de markov associe. Dans le cas particulier ou l'espace de hilbert du systeme est de dimension finie, une telle construction de processus peut alors rigoureusement etre effectuee. Cette etude est realisee dans une troisieme partie ou la dimension n de l'espace de hilbert est supposee impaire. La raison d'un tel choix est due au fait que le groupe des residus modulo n, que nous utilisons, possede dans ce cas une racine carree. Nous construisons, en premier lieu, une theorie des operateurs de weyl et des fonctions de wigner discretises. En augmentant l'espace des phases discretise d'une variable dichotomique egale a +1 ou -1, nous prouvons l'existence d'un processus de markov evoluant dans cet espace, tel que la fonction de wigner soit egale a la valeur moyenne partielle de cette variable dichotomique. Dans un article ecrit en collaboration avec p. Combe, m. Sirugue et m. Sirugue-collin, nous montcrons que ce formalisme peut etre applique a l'etude d'un spin entier. Enfin, en appendice, nous donnons les proprietes des processus de markov qui sont utiles a notre expose
Les équations de Schrödinger stochastiques sont des équations différentielles stochastiques de type non classique qui décrivent l évolution continue de petits systèmes quantiques soumis à des principes de mesures indirectes. Les solutions de ces équations sont appelées trajectoires quantiques . La mise en place de ces équations nécessite l utilisation d outils très techniques comme le filtrage quantique. Dans cette thèse nous obtenons ces modèles comme limite d un modèle physique de mesure à temps discret : les mesures quantiques répétées . Le modèle est le suivant. On considère un petit système en contact avec une chaîne infinie de petits systèmes (tous notés H). Chaque système H interagit avec le petit système pendant un temps h. Après chaque interaction on effectue une mesure sur système H qui vient d interagir. La suite de mesures entraîne une suite de modifications aléatoires du petit système. Cette suite de modifications est alors décrite par une chaîne de Markov dépendant du temps d interaction h. On obtient alors les trajectoires quantiques continues comme limite (lorsque h tend vers 0) de ces chaînes de Markov. Cette approche par approximation nécessite au préalable l étude complètes des équations de Schrödinger continue : existence et unicité des solutions. Cette approche discrète permet de justifier l utilisation de ces équations à l aide d un modèle intuitif et permet également d envisager les problèmes de contrôle, de chaleur et la description des équations de Schrödinger stochastiques multidimensionnelles.
Cette thèse est consacrée à l’étude de systèmes quantiques étendus en interaction avec l’environnement, à la fois dans des situations à l’équilibre et hors équilibre. L’approche adoptée est celle des processus stochastiques quantiques. On s’intéresse dans un premier temps à ce qu’il advient des modèles dits de chaîne de spin lorsque ceux-ci sont mis en contact avec un environnement extérieur qui provoque un déphasage aléatoire local des spins. Il est montré que dans la limite de bruit fort et de temps long, une dynamique purement diffusive émerge. Le modèle effectif décrivant cette limite s’interprète comme des fermions se propageant de proche en proche sur le réseau avec une amplitude de saut aléatoire. La distribution stationnaire atteinte à temps long par la distribution de probabilité est décrite pour deux cas de figure : Un cas dit à l’équilibre pour des conditions aux bords périodiques, un cas dit hors-équilibre pour des conditions aux bords injectant et retirant des fermions du réseau avec un taux donné. Il est montré que ces distributions respectent toutes deux un principe de larges déviations. En outre, une connexion explicite avec les processus d’exclusion symétrique classiques est mise en évidence ce qui justifie l'appellation de notre modèle : "Processus d’exclusion simple symétrique quantique". Enfin, on étudie également le cas où le bruit est généré par des mesures faibles continues de la chaîne de spin. On décrit la dynamique à temps long et bruit fort qui est celle de sauts quantiques entre états pointeurs de la chaîne. Ce processus Markovien possède les mêmes taux de transition que le processus d’exclusion simple symétrique classique.