Nous introduisons un nouveau modèle de la communication à deux parties dans lequel nous nous intéressons au temps que prennent deux participants à effectuer une tâche à travers un canal avec délai d. Nous établissons quelques bornes supérieures et inférieures et comparons ce nouveau modèle aux modèles de communication classiques et quantiques étudiés dans la littérature. Nous montrons que la complexité de la communication d’une fonction sur un canal avec délai est bornée supérieurement par sa complexité de la communication modulo un facteur multiplicatif d/ lg d. Nous présentons ensuite quelques exemples de fonctions pour lesquelles une stratégie astucieuse se servant du temps mort confère un avantage sur une implémentation naïve d’un protocole de communication optimal en terme de complexité de la communication. Finalement, nous montrons qu’un canal avec délai permet de réaliser un échange de bit cryptographique, mais que, par lui-même, est insuffisant pour réaliser la primitive cryptographique de transfert équivoque.
Nous introduisons un nouveau modèle de la communication à deux parties dans lequel nous nous intéressons au temps que prennent deux participants à effectuer une tâche à travers un canal avec délai d. Nous établissons quelques bornes supérieures et inférieures et comparons ce nouveau modèle aux modèles de communication classiques et quantiques étudiés dans la littérature. Nous montrons que la complexité de la communication d’une fonction sur un canal avec délai est bornée supérieurement par sa complexité de la communication modulo un facteur multiplicatif d/ lg d. Nous présentons ensuite quelques exemples de fonctions pour lesquelles une stratégie astucieuse se servant du temps mort confère un avantage sur une implémentation naïve d’un protocole de communication optimal en terme de complexité de la communication. Finalement, nous montrons qu’un canal avec délai permet de réaliser un échange de bit cryptographique, mais que, par lui-même, est insuffisant pour réaliser la primitive cryptographique de transfert équivoque.
La complexité de la communication a été introduite en 1979 par Andrew Chi-Chi Yao. Elle est depuis devenue l'un des modèles de calcul les plus étudiés. L'objectif de celle-ci est d'étudier des problèmes dont les entrées sont distribuées entre plusieurs joueurs, en quantifiant la communication que ceux-ci doivent échanger. Nous utilisons d'abord la complexité de Kolmogorov, une caractérisation algorithmique de l'aléatoire, pour prouver des bornes inférieures sur la complexité de la communication. Notre méthode constitue une généralisation de la méthode d'incompressibilité. L'avantage de cette approche est de mettre en valeur la nature combinatoire des preuves. Nous étudions ensuite la simulation des distributions de probabilité causales avec de la communication. Ce modèle généralise la complexité de la communication traditionnelle et comprend en particulier les distributions quantiques. Nous montrons pour ce problème des bornes inférieures et supérieures. Dans le cas des fonctions booléennes, la borne inférieure que nous proposons est équivalente aux normes de factorisation, une puissante méthode introduite par Linial et Shraibman en 2006. Enfin, nous étudions la complexité en boîte non-locale. Cette ressource a été introduite par Popescu et Rohrlich pour étudier la non-localité. Le problème est de quantifier le nombre de boîtes nécessaire et suffisant pour calculer une fonction ou simuler une distributions. Nous donnons encore des bornes inférieures et supérieures pour ces problèmes, ainsi que des applications à l'évaluation sécurisée, un problème cryptographique très important.
La théorie de l'information quantique s'est développée à une vitesse fulgurante au cours des vingt dernières années, avec des analogues et extensions des théorèmes de codage de source et de codage sur canal bruité pour la communication unidirectionnelle. Pour la communication interactive, un analogue quantique de la complexité de la communication a été développé, pour lequel les protocoles quantiques peuvent performer exponentiellement mieux que les meilleurs protocoles classiques pour certaines tâches classiques. Cependant, l'information quantique est beaucoup plus sensible au bruit que l'information classique. Il est donc impératif d'utiliser les ressources quantiques à leur plein potentiel. Dans cette thèse, nous étudions les protocoles quantiques interactifs du point de vue de la théorie de l'information et étudions les analogues du codage de source et du codage sur canal bruité. Le cadre considéré est celui de la complexité de la communication: Alice et Bob veulent faire un calcul quantique biparti tout en minimisant la quantité de communication échangée, sans égard au coût des calculs locaux. Nos résultats sont séparés en trois chapitres distincts, qui sont organisés de sorte à ce que chacun puisse être lu indépendamment. Étant donné le rôle central qu'elle occupe dans le contexte de la compression interactive, un chapitre est dédié à l'étude de la tâche de la redistribution d'état quantique. Nous prouvons des bornes inférieures sur les coûts de communication nécessaires dans un contexte interactif. Nous prouvons également des bornes atteignables avec un seul message, dans un contexte d'usage unique. Dans un chapitre subséquent, nous définissons une nouvelle notion de complexité de l'information quantique. Celle-ci caractérise la quantité d'information, plutôt que de communication, qu'Alice et Bob doivent échanger pour calculer une tâche bipartie. Nous prouvons beaucoup de propriétés structurelles pour cette quantité, et nous lui donnons une interprétation opérationnelle en tant que complexité de la communication quantique amortie. Dans le cas particulier d'entrées classiques, nous donnons une autre caractérisation permettant de quantifier le coût encouru par un protocole quantique qui oublie de l'information classique. Deux applications sont présentées: le premier résultat général de somme directe pour la complexité de la communication quantique à plus d'une ronde, ainsi qu'une borne optimale, à un terme polylogarithmique près, pour la complexité de la communication quantique avec un nombre de rondes limité pour la fonction « ensembles disjoints ». Dans un chapitre final, nous initions l'étude de la capacité interactive quantique pour les canaux bruités. Étant donné que les techniques pour distribuer de l'intrication sont bien étudiées, nous nous concentrons sur un modèle avec intrication préalable parfaite et communication classique bruitée. Nous démontrons que dans le cadre plus ardu des erreurs adversarielles, nous pouvons tolérer un taux d'erreur maximal de une demie moins epsilon, avec epsilon plus grand que zéro arbitrairement petit, et ce avec un taux de communication positif. Il s'ensuit que les canaux avec bruit aléatoire ayant une capacité positive pour la transmission unidirectionnelle ont une capacité positive pour la communication interactive quantique. Nous concluons avec une discussion de nos résultats et des directions futures pour ce programme de recherche sur une théorie de l'information quantique interactive.
Protocoles pratiques pour les réseaux de communication quantique Dans cette thèse, nous étudions les réseaux des états optiques quantiques intriqués avec différents degrés de complexité, avec une attention particulière portée à leur application dans des scénarios de communication quantique. Le but de la communication quantique est de permettre à deux ou plusieurs parties de communiquer d'une façon qui serait impossible avec de la technologie classique. L'archétype de ce domaine est la distribution de clé quantique ou quantum key distribution (QKD), qui permet à deux agents de partager une clé aléatoire secrète pour effectuer des communications sécurisées, en empêchant, au même temps, qu'un troisième agent malveillant puisse obtenir connaissance de leur clé. Dans ce manuscrit, cependant, nous explorons des scénarios de communication quantique qui vont au-delà de la QKD standard afin de tester les nombreuses possibilités offertes par les réseaux de dispositifs quantiques interconnectés, aussi appelés internet quantique. Spécifiquement, nous présentons trois types de réseaux quantiques, qui correspondent à trois niveaux de complexité d'internet quantique. Dans chaque niveau, nous décrivons le scénario de communication, les exigences physiques nécessaires pour construire l'architecture spécifique et un nouveau protocole qui ne peut pas être reproduit sans des ressources quantiques. Dans cette document, nous veillons particulièrement à la "praticité" des protocoles, notamment le fait que leur implémentation doit être possible dans des conditions réalistes avec technologie existante, au moins comme preuve du principe. Le premier concerne un protocole quantique à preuves interactives qui montre pour la première fois une preuve expérimentale d'un avantage quantique dans un cadre interactif. Dans ce scénario, il y a un prouveur avec de la puissance calculatoire illimitée qui veut convaincre un vérifieur honnête de l'existence d'une certaine solution d'un problème mathématique complexe, en lui envoyant une partie de la preuve sous forme d'états quantiques. Notre construction permet au vérifieur de vérifier l'assertion du prouveur sans recevoir la solution entière. Nous prouvons que sans ressources quantiques, le protocole de vérification exigerait un temps exponentiel en la taille de la solution, menant à un avantage quantique en terme de temps de calcul, avantage que nous avons démontré dans notre laboratoire. Le deuxième porte sur un protocole de vote électronique qui exploite un état quantique multipartite intriqué non fiable pour réaliser une élection sans s'appuyer sur des autorités électorales, dont le résultat peut être vérifié publiquement sans compromettre la robustesse de la construction et qui peut être implémenté aisément avec les technologies de pointe existantes pour un petit nombre de votant. À l'invers des résultats précédents, notre protocole n'exige pas une émission simultanée et marche aussi dans des scénarios bruyants, où la sécurité est limitée par la fidélité de l'état quantique utilisé. Enfin, nous simulons des états comprimés de la lumière de nombreux modes comme des réseaux quantique Gaussien à variables continues avec des topologies complexes, nous caractérisons leur corrélations et nous estimons l'intensification de leur coût pendant que les réseaux grandissent avec une théorie de ressource de compression. Nous prouvons un résultat qui permet de renforcer l'intrication entre deux nœuds du réseau si on mesure les chemins multiples qui les connectent et nous utilisons cet effet pour concevoir un protocole de routage d'intrication dont les performance sont particulièrement efficace dans des réseaux complexes grands.
Quelque soit l’environnement dans lequel se deroule une communication, la securite reste un pilier necessaire pour le bon deroulement de cette communication. Afin d’assurer un certain niveau de securite, la confidentialite est un element essentiel a assurer. Ce sont les techniques de cryptographie qui l’assurent. La pierre angulaire des techniques cryptographiques est la gestion de cle. Plusieurs protocoles ont ete proposes pour assurer une bonne gestion de cle dans un groupe, mais leur securite se base sur la complexite computationnelle. La distribution de cle quantique, par abus dite cryptographie quantique, est une primitive cryptographique basee sur les lois de la mecanique quantique, permettant d’etablir une cle secrete commune entre les traditionnels correspondants Alice et Bob. Dans cette these, nous nous interessons a la problematique de la distribution de cle dans groupe. Nous proposons pour cela une solution basee sur la distribution de cle quantique, ce qui permet d’exploiter cette meme solution dans le contexte de groupe. Nous avancons par la suite la preuve formelle de la solution proposee en utilisant le verificateur formel PRISM
La cryptographie moderne a un ennemi de taille à l'horizon : la montée inévitable des ordinateurs quantiques. Cependant, cette même puissance de calcul permettrait également de trouver des solutions sur des tâches cryptographiques qui sont tout simplement impossibles à réaliser avec la technologie actuelle. Dans cette thèse, nous mettons les pieds dans un univers où le quantique est omniprésent en y présentant notamment deux principales contributions. Nous mettons en avant à la fois des nouveaux modèles et de nouvelles analyses de sécurité pour deux primitives cryptographiques : les chiffrements et les preuves à divulgation nulle de connaissance non interactives. Les définitions usuelles de sécurité de ces primitives requièrent intrinsèquement la capacité d'enregistrer et de comparer des chaînes classiques. Cependant, les tâches d'enregistrement et de comparaison sont extrêmement difficiles dans le monde quantique en raison du principe d'incertitude. Nous proposons deux alternatives afin de surmonter cette barrière. De plus, nos notions de sécurité sont les premières à prendre pleinement en compte les attaques quantiques dans lesquelles les attaquants peuvent interagir avec les utilisateurs finaux sur des canaux quantiques. D'autre part, nous montrons que la disponibilité des ordinateurs quantiques se révèle être également à l'avantage des cryptographes, même lorsque les utilisateurs finaux n'utilisent que des communications classiques. En particulier, nous présentons un protocole interactif entre une Alice classique et un Bob quantique. Ce dispositif permet à Alice d'envoyer un état quantique caché non clonable à Bob par des canaux classiques. En outre, cet état quantique non clonable établit une forte propriété dite de monogamie de l'intrication, qui décrit les limites de la force des corrélations multipartites quantiques. Enfin, nous appliquons notre protocole et nous donnons les premiers schémas semi-quantiques de protection contre la copie.
Dans la vie, on peut avoir besoin de communiquer avec des parties auxquelles on ne fait pas confiance, d'où l'importance de systèmes capables de contrôler ce type de communications. Des systèmes peuvent garantir, par exemple, un ballottage secret, des ventes aux enchères secrètes, des levées d'impôt tout en conservant l'intimité, l'authentification à distance à un ordinateur, l'aide anonyme de la police dans leurs enquêtes, etc. La cryptographie peut aider, au moins, dans quelques cas parmi ceux-ci, par la régularisation du flux d'information de telle manière qu'on n'aura plus besoin de faire confiance à l'autre partie. On fera confiance, seulement, aux systèmes cryptographiques utilisés. Une primitive, appelée mise en gage, est d'une importance suprême dans la cryptographie bipartite, où deux parties qui ne se font pas confiance essayent tout de même d'accomplir un calcul commun sur des données privées (calculer une fonction publique de leurs données secrètes). Cette primitive va être l'objet de ce mémoire. On va expliquer jusqu'à quel point on peut accomplir des taches cryptographiques de façon inconditionnellement sécuritaire, sous la seule hypothèse que la mécanique quantique et la relativité restreinte sont valides. Ce mémoire est largement basé sur les travaux de Mayers [52,53,54,55], Lo et Chau [49,50], Brassard, Crépeau, Mayers et Salvail [15], Spekkens et Rudolph [73], Hardy et Kent [35], Ishizaka [39] et Kent [43,44]. Il fait à la fois une présentation de la cryptographie quantique et une synthèse des travaux essentiels concernant les protocoles de mise en gage quantiques et relativistes. Nous allons donc commencer par une introduction sur l'histoire de la cryptographie \nclassique et son prolongement naturel à ses homologues, quantique et relativiste, qui permettent d'obtenir de meilleurs résultats. Ensuite, nous introduirons un certain nombre \nd'outils mathématiques utiles à la description de la cryptographie quantique. Nous y présenterons également les preuves de plusieurs résultats à la base de la cryptographie quantique, tels que la décomposition de Schmidt, la purification, le théorème GHJW, le théorème d'Ulmann, le théorème de non-clonage, le théorème de la représentation de Kraus, etc. Nous discuterons aussi des concepts de base de l'informatique quantique, comme la mesure projective et généralisée, l'évolution des systèmes quantiques non isolés, la trace partielle, l'opérateur de densité, etc. Nous aborderons le protocole de la mise en gage proprement dit en exposant en détail la preuve du théorème de l'impossibilité de Mayers, Lo et Chau. Nous y présentons également le travail de Rudolph et Spekkens qui ont calculé les degrés optimaux de lien et de camouflage qui peuvent être obtenus simultanément dans tout protocole de mise en gage quantique non relativiste. Il s'agit-là d'une caractéristique qu'aucun protocole classique non relativiste ne peut assurer. Un autre type de sécurité pour ce protocole est étudié aussi, c'est celui de la mise en gage sensible à la tricherie "cheat sensitive" pour lequel on croyait que le protocole quantique de Hardy et Kent fonctionnait alors que lshizaka a démontré récemment que ce n'est pas le cas. Pire, il a même remis en question toute possibilité de réaliser ce type de sécurité en ce basant sur l'utilisation du protocole du tir à pile ou face comme sous-protocole. La cryptographie relativiste fera l'objet de notre dernier chapitre. Nous commencerons par montrer comment la théorie de la relativité restreinte, et donc l'impossibilité qu'un signal puisse se déplacer à une vitesse supérieur à celle de la lumière, peut être exploitée pour construire un protocole de mise en gage temporairement sécuritaire, c'est celui de Brassard, Crépeau, Mayers et Salvail. Nous présenterons ensuite le premier protocole relativiste d'une mise en gage continuellement sécuritaire, celui de Kent, et la preuve de sa sécurité. Ce protocole ne peut malheureusement pas être implémenté, même s'il est théoriquement sûr. Nous terminerons cette étude par une description d'un deuxième protocole relativiste du même auteur, qui va remédier aux problèmes liés à l'impossibilité pratique du premier protocole. Les preuves de la sécurité de ce dernier contre les attaques classiques et quantiques du type Mayers, Lo et Chau vont être abordées. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Informatique quantique, Mise en gage quantique, Mise en gage quantique sensible à la tricherie, Mise en gage relativiste.