Dans ce mémoire, je démontre que la distribution de probabilités de l'état quantique Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ) sous l'action locale de mesures de von Neumann indépendantes sur chaque qubit suit une distribution qui est une combinaison convexe de deux distributions. Les coefficients de la combinaison sont reliés aux parties équatoriales des mesures et les distributions associées à ces coefficients sont reliées aux parties réelles des mesures. Une application possible du résultat est qu'il permet de scinder en deux la simulation de l'état GHZ. Simuler, en pire cas ou en moyenne, un état quantique comme GHZ avec des ressources aléatoires, partagées ou privées, et des ressources classiques de communication, ou même des ressources fantaisistes comme les boîtes non locales, est un problème important en complexité de la communication quantique. On peut penser à ce problème de simulation comme un problème où plusieurs personnes obtiennent chacune une mesure de von Neumann à appliquer sur le sous-système de l'état GHZ qu'il partage avec les autres personnes. Chaque personne ne connaît que les données décrivant sa mesure et d'aucune façon une personne ne connaît les données décrivant la mesure d'une autre personne. Chaque personne obtient un résultat aléatoire classique. La distribution conjointe de ces résultats aléatoires classiques suit la distribution de probabilités trouvée dans ce mémoire. Le but est de simuler classiquement la distribution de probabilités de l'état GHZ. Mon résultat indique une marche à suivre qui consiste d'abord à simuler les parties équatoriales des mesures pour pouvoir ensuite savoir laquelle des distributions associées aux parties réelles des mesures il faut simuler. D'autres chercheurs ont trouvé comment simuler les parties équatoriales des mesures de von Neumann avec de la communication classique dans le cas de 3 personnes, mais la simulation des parties réelles résiste encore et toujours.
Dans ce mémoire, je démontre que la distribution de probabilités de l'état quantique Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ) sous l'action locale de mesures de von Neumann indépendantes sur chaque qubit suit une distribution qui est une combinaison convexe de deux distributions. Les coefficients de la combinaison sont reliés aux parties équatoriales des mesures et les distributions associées à ces coefficients sont reliées aux parties réelles des mesures. Une application possible du résultat est qu'il permet de scinder en deux la simulation de l'état GHZ. Simuler, en pire cas ou en moyenne, un état quantique comme GHZ avec des ressources aléatoires, partagées ou privées, et des ressources classiques de communication, ou même des ressources fantaisistes comme les boîtes non locales, est un problème important en complexité de la communication quantique. On peut penser à ce problème de simulation comme un problème où plusieurs personnes obtiennent chacune une mesure de von Neumann à appliquer sur le sous-système de l'état GHZ qu'il partage avec les autres personnes. Chaque personne ne connaît que les données décrivant sa mesure et d'aucune façon une personne ne connaît les données décrivant la mesure d'une autre personne. Chaque personne obtient un résultat aléatoire classique. La distribution conjointe de ces résultats aléatoires classiques suit la distribution de probabilités trouvée dans ce mémoire. Le but est de simuler classiquement la distribution de probabilités de l'état GHZ. Mon résultat indique une marche à suivre qui consiste d'abord à simuler les parties équatoriales des mesures pour pouvoir ensuite savoir laquelle des distributions associées aux parties réelles des mesures il faut simuler. D'autres chercheurs ont trouvé comment simuler les parties équatoriales des mesures de von Neumann avec de la communication classique dans le cas de 3 personnes, mais la simulation des parties réelles résiste encore et toujours.
Cette thèse se consacre à l'étude de certaines passerelles existantes entre les probabilités dîtes classiques et la théorie des systèmes quantiques ouverts. Le but de la première partie de ce manuscrit est d'étudier l'émergence de bruits classiques dans l'équation de Langevin quantique. Cette équation sert à modéliser l'action d'un bain quantique sur un petit système dans l'approximation markovienne. L'analogue en temps discret de cette équation est décrit par le schéma des interactions quantiques répétées étudier par Stéphane Attal et Yan Pautrat. Dans des travaux antérieurs, Attal et ses collaborateurs montrent que les bruits classiques naturels apparaissant dans ce cadre sont les variables aléatoires obtuses, dont ils étudient la structure. Mais sont-ils les seuls bruits classiques pouvant émerger, et quand est-il dans le cas général ? De même, en temps continu, il était plus ou moins admis que les seuls bruits classiques apparaissant dans l'équation de Langevin quantique sont les processus de Poisson et le mouvement brownien. Ma contribution dans ce manuscrit consiste à définir une algèbre de von Neumann pertinente sur l'environnement, dite algèbre du bruit, qui encode la structure du bruit. Elle est commutative si et seulement si le bruit est classique ; dans ce cas on confirme les hypothèses précédentes sur sa nature. Dans le cas général, elle permet de montrer une décomposition de l'environnement entre une partie classique maximale et une partie purement quantique. Dans la deuxième partie, nous nous consacrons à l'étude de processus stochastiques classiques apparaissant au sein du système. La dynamique du système est quantique, mais il existe une observable dont l'évolution est classique. Cela se fait naturellement lorsque le semi-groupe de Markov quantique laisse invariante une sous-algèbre de von Neumann commutative et maximale. Nous développons une méthode pour générer de tels semi-groupes, en nous appuyons sur une définition de Stéphane Attal de certaines dilatations d'opérateurs de Markov classiques. Nous montrons ainsi que les processus de Lévy sur Rn admettent des extensions quantiques. Nous étudions ensuite une classe de processus classiques liés aux marches quantiques ouvertes. De tels processus apparaissent lorsque cette fois l'algèbre invariante est le produit tensoriel de deux algèbres, l'une non-commutative et l'autre commutative. Par conséquent, bien que comportant l'aspect trajectoriel propre au processus classiques, de telles marches aléatoires sont hautement quantiques. Nous présentons dans ce cadre une approche variationnelle du problème de Dirichlet. Finalement, la dernière partie est dédiée à l'étude d'un processus physique appelé décohérence induite par l'environnement. Cette notion est fondamentale, puisqu'elle apporte une explication dynamique à l'absence, dans notre vie de tous les jours, de phénomènes quantiques. Nous montrons qu'une telle décohérence a toujours lieu pour des systèmes ouverts décrits par des algèbres de von Neumann finies. Nous initions ensuite une étude innovante sur la vitesse de décohérence, basée sur des inégalités fonctionnelles non-commutatives, qui permet de mettre en avant le rôle de l'intrication quantique dans la décohérence
Dans cette thèse, on étudie les représentations quasi-probabilistes de la mécanique quantique dites de Kirkwood-Dirac sur des espaces de Hilbert de dimension finie. Pour deux bases orthonormées de l'espace de Hilbert, on associe à chaque état quantique sa distribution de quasi-probabilité de Kirkwood-Dirac, qui est une mesure complexe de masse un. L'intérêt croissant pour la distribution de Kirkwood-Dirac s'explique par l'émergence de l'étude de systèmes quantiques discrets où les valeurs non positives de la quasi-probabilité sont liées à l'obtention d'avantages quantiques. Une tâche importante est donc d'identifier, pour deux bases fixées, l'ensemble convexe des états dont la distribution de Kirkwood-Dirac est partout positive, appelés états Kirkwood-Dirac positifs. Il s'agit d'identifier l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs purs, puis de vérifier si leur enveloppe convexe épuise tous les états Kirkwood-Dirac positifs. Un premier résultat de la thèse est structurel : il montre que, pour presque tous les choix de deux bases orthonormées, les seuls états purs Kirkwood-Dirac positifs sont les états des deux bases et que leur enveloppe convexe contient tous les états Kirkwood-Dirac positifs. Ce résultat permet d'identifier les observables dont le symbole de Kirkwood-Dirac est réel et les observables positives dont le symbole de Kirkwood-Dirac est positif. De plus, on prouve que, pour presque tous les choix de deux bases orthonormées, les unitaires préservant l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs sont triviaux. Ces résultats impliquent que les représentations de Kirkwood-Dirac de la mécanique quantique ne pourront pas, avec probabilité un, être utilisées pour simuler efficacement de manière classique des circuits quantiques non triviaux.Dans de nombreuses situations, les deux bases utilisées pour construire la représentation quasi-probabiliste de Kirkwood-Dirac sont explicites et directement liées à une situation physique spécifique. La structure de l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs peut alors être plus complexe. Une classe d'exemples est fournie par les deux bases naturellement associées à la transformée de Fourier sur un groupe abélien fini, dont la transformée de Fourier discrète est un exemple important. Dans ce cadre, on identifie l'ensemble des états purs Kirkwood-Dirac positifs qui sont classifiés à l'aide de sous-groupes du groupe de Heisenberg associé au groupe abélien. De plus, tout opérateur auto-adjoint dont le symbole de Kirkwood-Dirac est réel s'écrit comme une combinaison linéaire réelle des projecteurs de rang un associés aux états purs Kirkwood-Dirac positifs. Dans le cas particulier du groupe cyclique dont l'ordre est la puissance d'un nombre premier, on montre que les états Kirkwood-Dirac positifs sont uniquement les combinaisons convexes des états purs Kirkwood-Dirac positifs. D'autres exemples sont donnés pour lesquels des états Kirkwood-Dirac positifs ne s'écrivent pas comme une combinaison convexe d'états purs Kirkwood-Dirac positifs, exhibant une géométrie plus complexe que celles décrites précédemment.Pour déterminer si un état donné n'appartient pas à l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs, on construit habituellement des témoins de non-positivité. Dans cette thèse, on construit, par une méthode de toit convexe, deux tels témoins : le toit convexe du support d'incertitude et le toit convexe de la Kirkwood-Dirac non-positivité. Ces témoins fournissent des critères (nécessaires et) suffisants pour déterminer si un état quantique n'appartient pas à l'enveloppe convexe des états purs Kirkwood-Dirac positifs. Le premier étend aux états mixtes le lien entre une valeur élevée du support d'incertitude et la Kirkwood-Dirac non-positivité de l'état. Le second permet de distinguer l'enveloppe convexe des états purs Kirkwood-Dirac positifs de l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs qui ne s'écrivent pas comme une combinaison convexe d'états purs Kirkwood-Dirac positifs.
Dans cette thèse, on étudie les représentations quasi-probabilistes de la mécanique quantique dites de Kirkwood-Dirac sur des espaces de Hilbert de dimension finie. Pour deux bases orthonormées de l'espace de Hilbert, on associe à chaque état quantique sa distribution de quasi-probabilité de Kirkwood-Dirac, qui est une mesure complexe de masse un. L'intérêt croissant pour la distribution de Kirkwood-Dirac s'explique par l'émergence de l'étude de systèmes quantiques discrets où les valeurs non positives de la quasi-probabilité sont liées à l'obtention d'avantages quantiques. Une tâche importante est donc d'identifier, pour deux bases fixées, l'ensemble convexe des états dont la distribution de Kirkwood-Dirac est partout positive, appelés états Kirkwood-Dirac positifs. Il s'agit d'identifier l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs purs, puis de vérifier si leur enveloppe convexe épuise tous les états Kirkwood-Dirac positifs. Un premier résultat de la thèse est structurel : il montre que, pour presque tous les choix de deux bases orthonormées, les seuls états purs Kirkwood-Dirac positifs sont les états des deux bases et que leur enveloppe convexe contient tous les états Kirkwood-Dirac positifs. Ce résultat permet d'identifier les observables dont le symbole de Kirkwood-Dirac est réel et les observables positives dont le symbole de Kirkwood-Dirac est positif. De plus, on prouve que, pour presque tous les choix de deux bases orthonormées, les unitaires préservant l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs sont triviaux. Ces résultats impliquent que les représentations de Kirkwood-Dirac de la mécanique quantique ne pourront pas, avec probabilité un, être utilisées pour simuler efficacement de manière classique des circuits quantiques non triviaux.Dans de nombreuses situations, les deux bases utilisées pour construire la représentation quasi-probabiliste de Kirkwood-Dirac sont explicites et directement liées à une situation physique spécifique. La structure de l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs peut alors être plus complexe. Une classe d'exemples est fournie par les deux bases naturellement associées à la transformée de Fourier sur un groupe abélien fini, dont la transformée de Fourier discrète est un exemple important. Dans ce cadre, on identifie l'ensemble des états purs Kirkwood-Dirac positifs qui sont classifiés à l'aide de sous-groupes du groupe de Heisenberg associé au groupe abélien. De plus, tout opérateur auto-adjoint dont le symbole de Kirkwood-Dirac est réel s'écrit comme une combinaison linéaire réelle des projecteurs de rang un associés aux états purs Kirkwood-Dirac positifs. Dans le cas particulier du groupe cyclique dont l'ordre est la puissance d'un nombre premier, on montre que les états Kirkwood-Dirac positifs sont uniquement les combinaisons convexes des états purs Kirkwood-Dirac positifs. D'autres exemples sont donnés pour lesquels des états Kirkwood-Dirac positifs ne s'écrivent pas comme une combinaison convexe d'états purs Kirkwood-Dirac positifs, exhibant une géométrie plus complexe que celles décrites précédemment.Pour déterminer si un état donné n'appartient pas à l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs, on construit habituellement des témoins de non-positivité. Dans cette thèse, on construit, par une méthode de toit convexe, deux tels témoins : le toit convexe du support d'incertitude et le toit convexe de la Kirkwood-Dirac non-positivité. Ces témoins fournissent des critères (nécessaires et) suffisants pour déterminer si un état quantique n'appartient pas à l'enveloppe convexe des états purs Kirkwood-Dirac positifs. Le premier étend aux états mixtes le lien entre une valeur élevée du support d'incertitude et la Kirkwood-Dirac non-positivité de l'état. Le second permet de distinguer l'enveloppe convexe des états purs Kirkwood-Dirac positifs de l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs qui ne s'écrivent pas comme une combinaison convexe d'états purs Kirkwood-Dirac positifs.
Cette thèse se trouve à l'intersection de la théorie des matrices aléatoires, des probabilités libres et de la théorie de l'information quantique. La plus grande partie des travaux présentés se concentrent sur les aspects probabilistes de l'information quantique et, en particulier, sur l'usage des matrices aléatoires dans différents modèles en théorie quantique. Une autre partie de cette thèse est dédiée à la théorie des probabilités libres et à ses liens avec les matrices aléatoires et l'information quantique. En théorie quantique de l'information, il existe différents modèles de matrices densités aléatoires. On s'intéresse, dans l'esprit de la théorie des matrices aléatoires, au comportement asymptotique des matrices densités, dans la limite où la taille du système converge vers l'infini. Le point de vue pris dans cette thèse est celui des systèmes quantiques ouverts, où l'espace qui nous intéresse est couplé avec l'environnement et le système composé se trouve dans un état pur uniforme. En prenant la trace partielle sur l'environnement, on obtient des matrices densités aléatoires que l'on étudie dans deux régimes asymptotiques. En exploitant des liens avec l'ensemble des matrices aléatoires dites de Wishart, on obtient les densités spectrales limites et les fluctuations des valeurs propres extrémales. En collaboration avec Clément Pellegrini, on étudie des interactions répétées entre un système quantique et une chaîne de systèmes auxiliaires. Nous avons introduit des éléments aléatoires dans ce modèle, soit en considérant que les états de la chaîne sont des variables indépendantes et identiquement distribuées, soit en choisissant, à chaque interaction, une matrice unitaire d'interaction aléatoire uniforme. On s'intéresse aux propriétés asymptotiques des matrices, après un grand nombre d'interactions. Au passage, on introduit un nouveau modèle de matrices densités aléatoires que l'on compare avec les modèles existants dans la littérature. Un problème qui occupe une place centrale dans cette thèse est la conjecture de Nielsen sur la catalyse en théorie quantique de l'information. En collaboration avec Guillaume Aubrun, nous avons progressé vers la preuve de cette conjecture et nous l'avons par la suite généralisée dans différentes directions. L'outil principal utilisé dans ces travaux nous vient de la théorie des probabilités : la théorie des grandes déviations nous permet de comparer stochastiquement des puissances de convolution des mesures de probabilités. Les techniques introduites et le lien avec la théorie des grandes déviations nous ont permis de voir ce problème sous un autre angle et de donner aux théoriciens de l'information quantique un outil de travail puissant. Enfin, toujours en lien avec les matrices aléatoires, cette thèse a donné lieu à deux travaux en probabilités libres. Les ensembles de matrices aléatoires sont des exemples importants et simples où l'on peut observer l'indépendance libre; il est donc naturel de se demander s'il est possible d'obtenir la notion de liberté avec des matrices déterministes. Une telle construction a été proposée par Philippe Biane, en utilisant des sommes de transpositions dans l'algèbre du groupe symétrique. Avec Florent Benaych-Georges, on a pu généraliser les résultats de P. Biane à des cycles quelconques. Notre approche est combinatoire ce qui nous a permis d'aboutir à des formules explicites pour les moments et les cumulants libres des variables à la limite. Grâce à cette même approche nous avons élaboré un modèle analogue en probabilités classiques en remplaçant le groupe symétrique par le groupe abélien des parties d'un ensemble fini, muni de l'opération de différence symétrique. En collaboration avec Stéphane Attal, nous avons construit une approximation de l'espace de Fock libre (qui joue un rôle central en théorie des probabilités non-commutatives) par un produit libre dénombrable d'espaces discrets. Cette idée généralise au cas libre une construction similaire pour l'espace de Fock symétrique, introduite et étudié par S. Attal. En même temps nous avons obtenu une approximation des opérateurs fondamentaux de création, d'annihilation et de jauge par des opérateurs construits à partir des matrices de taille 2. En utilisant ces constructions sont ensuite utilisées pour retrouver quelques approximations connues du mouvement brownien libre et du processus de Poisson libre. Tous ces résultats se généralisent au cas des espaces de Fock de multiplicité supérieure, qui permettent d'approcher des processus multidimensionnels. En conclusion, l'ensemble des travaux scientifiques présentés dans cette thèse se situe à l'intersection de trois grandes directions: les matrices aléatoires, les probabilités libres et la théorie quantique de l'information, l'accent étant mis sur les interactions et sur les liens entre ces domaines.
Cette thèse se consacre à l'étude de certaines passerelles existantes entre les probabilités dîtes classiques et la théorie des systèmes quantiques ouverts. Le but de la première partie de ce manuscrit est d'étudier l'émergence de bruits classiques dans l'équation de Langevin quantique. Cette équation sert à modéliser l'action d'un bain quantique sur un petit système dans l'approximation markovienne. L'analogue en temps discret de cette équation est décrit par le schéma des interactions quantiques répétées étudier par Stéphane Attal et Yan Pautrat. Dans des travaux antérieurs, Attal et ses collaborateurs montrent que les bruits classiques naturels apparaissant dans ce cadre sont les variables aléatoires obtuses, dont ils étudient la structure. Mais sont-ils les seuls bruits classiques pouvant émerger, et quand est-il dans le cas général ? De même, en temps continu, il était plus ou moins admis que les seuls bruits classiques apparaissant dans l'équation de Langevin quantique sont les processus de Poisson et le mouvement brownien. Ma contribution dans ce manuscrit consiste à définir une algèbre de von Neumann pertinente sur l'environnement, dite algèbre du bruit, qui encode la structure du bruit. Elle est commutative si et seulement si le bruit est classique ; dans ce cas on confirme les hypothèses précédentes sur sa nature. Dans le cas général, elle permet de montrer une décomposition de l'environnement entre une partie classique maximale et une partie purement quantique. Dans la deuxième partie, nous nous consacrons à l'étude de processus stochastiques classiques apparaissant au sein du système. La dynamique du système est quantique, mais il existe une observable dont l'évolution est classique. Cela se fait naturellement lorsque le semi-groupe de Markov quantique laisse invariante une sous-algèbre de von Neumann commutative et maximale. Nous développons une méthode pour générer de tels semi-groupes, en nous appuyons sur une définition de Stéphane Attal de certaines dilatations d'opérateurs de Markov classiques. Nous montrons ainsi que les processus de Lévy sur Rn admettent des extensions quantiques. Nous étudions ensuite une classe de processus classiques liés aux marches quantiques ouvertes. De tels processus apparaissent lorsque cette fois l'algèbre invariante est le produit tensoriel de deux algèbres, l'une non-commutative et l'autre commutative. Par conséquent, bien que comportant l'aspect trajectoriel propre au processus classiques, de telles marches aléatoires sont hautement quantiques. Nous présentons dans ce cadre une approche variationnelle du problème de Dirichlet. Finalement, la dernière partie est dédiée à l'étude d'un processus physique appelé décohérence induite par l'environnement. Cette notion est fondamentale, puisqu'elle apporte une explication dynamique à l'absence, dans notre vie de tous les jours, de phénomènes quantiques. Nous montrons qu'une telle décohérence a toujours lieu pour des systèmes ouverts décrits par des algèbres de von Neumann finies. Nous initions ensuite une étude innovante sur la vitesse de décohérence, basée sur des inégalités fonctionnelles non-commutatives, qui permet de mettre en avant le rôle de l'intrication quantique dans la décohérence
Cette thèse est consacrée à l’étude de systèmes quantiques étendus en interaction avec l’environnement, à la fois dans des situations à l’équilibre et hors équilibre. L’approche adoptée est celle des processus stochastiques quantiques. On s’intéresse dans un premier temps à ce qu’il advient des modèles dits de chaîne de spin lorsque ceux-ci sont mis en contact avec un environnement extérieur qui provoque un déphasage aléatoire local des spins. Il est montré que dans la limite de bruit fort et de temps long, une dynamique purement diffusive émerge. Le modèle effectif décrivant cette limite s’interprète comme des fermions se propageant de proche en proche sur le réseau avec une amplitude de saut aléatoire. La distribution stationnaire atteinte à temps long par la distribution de probabilité est décrite pour deux cas de figure : Un cas dit à l’équilibre pour des conditions aux bords périodiques, un cas dit hors-équilibre pour des conditions aux bords injectant et retirant des fermions du réseau avec un taux donné. Il est montré que ces distributions respectent toutes deux un principe de larges déviations. En outre, une connexion explicite avec les processus d’exclusion symétrique classiques est mise en évidence ce qui justifie l'appellation de notre modèle : "Processus d’exclusion simple symétrique quantique". Enfin, on étudie également le cas où le bruit est généré par des mesures faibles continues de la chaîne de spin. On décrit la dynamique à temps long et bruit fort qui est celle de sauts quantiques entre états pointeurs de la chaîne. Ce processus Markovien possède les mêmes taux de transition que le processus d’exclusion simple symétrique classique.