Das Hauptaugenmerk meiner Diplomarbeit liegt auf der geometrischen Untersuchung des sogenannten magischen Simplex W. Es werden Schnitte durch den Simplex durchgeführt um Kenntnisse über seine Separabilität bzw. seine Verschränktheit zu erhalten. Der magischen Simplex der bipartiten Qutrits ist ein 8-dimensionaler Euklidischer Raum, in dem wir über den klassischen Phasenraum und dessen affinen Transformationen Schnitte diskutieren. Zustände ausserhalb des Umhüllenden Polytop sind stets verschränkt, die innerhalb des Kern Polytops stets separabel. Nach der Beschreibung beider Polytope reparametrisiere ich das Kern Polytop um eine Darstellung via Linearkombinationen von Projektionsoperatoren zu erhalten. Auf dieser Darstellung beruht das Mathematica-Programm mit dessen Hilfe ich Graphiken zu den betrachteten Schnitten erstelle. Das Peres Kriterium, ein notwendiges Kriterium für die Separabilität eines Zustandes, wende ich ebenfalls an um den Bereich wo Verschränktheit gesichert ist, weiter auszudehnen. Im Anschluss an diese Vorbereitungen widme ich mich der konkreten Berechnung der Schnitte durch den Simplex für bipartite Qubits und biparte Qutrits mit einer unterschiedlichen Anzahl von Belltypischen Zuständen (drei und vier für Qubits und vier, fünf, sechs und acht für Qutrits), wobei sie durch die hohe Symmetrie dezimiert werden können.
Das Hauptaugenmerk meiner Diplomarbeit liegt auf der geometrischen Untersuchung des sogenannten magischen Simplex W. Es werden Schnitte durch den Simplex durchgeführt um Kenntnisse über seine Separabilität bzw. seine Verschränktheit zu erhalten. Der magischen Simplex der bipartiten Qutrits ist ein 8-dimensionaler Euklidischer Raum, in dem wir über den klassischen Phasenraum und dessen affinen Transformationen Schnitte diskutieren. Zustände ausserhalb des Umhüllenden Polytop sind stets verschränkt, die innerhalb des Kern Polytops stets separabel. Nach der Beschreibung beider Polytope reparametrisiere ich das Kern Polytop um eine Darstellung via Linearkombinationen von Projektionsoperatoren zu erhalten. Auf dieser Darstellung beruht das Mathematica-Programm mit dessen Hilfe ich Graphiken zu den betrachteten Schnitten erstelle. Das Peres Kriterium, ein notwendiges Kriterium für die Separabilität eines Zustandes, wende ich ebenfalls an um den Bereich wo Verschränktheit gesichert ist, weiter auszudehnen. Im Anschluss an diese Vorbereitungen widme ich mich der konkreten Berechnung der Schnitte durch den Simplex für bipartite Qubits und biparte Qutrits mit einer unterschiedlichen Anzahl von Belltypischen Zuständen (drei und vier für Qubits und vier, fünf, sechs und acht für Qutrits), wobei sie durch die hohe Symmetrie dezimiert werden können.
Verschränkung ist eine faszinierende Eigenart der Quantenphysik, die diese beträchtlich von klassischen Konzepten unterscheidet. Einerseits impliziert Verschränkung überraschende philosophische Aspekte, wie die Unvereinbarkeit von lokal-realistischen Theorien mit der Quantenphysik, andererseits kann sie erfolgreich für Aufgaben der Quanteninformation und Quantenkommunikation verwendet werden, um Protokolle im Hinblick auf klassische Prozeduren zu verbessern. Es ist noch immer ein offenes mathematisches Problem, herauszufinden, ob ein Quantenzustand verschränkt ist oder nicht; für einen allgemeinen Zustand auf einem beliebig dimensionalen Hilbertraum gibt es keine operationelle Vorgangsweise. Für reine Zustände und niedrig dimensionale Zweiteilchen-Systeme, z.B. für zwei Qubits, ist dieses Problem gelöst, da berechenbare notwendige und hinreichende Bedingungen für Separabilität (d.h. für Nicht-Verschränktheit) gefunden wurden. Außerdem kann die Verschränkung für ein Zwei-Qubit-System leicht quantifiziert werden. Für höher dimensionale und/oder Mehrteilchen-Systeme wurde in Bezug auf die Bestimmung und Quantifizierung von Verschränkung schon einiges erreicht, allerdings kann das Problem noch nicht als gelöst angesehen werden, vieles ist noch zu erforschen. In dieser Dissertation werden neue Methoden zur Bestimmung und Quantifizierung von Verschränkung für Systeme, die über Zwei-Qubit-Systeme hinausgehen, präsentiert. Zustände solcher Systeme werden üblicherweise durch Dichteoperatoren beschrieben und in Matrix-Schreibweise verwendet. Für hochdimensionale und/oder Mehrteilchen-Systeme können diese Dichtematrizen allerdings sehr unpraktisch werden. Mit Hilfe von Bloch-Zerlegungen können Dichteoperatoren kompakter und einfacher dargestellt werden. In dieser Schreibweise werden Dichteoperatoren in eine vollständige und orthogonale Operatorenbasis des Operatorenraums zerlegt. Für Qubits ist diese Schreibweise geläufig und üblicherweise werden die Pauli-Spin-1/2 Operatoren für die Operatorenbasis verwendet. Für Qudits, das sind Zustände allgemein dimensionaler Systeme, gibt es allerdings keine eindeutige Verallgemeinerung der Pauli-Operatorenbasis. Daher untersuchen wir drei mögliche Operatorenbasen: Die verallgemeinerte Gell-Mann-Operatorenbasis, die Polarisationsoperatorenbasis, sowie die Weyloperatorenbasis. Weiters wird eine Methode präsentiert, mit welcher die Zerlegung eines beliebigen Operators in eine der drei Operatorenbasen mit Hilfe der Zerlegung von sogenannten Standardoperatoren gefunden werden kann. Als Beispiel zur Anwendung dieser Methode betrachten wir den maximal verschränkten Zwei-Qudit Zustand und zerlegen diesen in jede der Operatorenbasen. Im Zusammenhang mit der Bestimmung von Verschränkung sind „Entanglement Witnesses'“ ein wichtiges und oft verwendetes Hilfsmittel. Diese sind Observablen und detektieren die Verschränkung eines Zustandes, sofern sie für diesen einen negativen Erwartungswert aufweisen, und wenn gleichzeitig bekannt ist, dass der Erwartungswert für alle separablen Zustände nicht negativ werden kann. Diese letztere Bedingung ist allerdings im Allgemeinen nicht leicht zu zeigen. In diesem Zusammenhang bietet sich die Verwendung von Bloch-Zerlegungen für vereinfachte Relationen an, und somit kann die Bedingung in vielen Fällen bewiesen werden. Eine besondere Klasse von Entanglement Witnesses sind geometrische Entanglement Witnesses, welche eine direkte euklidisch-geometrische Darstellung des Operatorenraumes erlauben. Die Wichtigkeit dieser Witnesses wird durch „Shift“-Methoden verdeutlicht, welche verschränkte und im Speziellen „bound entangled“ Zustände detektieren können, und außerdem helfen, die Menge der separablen Zustände von konvexen Untermengen von Zuständen zu bestimmen. Als Beispiel betrachten wir eine Drei-Parameter-Familie von Zwei-Qutrit Zuständen. Weiters können geometrische Entanglement Witnesses auch zur geometrischen Quantifizierung von Verschränkung verwendet werden, insbesondere zur Bestimmung des Hilbert-Schmidt Verschränkungsmaßes. Dies wird an den Beispielen der isotropen Zwei-Qudit Zustände und Zwei-Parameter Familien von Zwei-Qubit und Zwei-Qutrit Zuständen gezeigt. Zuletzt widmen wir uns dem Problem der Bestimmung von Verschränkung in Mehr-Qubit Systemen. In diesem Zusammenhang bieten wir eine allgemeine Konstruktion von Entanglement Witnesses unter Verwendung von statischen Strukturfaktoren an. In der Festkörperphysik beschreiben Strukturfaktoren dynamische Eigenschaften von Festkörpern in Streuexperimenten. Die strukturellen Entanglement Witnesses detektieren echte Mehrteilchen-Verschränkung, wie z.B. Dicke-Zustände und Dicke-ähnliche Zustände mit geänderten Phasen der vorkommenden Terme. Sie beinhalten außerdem nur Zwei-Punkt-Korrelationen und sind für die experimentelle Anwendung in verschieden physikalischen Systemen geeignet.
Die vorliegende Diplomarbeit beschaftigt sich uberwiegend mit Quanten-Systemen, die zwei (auch qubit genannt) oder im allgemeinsten Fall d Freiheitsgrade (auch qudit genannt) aufweisen. Insbesondere werden die Eigenschaften zusammengesetzter Quanten-Systeme bezuglich Separabilitat beziehungsweise Verschrankung auf geometrische Weise dargestellt. Beruhend auf ahnlichen, bereits bekannten
Uberlegungen fur zwei Qubit oder zwei Qudit Systeme, werden mogliche Verallgemeinerungen dieser Ergebnisse fur Vielteilchensysteme prasentiert. Des Weiteren wird das Verhalten dieser Vielteilchensysteme bezuglich der gangigsten Separabilit
atskriterien, wie z.B. des Peres-Horodecki Kriteriums, des Realignment Kriteriums, der Destillation von Verschrankung und Verschrankungsmasen, sowohl numerisch als auch analytisch betrachtet.
Es wird im Einzelnen gezeigt wie, in Anlehnung an den zwei Qubit Simplex, ein n-Teilchen Simplex bestehend aus Qubit Zustanden konstruiert werden kann und warum alle Zustande in diesem Simplex 'bound-entangled' sind. Dieses Ergebnis
wurde bereits in Physical Review A 78, 042327 (2008) publiziert.
Auserdem werden zwei verschiedene Konstruktionen eines n-Teilchen Wk-Simplex
vorgestellt, die beide fur den n = 2 Fall mit dem bekannten 'Magic Tetrahedron' ubereinstimmen. Fur den speziellen Fall des drei Teilchen Wk-Simplex (W-Zustand Simplex) werden bestimmte Symmetrien der jeweiligen Quanten Systeme bezuglich
der oben erwahnten Separabilitatskriterien aufgezeigt und dementsprechend verschiedene Subklassen von Zustande eingefuhrt. Zusatzlich zu diesen Symmetrien
konnen durch diese geometrische Veranschaulichung der Zustande, d.h. durch verschiedene Schnitte dieser Simplices, die verschiedenen Kriterien prazise und leicht auf optischem Wege verglichen werden. Aus diesem Grund werden die in
dieser Arbeit beschriebenen Ergebnisse dazu beitragen sowohl zusammengesetzte Quanten-Systeme als auch das damit verbundene faszinierende Phanomen der Verschr
ankung, welches die Grundlage fur zukunftige Technologien, wie etwa Quantenkryptography, Quantenkommunikation oder moglicherweise Quantencomputer, bilden wird, besser zu verstehen.
Für tripartite Quantenzustände gibt es bisher noch kein allgemeines Kriterium, das eine Unterscheidung zwischen separablen und verschiedenartig verschränkten Zuständen zuläßt. Einige spezielle Größen erlauben es - auch für multipartite Systeme - das Ausmaß von Verschränkung zu bestimmen. Diese wurden untersucht und speziell auf verallgemeinerte GHZ und W Zustände angewandt. Auch Zustände mit verschränkter Verschränkung und deren entsprechend geometrische Struktur wurden untersucht. Wie beim "magischen Simplex" im Zwei-Qubit Fall spielt die geometrische Struktur eine wichtige Rolle bei der Untersuchung von Zusammenhängen, Symmetrien und Verschränkungs-Eigenschaften tripartiter Zustände. Für GHZ-symmetrische Zustände können Verschränkungs-Eigenschaften und ihre Bereiche bestimmt werden. Mit Hilfe von lokalen unitären Transformationen kann dieses Wissen auch auf einen Simplex von Zuständen mit verschränkter Verschränkung angewendet werden. Verwendet man Basis-Zustände als Bauklötze und verschränkt diese in spezieller Art, so kann man auf einfache Weise GHZ Zustände mit einer beliebigen Anzahl von Teilchen erhalten. Mit Hilfe der Bloch-Darstellung kann man weitere Einsichten in die Geometrie und Struktur von tripartiten Qubit-Zuständen gewinnen.
Die Quantenmechanik und ihre Phänomene, wie zum Beispiel Verschränkung oder Nichtlokalität, sind bis heute nicht vollständig erschlossen. Das Ziel dieser Arbeit ist es, eine Einführung in den Begriff der Verschränkung und seine Auswirkungen zu geben. Insbesondere Kriterien zur Detektion und Maße zur Quantifizierung von Verschränkung werden vorgestellt. Desweiteren wird der Begriff der Nichtlokalität näher untersucht und eine Möglichkeit, die Bell Ungleichung, vorgestellt nichtlokale Quantenzustände zu detektieren. Ein weiterer Teil dieser Arbeit ist der Frage gewidmet, wie sich Quantenzustände unter LOCC Transformationen und global unitären Transformationen verändern. Hierfür werden mehrere Beispiele behandelt. Unter anderem GHZ-, Werner-, Gisin Zustände werden genauer beleuchtet und deren Veränderung der Verschränkung und Nichtlokalität untersucht. Ein weiterer wichtiger Teil dieser Arbeit widmet sich der Frage der Visualisierung von Quantenzuständen um ein besseres Verständnis für deren Verhalten zu erlangen. Explizit werden reine zwei qubit Systeme untersucht. Die Verknüpfung solcher Zustände mit dem komplex projektiven Raum ermöglicht eine vollständige geometrische Darstellung. Im Fall von gemischten Zuständen ist die Dimensionszahl zu hoch um eine vernünftige Darstellung aller Zustände zu ermöglichen. Allerdings zeigt sich, dass eine Superposition von Bell Zuständen nur drei Freiheitsgrade besitzt und dadurch darstellbar ist. Doch auch Zustände mit mehr als drei Freiheitsgraden können, durch eine in dieser Arbeit vorgestellte Methode, visualisiert werden, indem der Bereich der physikalischen Zustände innerhalb der darstellung angepasst wird.
Verschränkung ist eine zentrale Ressource der Quanteninformationswissenschaft, deren Struktur und operative Rolle jedoch nur teilweise verstanden sind. Zwei offene Probleme verdeutlichen diese Lücken: das Separabilitätsproblem, das fragt, ob ein gegebener Zustand separabel oder verschränkt ist, und das Destillierbarkeitsproblem, das untersucht, ob mehrere Kopien eines Zustands mittels lokaler Operationen und klassischer Kommunikation (LOCC) in maximal verschränkte Zustände transformiert werden können. Gebundene verschränkte Zustände, die zwar verschränkt, aber nicht destillierbar sind und nicht zuverlässig von separablen oder destillierbaren Zuständen unterschieden werden können, liegen an der Schnittstelle beider Herausforderungen. Diese Dissertation untersucht die Verschränkungsstruktur bipartiter Bell‑diagonaler Systeme, d.h. Mischungen maximal verschränkter Zustände, und deren Zusammenhang mit Destillierbarkeit und gebundener Verschränkung. Unter Ausnutzung spezieller Eigenschaften Bell‑diagonaler Systeme entwickeln wir ein numerisches Ökosystem zur Datenerzeugung und Verschränkungsanalyse, das Reproduzierbarkeit der Ergebnisse gewährleistet. Durch die Detektion eines bedeutenden Anteils gebundener verschränkter Zustände klassifizieren wir den Großteil der niedrigdimensionalen Bell-diagonalen Zustände, die mittels der Weyl–Heisenberg-Konstruktion erzeugt werden. Wir zeigen, dass die zugrunde liegende Gruppenstruktur eine entscheidende Rolle für die Verschränkungsstruktur als auch für das Vorkommen und die Nachweisbarkeit von gebundener Verschränkung in solchen Systemen spielt. Diese strukturellen Erkenntnisse werden genutzt, um optimierte stabilisatorbasierte Protokolle zur Verschränkungsdestillation zu entwickeln und präsentieren das FIMAX‑Protokoll, das sich durch eine hohe Effizienz und Robustheit gegenüber Rauschen auszeichnet, selbst für nicht‑Bell‑diagonale Zustände. Abschließend legen wir den Grundstein zur Erweiterung der Stabilisatormethoden auf andere Destillationsaufgaben, wie zum Beispiel die Destillation eines kryptografischen Schlüssels. Das Etablieren lokaler Invarianz unter isometrischen Transformationen relevanter Informationsmaße sowie die Entwicklung eines Algorithmus zur Berechnung dieser, erlauben den Einsatz stabilisatorbasierter Methoden zur Destillation von Zuständen, die für die jeweiligen operationellen Aufgaben optimiert sind. Die Ergebnisse etablieren Bell‑diagonale Systeme als geeignete Plattform zur Untersuchung der gebundenen Verschränkung und Destillierbarkeit sowie zur Entwicklung wirksamer Destillationsprotokolle. Sie heben die Gruppenstruktur als ein nutzbares Prinzip hervor, das die Klassifikation und Destillation von Bell‑diagonalen Zuständen miteinander verbindet. Während sie vielversprechende Richtungen für zukünftige Untersuchungen aufzeigt, erweitert diese Arbeit sowohl das theoretische Verständnis als auch die operationelle Anwendung von Verschränkung in der Quanteninformationswissenschaft.
Quantenverschränkung hat sich als eine wertvolle Ressource für viele Aufgaben der Quanteninformationstheorie etabliert. Eine zunehmende Zahl von miteinander verschränkten Systemen sowie eine größere Anzahl verfügbarer Dimensionen bewirkt in diesem Zusammenhang eine Steigerung des Leistungsvermögens und der Effizienz. Um diese Ressource erfolgreich zu nutzen, ist es zuvorderst notwendig, einen konsistenten theoretischen Formalismus zu ent-wickeln, der die verschiedenen Arten von Verschränkung korrekt beschreibt und zwischen ihnen differenziert.\nDie vorliegende Arbeit widmet sich der Klassifikation von Verschränkung in speziellen Familien hochdimensionaler Vielteilchensysteme sowie der Detektion von Verschränkung innerhalb dieser.\nDiese Dissertation stellt die Forschungsergebnisse aus drei Projekten vor. Der erste Teil handelt von der Konstruktion eines Operators, eines sogenannten Verschränkungszeugen, der es ermöglicht Verschränkung innerhalb von Vielteilchensystemen zu detektieren. Der Hauptaspekt besteht hierbei in der Entwicklung einer Eins-zu-eins-Korrespondenz zwischen SLOCC-Zeugen und Verschränkungszeugen innerhalb eines erweiterten Hilbertraums. Die Form dieses Zeugen ist derart, dass er mit Hilfe eines Zustandes innerhalb der zu detektierenden SLOCC-Klasse und dem maximalen Überlapp dessen mit Zuständen einer inäquivalenten SLOCC-Klasse konstruiert werden kann.\nDas zweite Projekt basiert auf der Erweiterung einer speziellen Familie von Vielteilchenzuständen, den Qubit-Hypergraphzuständen. Sie werden auf beliebige Dimensionen verallgemeinert und als Qudit-Hypergraphen definiert. Diese Zustände werden hinsichtlich SLOCC- und LU-Äquivalenzklassen untersucht und Methoden entwickelt um zwischen diesen zu unterscheiden. Interessanterweise konnte hier eine enge Verbindung zum Feld der Zahlentheorie festgestellt werden. Für tripartite Systeme in den Dimensionen drei und vier wird eine vollständige Klassifizierung unter SLOCC und LU angegeben. In den folgenden Abschnitten werden Regeln für die lokale Komplementation für Graphenzustände in nicht notwendigerweise Primzahl-Dimensionen entwickelt. Den Abschluss dieses Themas bildet eine Erweiterung der Qudit Hypergraphenzustände hin zu sogenannten gewichteten Hypergraphzuständen. Für spezielle Fälle davon werden SLOCC- und LU-Äquivalenzklassen determiniert. \nDer dritte und letzte Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Frage, auf welche Art Mehr-levelverschränkung sinnvoll definiert werden kann. Die Motivation dazu resultiert aus der Tatsache, dass es Zustände gibt, die als maximal verschränkt hinsichtlich ihrer Dimension gelten, aber trotzdem durch Systeme niedrigerer Dimension generiert werden können. Basierend darauf werden drei inäquivalente Klassen von Mehrlevelverschränkung definiert: 1) Zerlegbare Zustände (DEC), deren Korrelationen vollständig durch niedriger-dimensionale Systeme reproduziert werden können, 2) Echt mehrlevel-, mehrteilchenverschränkte Zustände (GMME), für deren Produktion man Kontrolle über Systeme der entsprechenden Dimension haben muss, 3) Mehrlevel-, mehrteilchenverschränkte Zustände (MME), die zerlegbar bezüglich einer bestimmten Bipartition sind.\nNach den grundlegenden Definitionen werden Beispiele für jede der drei Klassen diskutiert und Methoden entwickelt, die zwischen den Klassen unterscheiden können. Im bipartiten Fall, sowie für die Unterscheidung zwischen GMME und MME, kann die Frage der Klassenzugehörigkeit analytisch beantwortet werden. Die Differenzierung hinsichtlich MME und DEC basiert weitgehend auf numerischen Methoden, wobei auch ein analytisches Kriterium existiert, das notwendig, aber nicht hinreichend ist.