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Institute of Physics eBooks

Numerical techniques

Paulsamy Muruganandam, Ramaswamy Radha

Published Nov 1, 2025• 0 citations
Publisher

Abstract

In chapter 3, the numerical techniques which have been exploited for solving Gross–Pitaevskii (GP)-type equations have been explored in detail. In particular, the algorithmic approaches employed in split-step Crank–Nicolson method, split-step Fourier transform method and Newton conjugate gradient method have been outlined. A glimpse of generating ground states of Bose–Einstein condensates using data driven approaches employing Gaussian processes as an alternative to numerical methods is shown.

DOI
10.1088/978-0-7503-5447-9ch3

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Adaptive Finite-element Methods for the Numerical Simulation of Bose-Einstein Condensates

Guillaume Vergez

Le phénomène de condensation d’un gaz de bosons lorsqu’il est refroidi à zéro degrés Kelvin futdécrit par Einstein en 1925 en s’appuyant sur des travaux de Bose. Depuis lors, de nombreux physiciens,mathématiciens et numériciens se sont intéressés au condensat de Bose-Einstein et à son caractère superfluide. Nous proposons dans cette étude des méthodes numériques ainsi qu’un code informatique pour la simulation d’un condensat de Bose-Einstein en rotation. Le principal modèle mathématique décrivant ce phénomène physique est une équation de Schrödinger présentant une non-linéarité cubique,découverte en 1961 : l’équation de Gross-Pitaevskii (GP). En nous appuyant sur le logiciel FreeFem++,nous nous servons d’une discrétisation spatiale en éléments-finis pour résoudre numériquement cette équation. Une méthode d’adaptation du maillage à la solution et l’utilisation d’éléments-finis d’ordre deux nous permet de résoudre finement le problème et d’explorer des configurations complexes en deux ou trois dimensions d’espace. Pour sa version stationnaire, nous avons développé une méthode de gradient de Sobolev ou une méthode de point intérieur implémentée dans la librairie Ipopt. Pour sa version instationnaire, nous utilisons une méthode de Time-Splitting combinée à un schéma de Crank-Nicolson ou une méthode de relaxation. Afin d’étudier la stabilité dynamique et thermodynamique d’un état stationnaire, le modèle de Bogoliubov-de Gennes propose une linéarisation de l’équation de Gross-Pitaevskii autour de cet état. Nous avons élaboré une méthode permettant de résoudre ce système aux valeurs et vecteurs propres, basée sur un algorithme de Newton ainsi que sur la méthode d’Arnoldi implémentée dans la librairie Arpack.

•Jun 6, 2017•0 citations

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Institute of Physics eBooks•Nov 1, 2025•0 citations

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Le phénomène de condensation d’un gaz de bosons lorsqu’il est refroidi à zéro degrés Kelvin futdécrit par Einstein en 1925 en s’appuyant sur des travaux de Bose. Depuis lors, de nombreux physiciens,mathématiciens et numériciens se sont intéressés au condensat de Bose-Einstein et à son caractère superfluide. Nous proposons dans cette étude des méthodes numériques ainsi qu’un code informatique pour la simulation d’un condensat de Bose-Einstein en rotation. Le principal modèle mathématique décrivant ce phénomène physique est une équation de Schrödinger présentant une non-linéarité cubique,découverte en 1961 : l’équation de Gross-Pitaevskii (GP). En nous appuyant sur le logiciel FreeFem++,nous nous servons d’une discrétisation spatiale en éléments-finis pour résoudre numériquement cette équation. Une méthode d’adaptation du maillage à la solution et l’utilisation d’éléments-finis d’ordre deux nous permet de résoudre finement le problème et d’explorer des configurations complexes en deux ou trois dimensions d’espace. Pour sa version stationnaire, nous avons développé une méthode de gradient de Sobolev ou une méthode de point intérieur implémentée dans la librairie Ipopt. Pour sa version instationnaire, nous utilisons une méthode de Time-Splitting combinée à un schéma de Crank-Nicolson ou une méthode de relaxation. Afin d’étudier la stabilité dynamique et thermodynamique d’un état stationnaire, le modèle de Bogoliubov-de Gennes propose une linéarisation de l’équation de Gross-Pitaevskii autour de cet état. Nous avons élaboré une méthode permettant de résoudre ce système aux valeurs et vecteurs propres, basée sur un algorithme de Newton ainsi que sur la méthode d’Arnoldi implémentée dans la librairie Arpack.

•Jun 6, 2017•0 citations

Spin–orbit-coupled Bose–Einstein condensates

Paulsamy Muruganandam, Ramaswamy Radha

In chapter 7, the focus shifts to the dynamics of spin–orbit and Rabi-coupled Bose–Einstein condensates (BECs) for spin-F = 1/2. Employing Darboux transformation, nonlinear excitations like bright solitons, rogue waves, breathers, mixed (dark–bright) bound state solutions are explicitly derived assuming a suitable correlation between trapping frequency and temporal scattering length. For a general choice of trapping potentials and interatomic interactions, numerical techniques like split-step Fourier transform method and Newton conjugate gradient method are employed to numerically solve the dynamics of spin–orbit and Rabi-coupled BECs and the stability of the nonlinear excitations is studied.

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arXiv:cond-mat/0303239•Journal of Computational Physics•Apr 23, 2003•638 citations
In chapter 3, the numerical techniques which have been exploited for solving Gross–Pitaevskii (GP)-type equations have been explored in detail. In particular, the algorithmic approaches employed in split-step Crank–Nicolson method, split-step Fourier transform method and Newton conjugate gradient method have been outlined. A glimpse of generating ground states of Bose–Einstein condensates using data driven approaches employing Gaussian processes as an alternative to numerical methods is shown.
Le phénomène de condensation d’un gaz de bosons lorsqu’il est refroidi à zéro degrés Kelvin futdécrit par Einstein en 1925 en s’appuyant sur des travaux de Bose. Depuis lors, de nombreux physiciens,mathématiciens et numériciens se sont intéressés au condensat de Bose-Einstein et à son caractère superfluide. Nous proposons dans cette étude des méthodes numériques ainsi qu’un code informatique pour la simulation d’un condensat de Bose-Einstein en rotation. Le principal modèle mathématique décrivant ce phénomène physique est une équation de Schrödinger présentant une non-linéarité cubique,découverte en 1961 : l’équation de Gross-Pitaevskii (GP). En nous appuyant sur le logiciel FreeFem++,nous nous servons d’une discrétisation spatiale en éléments-finis pour résoudre numériquement cette équation. Une méthode d’adaptation du maillage à la solution et l’utilisation d’éléments-finis d’ordre deux nous permet de résoudre finement le problème et d’explorer des configurations complexes en deux ou trois dimensions d’espace. Pour sa version stationnaire, nous avons développé une méthode de gradient de Sobolev ou une méthode de point intérieur implémentée dans la librairie Ipopt. Pour sa version instationnaire, nous utilisons une méthode de Time-Splitting combinée à un schéma de Crank-Nicolson ou une méthode de relaxation. Afin d’étudier la stabilité dynamique et thermodynamique d’un état stationnaire, le modèle de Bogoliubov-de Gennes propose une linéarisation de l’équation de Gross-Pitaevskii autour de cet état. Nous avons élaboré une méthode permettant de résoudre ce système aux valeurs et vecteurs propres, basée sur un algorithme de Newton ainsi que sur la méthode d’Arnoldi implémentée dans la librairie Arpack.
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In chapter 7, the focus shifts to the dynamics of spin–orbit and Rabi-coupled Bose–Einstein condensates (BECs) for spin-F = 1/2. Employing Darboux transformation, nonlinear excitations like bright solitons, rogue waves, breathers, mixed (dark–bright) bound state solutions are explicitly derived assuming a suitable correlation between trapping frequency and temporal scattering length. For a general choice of trapping potentials and interatomic interactions, numerical techniques like split-step Fourier transform method and Newton conjugate gradient method are employed to numerically solve the dynamics of spin–orbit and Rabi-coupled BECs and the stability of the nonlinear excitations is studied.