Dans cette thèse, nous avons présenté un nouvel algorithme hybride (HA) pour la résolution du problème (UQP). Cet algorithme est basé sur la combinaison d'un bloc de cinq procédures spéciales et de la méthode du recuit simulé. Nos procédures sont très efficaces et rapides, mais malheureusement, parfois elles sont bloquées par un minimum local. Pour surmonter cet inconvénient, nous les avons combinées avec un algorithme de recuit simulé. Ensuite, nous avons répété ces procédures plusieurs fois pour obtenir la meilleure solution en utilisant notre algorithme hybride.Nous avons remarqué que l'écart entre la solution trouvée par (HA) et le logiciel CPLEX est très faible, ce résultat implique l'efficacité de notre stratégie. Par ailleurs, nous avons intégré notre méthode hybride à un problème de relaxation semi-définie du (UQP) dans le cadre d'une stratégie de branch and bound. Pour faciliter la résolution du (UQP), nous suggérons d'appliquer des critères de fixation afin de réduire la taille du problème et d'accélérer l'obtention d'une solution exacte. La qualité de la borne inférieure trouvée par notre code (QPTOSDP) est très bonne, mais le temps d'exécution augmente avec la taille du problème. Les résultats numériques prouvent l'exactitude de notre solution optimale et l'efficacité et la robustesse de notre approche.Nous avons étendu les critères de fixation pour le problème (QP), ce qui permet, dans certains cas, de réduire la dimension du problème, voire de le résoudre entièrement en appliquant une boucle de répétition fondée sur ces critères.
Dans cette thèse, nous avons présenté un nouvel algorithme hybride (HA) pour la résolution du problème (UQP). Cet algorithme est basé sur la combinaison d'un bloc de cinq procédures spéciales et de la méthode du recuit simulé. Nos procédures sont très efficaces et rapides, mais malheureusement, parfois elles sont bloquées par un minimum local. Pour surmonter cet inconvénient, nous les avons combinées avec un algorithme de recuit simulé. Ensuite, nous avons répété ces procédures plusieurs fois pour obtenir la meilleure solution en utilisant notre algorithme hybride.Nous avons remarqué que l'écart entre la solution trouvée par (HA) et le logiciel CPLEX est très faible, ce résultat implique l'efficacité de notre stratégie. Par ailleurs, nous avons intégré notre méthode hybride à un problème de relaxation semi-définie du (UQP) dans le cadre d'une stratégie de branch and bound. Pour faciliter la résolution du (UQP), nous suggérons d'appliquer des critères de fixation afin de réduire la taille du problème et d'accélérer l'obtention d'une solution exacte. La qualité de la borne inférieure trouvée par notre code (QPTOSDP) est très bonne, mais le temps d'exécution augmente avec la taille du problème. Les résultats numériques prouvent l'exactitude de notre solution optimale et l'efficacité et la robustesse de notre approche.Nous avons étendu les critères de fixation pour le problème (QP), ce qui permet, dans certains cas, de réduire la dimension du problème, voire de le résoudre entièrement en appliquant une boucle de répétition fondée sur ces critères.
Dans cette thèse, nous avons présenté un nouvel algorithme hybride (HA) pour la résolution du problème (UQP). Cet algorithme est basé sur la combinaison d'un bloc de cinq procédures spéciales et de la méthode du recuit simulé. Nos procédures sont très efficaces et rapides, mais malheureusement, parfois elles sont bloquées par un minimum local. Pour surmonter cet inconvénient, nous les avons combinées avec un algorithme de recuit simulé. Ensuite, nous avons répété ces procédures plusieurs fois pour obtenir la meilleure solution en utilisant notre algorithme hybride.Nous avons remarqué que l'écart entre la solution trouvée par (HA) et le logiciel CPLEX est très faible, ce résultat implique l'efficacité de notre stratégie. Par ailleurs, nous avons intégré notre méthode hybride à un problème de relaxation semi-définie du (UQP) dans le cadre d'une stratégie de branch and bound. Pour faciliter la résolution du (UQP), nous suggérons d'appliquer des critères de fixation afin de réduire la taille du problème et d'accélérer l'obtention d'une solution exacte. La qualité de la borne inférieure trouvée par notre code (QPTOSDP) est très bonne, mais le temps d'exécution augmente avec la taille du problème. Les résultats numériques prouvent l'exactitude de notre solution optimale et l'efficacité et la robustesse de notre approche.Nous avons étendu les critères de fixation pour le problème (QP), ce qui permet, dans certains cas, de réduire la dimension du problème, voire de le résoudre entièrement en appliquant une boucle de répétition fondée sur ces critères.
La programmation non linéaire mixte peut modéliser un grand nombre de problèmes réels. Cependant, ces problèmes peuvent contenir de nombreuses variables ou contraintes, il convient donc de proposer des méthodes de décomposition afin de les résoudre efficacement. Parmi ces techniques on peut citer la génération de colonnes et notamment la décomposition de Dantzig-Wolfe. Il s’agit d’une reformulation du problème original, qui permet de générer une séquence de sous-problèmes plus simples, appelés maître etpricing, pour obtenir la valeur optimale. Développée d’abord pour les problèmes linéaires, la décomposition de Dantzig-Wolfe peut être généralisée à des problèmes convexes: dans ce contexte, elle est notamment connue sous le nom de décomposition simpliciale. Cette thèse présente des algorithmes de décomposition pour des problèmes quadratiques. La première partie de ce manuscrit est dédiée aux problèmes quadratiques convexes, continus et mixtes binaires. Dans la deuxième partie, des algorithmes pour résoudre des problèmes binaires avec contraintes quadratiques sont présentés. La première partie est consacrée à la résolution de problèmes convexes, quadratiques et continus. Un algorithme basé sur la décomposition simpliciale est proposé: des nouveaux éléments sont ajoutés à la fois au problème maître et au pricing; nous avons testé notre algorithme sur une grande quantité d’instances avec une structure déterminée, et nos résultats montrent que l’algorithme que nous proposons est très efficace par rapport à Cplex, un solveur générique pour ces problèmes. Ce premier travail a été soumis à un journal pour publication. Ensuite, nous étendons cet algorithme aux problèmes convexes mixtes binaires. Nous incorporons la méthode pour le cas continu dans un algorithme de branch and bound qui nous permet d’exploiter des propriétés de notre formulation. Dans ce contexte aussi, des résultats numériques sont fournis: ils montrent que, dans certains cas, les performances de notre algorithme sont efficaces par rapport à Cplex. Ce travail est en préparation pour soumission à un journal. La deuxième partie de cette thèse est dédiée à l’étude d’algorithmes pour des problèmes quadratiques avec contraintes quadratiques. On se concentre sur les problèmes binaires, dont la relaxation continue peut être non convexe. Nous considérons en premier lieu la formulation étendue avec une matrice qui représente les produits des variables. Nous proposons ensuite un algorithme basé sur la décomposition de Dantzig-Wolfe pour obtenir une relaxation dans le Boolean Quadric Polytope (BQP). Ce polytope est connu aussi comme Correlation polytope et il est strictement contenu dans le cône des matrices complètement positives et des matrices semi définies positives. Notre algorithme permet de résoudre cette relaxation, les bornes obtenues sont plus fortes que les bornes SDP et, dans certains cas, les temps de calcul sont comparables ou meilleurs que ceux de BiqCrunch, unsolveur ad-hoc. On montre aussi que la relaxation BQP est une reformulation du problème binaire original, en exploitant un résultat sur les matrices complètement positives, pour les problèmes à contraintes linéaires en égalité. Ensuite, nous considérons des problèmes où les matrices sont décomposables par blocs. On montre aussi que la relaxation BQP est une reformulation du problème binaire original, en exploitant un résultat sur les matrices complètement positives, pour les problèmes à contraintes linéaires en égalité. Ensuite, nous considérons des problèmes où les matrices sont décomposables par blocs. Une relaxation basée sur les blocs est proposée et nous prouvons que cette relaxation est valide pour la relaxation BQP. De plus, prouver l’équivalence entre les deux relaxations est un problème de complétion BQP. La relaxation décomposée par blocs est BQP complétable dans certains cas, mais n’est pas possible dans d’autres cas [....].
Relaxations en programmation mixte en nombres entiers avec contraintes quadratiques et en programmation robuste De nombreux problèmes de la vie réelle sont exprimés sous la forme de décisions à prendre à l’aide de l’information accessible dans le but d’atteindre certains objectifs. La programmation numérique a prouvé être un outil efficace pour modéliser et résoudre une grande variété de problèmes de ce type. Cependant, de nombreux problèmes en apparence faciles sont encore durs à résoudre. Et même des problèmes faciles de programmation linéaire deviennent durs avec l’incertitude de l’information disponible. Motivés par un problème de télécommunication où l’on doit associer des machines virtuelles à des serveurs tout en minimisant les coûts, nous avons employé plusieurs outils de programmation mathématique dans le but de résoudre efficacement le problème, et développé de nouveaux outils pour des problèmes plus généraux. Dans l’ensemble, résumons les principaux résultats de cette thèse comme suit. Une formulation exacte et plusieurs reformulations pour le problème d’affectation de machines virtuelles dans le cloud sont données. Nous utilisons plusieurs inégalités valides pour renforcer la formulation exacte, accélérant ainsi l’algorithme de résolution de manière significative. Nous donnons en outre un résultat géométrique sur la qualité de la borne lagrangienne montrant qu’elle est généralement beaucoup plus forte que la borne de la relaxation continue. Une hiérarchie de relaxation est également proposée en considérant une séquence de couverture de l’ensemble de la demande. Ensuite, nous introduisons une nouvelle formulation induite par les symétries du problème. Cette formulation permet de réduire considérablement le nombre de termes bilinéaires dans le modèle, et comme prévu, semble plus efficace que les modèles précédents. Deux approches sont développées pour la construction d’enveloppes convexes et concaves pour l’optimisation bilinéaire sur un hypercube. Nous établissons plusieurs connexions théoriques entre différentes techniques et nous discutons d’autres extensions possibles. Nous montrons que deux variantes de formulations pour approcher l’enveloppe convexe des fonctions bilinéaires sont équivalentes. Nous introduisons un nouveau paradigme sur les problèmes linéaires généraux avec des paramètres incertains. Nous proposons une hiérarchie convergente de problèmes d’optimisation robuste – approche robuste multipolaire, qui généralise les notions de robustesse statique, de robustesse d’affinement ajustable, et de robustesse entièrement ajustable. En outre, nous montrons que l’approche multipolaire peut générer une séquence de bornes supérieures et une séquence de bornes inférieures en même temps et les deux séquences convergent vers la valeur robuste des FARC sous certaines hypothèses modérées
Méthodes de génération de colonnes en programmation quadratique mixte binaire La programmation non linéaire mixte peut modéliser un grand nombre de problèmes réels. Cependant, ces problèmes peuvent contenir de nombreuses variables ou contraintes, il convient donc de proposer des méthodes de décomposition afin de les résoudre efficacement. Parmi ces techniques on peut citer la génération de colonnes et notamment la décomposition de Dantzig-Wolfe. Il s’agit d’une reformulation du problème original, qui permet de générer une séquence de sous-problèmes plus simples, appelés maître etpricing, pour obtenir la valeur optimale. Développée d’abord pour les problèmes linéaires, la décomposition de Dantzig-Wolfe peut être généralisée à des problèmes convexes: dans ce contexte, elle est notamment connue sous le nom de décomposition simpliciale. Cette thèse présente des algorithmes de décomposition pour des problèmes quadratiques. La première partie de ce manuscrit est dédiée aux problèmes quadratiques convexes, continus et mixtes binaires. Dans la deuxième partie, des algorithmes pour résoudre des problèmes binaires avec contraintes quadratiques sont présentés. La première partie est consacrée à la résolution de problèmes convexes, quadratiques et continus. Un algorithme basé sur la décomposition simpliciale est proposé: des nouveaux éléments sont ajoutés à la fois au problème maître et au pricing; nous avons testé notre algorithme sur une grande quantité d’instances avec une structure déterminée, et nos résultats montrent que l’algorithme que nous proposons est très efficace par rapport à Cplex, un solveur générique pour ces problèmes. Ce premier travail a été soumis à un journal pour publication. Ensuite, nous étendons cet algorithme aux problèmes convexes mixtes binaires. Nous incorporons la méthode pour le cas continu dans un algorithme de branch and bound qui nous permet d’exploiter des propriétés de notre formulation. Dans ce contexte aussi, des résultats numériques sont fournis: ils montrent que, dans certains cas, les performances de notre algorithme sont efficaces par rapport à Cplex. Ce travail est en préparation pour soumission à un journal. La deuxième partie de cette thèse est dédiée à l’étude d’algorithmes pour des problèmes quadratiques avec contraintes quadratiques. On se concentre sur les problèmes binaires, dont la relaxation continue peut être non convexe. Nous considérons en premier lieu la formulation étendue avec une matrice qui représente les produits des variables. Nous proposons ensuite un algorithme basé sur la décomposition de Dantzig-Wolfe pour obtenir une relaxation dans le Boolean Quadric Polytope (BQP). Ce polytope est connu aussi comme Correlation polytope et il est strictement contenu dans le cône des matrices complètement positives et des matrices semi définies positives. Notre algorithme permet de résoudre cette relaxation, les bornes obtenues sont plus fortes que les bornes SDP et, dans certains cas, les temps de calcul sont comparables ou meilleurs que ceux de BiqCrunch, unsolveur ad-hoc. On montre aussi que la relaxation BQP est une reformulation du problème binaire original, en exploitant un résultat sur les matrices complètement positives, pour les problèmes à contraintes linéaires en égalité. Ensuite, nous considérons des problèmes où les matrices sont décomposables par blocs. On montre aussi que la relaxation BQP est une reformulation du problème binaire original, en exploitant un résultat sur les matrices complètement positives, pour les problèmes à contraintes linéaires en égalité. Ensuite, nous considérons des problèmes où les matrices sont décomposables par blocs. Une relaxation basée sur les blocs est proposée et nous prouvons que cette relaxation est valide pour la relaxation BQP. De plus, prouver l’équivalence entre les deux relaxations est un problème de complétion BQP. La relaxation décomposée par blocs est BQP complétable dans certains cas, mais n’est pas possible dans d’autres cas [....].
Le probleme de la minimisation d'une fonction pseudo-booleenne quadratique sous une contrainte lineaire est np-difficile. Par consequent, l'obtention de bornes inferieures est importante. Nous avons etudie differentes methodes pour calculer des bornes inferieures de la solution optimale et nous montrons que le calcul de ces bornes revient a la resolution de programmes lineaires continus. La principale originalite de nos travaux, est qu'ils generalisent les bornes proposees pour le probleme de la minimisation d'une fonction pseudo-booleenne quadratique sans contraintes. Nous avons ensuite applique le calcul des bornes proposees a des problemes particuliers ; la bipartition minimale d'un graphe, l'ensemble stable de cardinal maximal d'un graphe et le sac a dos quadratique. Pour chaque probleme nous avons mis en evidence des proprietes interessantes qui permettent de simplifier le calcul des bornes et des coupes qui permettent d'ameliorer la qualite des bornes proposees. En outre, pour reduire le temps de resolution des programmes lineaires continus consideres, nous avons elabore une methode de coupes qui permet de resoudre des programmes lineaires continus de maniere approchee. Enfin, pour chaque probleme particulier, nous avons integre notre methode de coupes dans un algorithme de resolution exacte (branch and cut). Nous nous sommes egalement interesse a un probleme d'optimisation lie a l'architecture des futurs reseaux numeriques urbains. Le probleme est de determiner une topologie en anneau de cout minimal qui respecte un certain nombre de contraintes. Nous avons modelise ce probleme a l'aide de la programmation mathematique et montre qu'une methode de resolution fondee sur la programmation lineaire en nombres entiers et les methodes de coupes permet de traiter des problemes reels avec un temps de calcul raisonnable.
Le domaine du management de l'énergie implique de nombreux problèmes d'optimisation combinatoire connus pour être difficiles. L'émergence des ordinateurs quantiques suggère de nouvelles approches pour ces problèmes. Pour les machines du futur proche, les heuristiques quantiques variationnelles telles que QAOA, qui peuvent tirer parti de la puissance de calcul des ordinateurs quantiques imparfaits, sont particulièrement prometteuses. Nous explorons le potentiel des algorithmes quantiques variationnels pour des problèmes d'optimisation issus du domaine de "smart charging" des véhicules électriques. Nous considérons deux problèmes inspirés de cas d'utilisation réels. Dans le premier problème, modélisé par Max-K-Cut, nous cherchons à planifier un ensemble de charges avec priorités sur plusieurs stations tout en minimisant le temps de completion pondéré. Dans le deuxième problème, modélisé par Maximum Independent Set, nous cherchons à maximiser le nombre de demandes de charge satisfaites sur une seule station tout en respectant les conflits entre les demandes. Pour les deux problèmes, nous développons un protocole expérimental spécifiant l'encodage et la routine d'optimisation des paramètres. Nos expériences numériques confirment l'intérêt des heuristiques quantiques pour ces problèmes ainsi que la qualité de notre protocole expérimental. Afin d'étendre l'applicabilité des heuristiques quantiques au-delà de QUBO, nous introduisons une nouvelle approche hybride qui intègre des routines quantiques dans l'algorithme classique de Branch & Price pour les programmes linéaires en nombres entiers. Nous testons cette approche sur un problème de smart charging qui se modélise comme problème de coloration de graphe. Nos résultats numériques affirment le potentiel de l'approche hybride tout en révélant la dépendance considérable du gain de performance sur l'instance particulière du problème. Les parties importants des algorithmes variationnels peuvent être représentés sous forme de diagrammes ZX. Nous démontrons comment les règles de réécriture du ZX-calculus peuvent être utilisées pour dériver la formule analytique de l'énergie moyenne d'un modèle d'Ising dans un état QAOA with depth 1. De plus, nous contribuons à l'exploration théorique des algorithmes variationnels en étendant le ZX-calcul avec addition et différenciation de ZX-diagrammes. Notre procédure inductive pour l'addition est entièrement graphique. Pour la différenciation, nous suggérons deux approches. La première approche est inductive, elle s'appuie sur notre procédure d'addition pour représenter explicitement les règles du produit. La deuxième approche est résumée dans deux formules qui sont dérivées de la forme factorisée des diagrammes paramétrés.