Quantum Kolmogorov Complexity and the Quantum Turing Machine
Markus P. Müller
Ziel dieser Arbeit ist es, den Begriff der Quanten-Kolmogorov-Komplexität formal zu definieren und seine wichtigsten Eigenschaften rigoros zu beweisen. Die klassische Kolmogorov-Komplexität ist ein bekanntes und nützliches Maß für die Zufälligkeit endlicher Wörter. In den letzten Jahren wurden unterschiedliche Quantenverallgemeinerungen der Kolmogorov-Komplexität vorgeschlagen. Die natürlichste Art der Verallgemeinerung stammt von Berthiaume u.a., die die Komplexität eines Quantenwortes definieren als die Länge der kürzesten Quanteneingabe für einen universellen Quantencomputer, die als Ausgabe das entsprechende Wort produziert. Abgesehen von kleinen Änderungen soll dieser Komplexitätsbegriff in der hier vorliegenden Arbeit untersucht werden. Zunächst untersuchen wir verschiedene Aspekte des zugrunde liegenden Modells der Quantenturingmaschine (QTM), und zwar mit größerer formaler Genauigkeit als in bisherigen Arbeiten. Anschließend wenden wir diese Resultate auf die Quanten-Kolmogorov-Komplexität an. Unser erstes Ergebnis, basierend auf der Arbeit von Bernstein und Vazirani, ist ein Beweis für die Existenz einer universellen QTM, die jede andere QTM für eine beliebige Anzahl von Zeitschritten simulieren kann, und dann selbst mit Wahrscheinlichkeit eins hält. Weiterhin zeigen wir, dass jede Eingabe, die eine QTM beinahe halten lässt, modifiziert werden kann, um eine Eingabe zu erhalten, die die universelle QTM vollständig halten lässt, wobei sich die Eingabelänge höchstens um eine konstante Anzahl von Qubits vergrößert. Daraus folgt, dass die Quanten-Kolmogorov-Komplexität die Invarianzeigenschaft besitzt, d.h. sie ist bis auf eine additive Konstante unabhängig von der Wahl der universellen QTM. Außerdem stimmt die Quantenkomplexität klassischer Wörter mit deren klassischer Komplexität überein, wieder bis auf eine additive Konstante. Die entsprechenden Beweise beruhen auf verschiedenen analytischen Abschätzungen. Weiterhin beweisen wir mehrere Sätze, die zeigen, dass nur wenige Quantenwörter kleine Quantenkomplexität besitzen können. Schließlich zeigen wir, dass bei ergodischen Quantendatenquellen Komplexitätsrate und Entropierate mit Wahrscheinlichkeit eins übereinstimmen. Den Abschluss der Arbeit bildet ein Ausblick auf eine mögliche Anwendung der Quanten-Kolmogorov-Komplexität in der statistischen Mechanik.
•Sep 27, 2007•5 citations