Symétrie en mécanique quantique. Les groupes de Heisenberg

Franck Laloë, Philippe Grangier

Les groupes de symétrie, ou groupes d’invariance, jouent un rôle important dans toute la physique. Les translations d’espace et de temps, les rotations d’espace et enfin les transformations de Galilée ou de Lorentz entre référentiels d’inertie définissent la structure de l’espace-temps. Les symétries correspondantes sont tout particulièrement importantes en mécanique quantique. En effet les opérateurs fondamentaux - énergie, position, impulsion, moment angulaire - ainsi que leurs relations de commutation, loin d’être arbitraires, sont déterminés par la géométrie de l’espace et celle de l’espace-temps.

P Deligne

Joe McEvoy, Oscar Zarate

Franck Laloë, Philippe Grangier

Les groupes de symetrie, ou groupes d’invariance, jouent un role important dans toute la physique. Les translations d’espace et de temps, les rotations d’espace et enfin les transformations de Galilee ou de Lorentz entre referentiels d’inertie definissent la structure de l’espace-temps. Les symetries correspondantes sont tout particulierement importantes en mecanique quantique. En effet les operateurs fondamentaux - energie, position, impulsion, moment angulaire - ainsi que leurs relations de commutation, loin d’etre arbitraires, sont determines par la geometrie de l’espace et celle de l’espace-temps. Ces considerations de symetrie permettent de comprendre l’origine de la masse et du spin et d’etablir des equations d’onde comme l’equation de Schrodinger ou celle de Dirac a partir du groupe d’invariance choisi : Galilee ou Lorentz. Ces equations permettent de decrire les particules de spin 1/2 et predisent correctement leur moment magnetique anormal. Cet ouvrage, issu d’un cours de DEA de Physique theorique de l’ENS, a a la fois un caractere fondamental et applique. L’utilisation des symetries, et en particulier de celle de rotation, est un outil pratique permettant une approche geometrique de problemes comme le theoreme de Wigner-Eckart ou les operateurs tensoriels irreductibles. Enfin le livre discute de deux symetries discretes, la parite et le renversement du temps.

Joe McEvoy, Oscar Sergio Zárate

Jean-Pierre Antoine

Cet article passe en revue les multiples applications de la théorie des groupes aux problèmes de symétrie en physique. En physique classique, il s’agit surtout de la relativité : euclidienne, galiléenne, einsteinienne (relativité restreinte). Passant à la mécanique quantique, on remarque d’abord que les principes de base impliquent que l’espace des états d’un système quantique a une structure intrinsèque d’espace préhilbertien, que l’on complète ensuite en un espace de Hilbert. Dans ce contexte, la description de l’invariance sous un groupe G se base sur une représentation unitaire de G. On parcourt ensuite les différents domaines d’application : physique atomique et moléculaire, matière condensée, optique quantique, ondelettes, symétries internes, symétries approchées. On discute ensuite l’extension aux théories de jauge, en particulier au Modèle Standard des interactions fondamentales. On conclut par quelques indications sur des développements récents. * * * The present article reviews the multiple applications of group theory to the symmetry problems in physics. In classical physics, this concerns primarily relativity : Euclidean, Galilean, Einsteinian (special). Going over to quantum mechanics, we first note that the basic principles imply that the state space of a quantum system has an intrinsic structure of pre-Hilbert space, that one completes into a genuine Hilbert space. In this framework, the description of the invariance under a group G is based on a unitary representation of G. Next we survey the various domains of application : atomic and molecular physics, condensed matter physics, quantum optics, wavelets, internal symmetries, approximate symmetries. Next we discuss the extension to gauge theories, in particular to the Standard Model of fundamental interactions. We conclude with some remarks about recent developments.