Wir ziehen ein System in Betracht, das aus einer sehr großen Anzahl gleicher Teilchen besteht, wie dies z. B. bei einem homogenen Gas der Fall ist, und wollen dieses System zunächst auf Grund der im Kapitel II ausgearbeiteten allgemeinen quantenmechanischen Theorie behandeln. Die Voraussetzungen für das folgende sind, daß die Teilchen vollkommen gleich, also voneinander nicht unterscheidbar sind, weiterhin daß die Wechselwirkung zwischen den Teilchen klein ist und vernachlässigt werden kann. Der Zustand des Gesamtsystems läßt sich dann durch den Zustand der einzelnen Teilchen beschreiben. Die Eigenfunktionen mit Berücksichtigung des Spins und die entsprechenden Energieeigenwerte der Einteilchenzustände bezeichnen wir mit φ k 1 , φ k 2 ,…bzw. E k 1 , E k 2 … ]] <![CDATA[ ${\varphi _{{k_1}}},{\varphi _{{k_2}}}, \ldots bzw.{E_{{k_1}}},{E_{{k_2}}} \ldots$ die Anzahl der Teilchen sei N. Wie wir im § 9 gesehen haben, gehören zum Energieeigenwert E k = E k 1 + E k 2 +…+ E k N ]] <![CDATA[ ${E_k} = {E_{{k_1}}} + {E_{{k_2}}} + \ldots + {E_{{k_N}}}$ des Gesamtsystems die folgenden Eigenfunktionen x k ( i )= φ k 1 ( i 1 ) φ k 2 ( i 2 )… φ k N ( i N ) ]] <![CDATA[ ${x_k}\left( i \right) = {\varphi _{{k_1}}}\left( {{i_1}} \right){\varphi _{{k_2}}}\left( {{i_2}} \right) \ldots {\varphi _{{k_N}}}\left( {{i_N}} \right)$ des Gesamtsystems, wo i 1, i 2,..., i N eine Permutation (i) der Zahlen 1, 2,..., N bedeutet. Die Anzahl der voneinander linear unabhängigen Eigenfunktionen x k (i) beträgt, falls die Einteilcheneigenfunktionen φ k i ]] <![CDATA[ ${\varphi _{{k_i}}}$ alle voneinander verschieden sind, N!; falls sich unter den φ k i ]] <![CDATA[ ${\varphi _{{k_i}}}$ auch gleiche befinden, so wird ihre Anzahl reduziert, denn es sind dann diejenigen Permutationen, welche nur die Argumente gleicher φ k i ]] <![CDATA[ ${\varphi _{{k_i}}}$ vertauschen, unwirksam und daher auszuschließen.Wir ziehen ein System in Betracht, das aus einer sehr großen Anzahl gleicher Teilchen besteht, wie dies z. B. bei einem homogenen Gas der Fall ist, und wollen dieses System zunächst auf Grund der im Kapitel II ausgearbeiteten allgemeinen quantenmechanischen Theorie behandeln. Die Voraussetzungen für das folgende sind, daß die Teilchen vollkommen gleich, also voneinander nicht unterscheidbar sind, weiterhin daß die Wechselwirkung zwischen den Teilchen klein ist und vernachlässigt werden kann. Der Zustand des Gesamtsystems läßt sich dann durch den Zustand der einzelnen Teilchen beschreiben. Die Eigenfunktionen mit Berücksichtigung des Spins und die entsprechenden Energieeigenwerte der Einteilchenzustände bezeichnen wir mit φ k 1 , φ k 2 ,…bzw. E k 1 , E k 2 … ]] <![CDATA[$${\varphi _{{k_1}}},{\varphi _{{k_2}}}, \ldots bzw.{E_{{k_1}}},{E_{{k_2}}} \ldots $$ die Anzahl der Teilchen sei N. Wie wir im § 9 gesehen haben, gehören zum Energieeigenwert E k = E k 1 + E k 2 +…+ E k N ]] <![CDATA[$${E_k} = {E_{{k_1}}} + {E_{{k_2}}} + \ldots + {E_{{k_N}}}$$ des Gesamtsystems die folgenden Eigenfunktionen x k ( i )= φ k 1 ( i 1 ) φ k 2 ( i 2 )… φ k N ( i N ) ]] <![CDATA[$${x_k}\left( i \right) = {\varphi _{{k_1}}}\left( {{i_1}} \right){\varphi _{{k_2}}}\left( {{i_2}} \right) \ldots {\varphi _{{k_N}}}\left( {{i_N}} \right)$$ des Gesamtsystems, wo i 1, i 2,..., i N eine Permutation (i) der Zahlen 1, 2,..., N bedeutet. Die Anzahl der voneinander linear unabhängigen Eigenfunktionen x k (i) beträgt, falls die Einteilcheneigenfunktionen φ k i ]] <![CDATA[$${\varphi _{{k_i}}}$$ alle voneinander verschieden sind, N!; falls sich unter den φ k i ]] <![CDATA[$${\varphi _{{k_i}}}$$ auch gleiche befinden, so wird ihre Anzahl reduziert, denn es sind dann diejenigen Permutationen, welche nur die Argumente gleicher φ k i ]] <![CDATA[$${\varphi _{{k_i}}}$$ vertauschen, unwirksam und daher auszuschließen.

Birkhäuser Basel eBooksJan 1, 19500 citations

Systeme von unabhängigen Teilchen

G. H. Findenegg

Besteht zwischen den einzelnen Teilchen eines Systems keine Wechselwirkung, so läßt sich die Wellenfunktion des Systems, ΨS, als Produkt der Wellenfunktionen ψS(k) der Einzelteilchen (k = 1,2,…, TV) anschreiben: ${\Psi _s} = {\psi _a}(1) \cdot {\psi _b}(2) \cdot \ldots \cdot {\psi _w}(N)$ .Besteht zwischen den einzelnen Teilchen eines Systems keine Wechselwirkung, so läßt sich die Wellenfunktion des Systems, ΨS, als Produkt der Wellenfunktionen ψS(k) der Einzelteilchen (k = 1,2,…, TV) anschreiben: $$ {\Psi _s} = {\psi _a}(1) \cdot {\psi _b}(2) \cdot \ldots \cdot {\psi _w}(N) $$ .

Steinkopff eBooksJan 1, 19850 citations

15. Die Näherung unabhängiger Teilchen

De Gruyter eBooksSep 16, 20150 citations

{\varphi _{{k_1}}},{\varphi _{{k_2}}}, \ldots bzw.{E_{{k_1}}},{E_{{k_2}}} \ldots

die Anzahl der Teilchen sei N. Wie wir im § 9 gesehen haben, gehören zum Energieeigenwert E k = E k 1 + E k 2 +…+ E k N ]] <![CDATA[

{E_k} = {E_{{k_1}}} + {E_{{k_2}}} + \ldots + {E_{{k_N}}}

des Gesamtsystems die folgenden Eigenfunktionen x k ( i )= φ k 1 ( i 1 ) φ k 2 ( i 2 )… φ k N ( i N ) ]] <![CDATA[

{x_k}\left( i \right) = {\varphi _{{k_1}}}\left( {{i_1}} \right){\varphi _{{k_2}}}\left( {{i_2}} \right) \ldots {\varphi _{{k_N}}}\left( {{i_N}} \right)

des Gesamtsystems, wo i 1, i 2,..., i N eine Permutation (i) der Zahlen 1, 2,..., N bedeutet. Die Anzahl der voneinander linear unabhängigen Eigenfunktionen x k (i) beträgt, falls die Einteilcheneigenfunktionen φ k i ]] <![CDATA[

{\varphi _{{k_i}}}

alle voneinander verschieden sind, N!; falls sich unter den φ k i ]] <![CDATA[

{\varphi _{{k_i}}}

auch gleiche befinden, so wird ihre Anzahl reduziert, denn es sind dann diejenigen Permutationen, welche nur die Argumente gleicher φ k i ]] <![CDATA[

{\varphi _{{k_i}}}

vertauschen, unwirksam und daher auszuschließen.

{\Psi _s} = {\psi _a}(1) \cdot {\psi _b}(2) \cdot \ldots \cdot {\psi _w}(N)