Se construyen las componentes de la conexión y las componentes de la curvatura de un haz fibrado principal asociado a un modelo de computación cuántica geométrica de qubit proveniente de la óptica cuántica.
El artículo espera satisfacer los siguientes objetivos: (i) Conceptualizar parcialmente la teoría de la mecánica cuántica para sistemas descritos por operadores dinámicos con espectro continuo; (ii) Señalar a grandes rasgos la relación que existe, entre los formalismos físico-matématicos, de dos modelos de computación cuánticos, un modelo discreto y otro modelo continuo; (iii) Resaltar de un lado, el hecho de que la comnputación cuántica discreta se formaliza en torno a la noción de "qubit", el qubit es un vector que pertenece a un espacio de Hilbert, el otro lado, la computación ccuántica continua se formaliza en torno a la noción de "qunat", el qunat no es un elemento de un espacio hilbert.
Esta tesis se enmarca en el área de la computación e información cuántica y se centra en el paradigma de la computación cuántica basada en compuertas. El resultado principal es la presentación de un nuevo modelo de computación cuántica discreta basado en solo dos compuertas. Lo más novedoso y atractivo de este modelo es su simplicidad. Los coeficientes de los estados generados por estas compuertas son números complejos con coeficientes enteros, excepto un factor de 2^(p/2). Esta característica permite una refinación acumulativa de los estados, según el parámetro p, y lo distingue de otros enfoques de computación cuántica. A pesar de su aparente simplicidad, el modelo posee características fundamentales que hacen posible la generación de estados con superposición y entrelazamiento, dos conceptos esenciales en la computación cuántica. Además, se demuestra que el modelo presentado es un aproximador universal de cualquier compuerta cuántica. Se proporcionan caracterizaciones de las compuertas que se pueden obtener a partir del modelo, permitiendo identificar de manera inequívoca una compuerta discreta de otra que debe ser aproximada. Para un sistema de dos qubits, se presenta una forma de descomponer toda compuerta discreta como producto de compuertas del modelo más simples y con menor grado de refinamiento. También se exploran las propiedades matemáticas subyacentes de estos estados, buscando determinar las propiedades geométricas que presentan. Se demuestra que, para el espacio de dos qubits, es posible completar una base de vectores propios utilizando un conjunto ortonormal de vectores pertenecientes al modelo discreto, lo cual es un resultado sumamente relevante. Además, se ha analizado en profundidad la aplicabilidad del modelo y su relación con protocolos importantes de información cuántica, como el protocolo de teleportación y el código superdenso. Es relevante destacar que varios de los estados que se consideran de máximo entrelazamiento en diferentes sentidos son estados discretos, lo que permite el desarrollo completo de protocolos de información cuántica dentro del marco de este modelo. Asimismo, se ha estudiado la relación entre los algoritmos cuánticos y el modelo discreto. Algunos algoritmos pueden implementarse completamente en el modelo, mientras que otros requieren aproximaciones. Sin embargo, esto no ha impedido que importantes algoritmos, como el algoritmo de búsqueda de Grover, se puedan ejecutar exactamente utilizando las compuertas del modelo, proporcionando valiosas conclusiones sobre ambos. El modelo de computación cuántica discreta con coeficientes enteros es una propuesta innovadora y sólida que abre nuevas perspectivas en el campo de la computación cuántica. Sus características únicas y su potencial para la implementación de algoritmos importantes lo convierten en un área de investigación prometedora para futuros avances en la ciencia y la tecnología cuánticas. ABSTRACT This thesis is framed in quantum computation and information and focuses on the paradigm of quantum computing based on gates. The main result is the presentation of a new model of discrete quantum computation based on only two gates. The most novel and attractive feature of this model is its simplicity. The coefficients of the states generated by these gates are complex numbers with integer coefficients, except for a factor of 2p. This feature allows for a cumulative refinement of the states, depending on the parameter p, and distinguishes it from other quantum computing approaches. Despite its apparent simplicity, the model possesses fundamental features that make possible the generation of states with superposition and entanglement, two essential concepts in quantum computing. Furthermore, it is shown that the model presented is a universal approximator of any quantum gate. Characterization of the gates that can be obtained from the model are provided, allowing one discrete gate to be unambiguously identified from another to be approximated. For a two-qubit system, a way of decomposing any discrete gate as a product of simpler, less refined model gates is presented. The underlying mathematical properties of these states are also explored, seeking to determine the geometrical properties they exhibit. It is shown that, for the two-qubit space, it is possible to complete an eigenvector basis using an orthonormal set of vectors belonging to the discrete model, which is a highly relevant result. In addition, the applicability of the model and its relation to important quantum information protocols, such as the teleportation protocol and the superdense code, have been analyzed in depth. It is relevant to note that several of the states that are maximally entangled in different directions are discrete states, which allows the complete development of quantum information protocols within the framework of this model. The relationship between quantum algorithms and the discrete model has also been studied. Some algorithms can be fully implemented in the model, while others require approximations. However, this has not prevented important algorithms, such as Grover's search algorithm, from being accurately executed using the gates of the model, providing valuable insights into both. The discrete quantum computing model with integer coefficients is an innovative and robust approach that opens new perspectives in the field of quantum computing. Its unique features and its potential for the implementation of important algorithms make it a promising area of research for future advances in quantum science and technology.
Hacemos una breve reseña de los orígenes de la computación cuántica e introducimos la noción de "qubit". Mencionamos algunos problemas relativos a la construcción de computadoras cuánticas y remarcamos que un problemas esencial es el de decoherencia. El enfoque geométrico para resolver ese problema se basa en variar los ángulos de inclinación de campos magnéticos aplicados sobre fotones que codifican qubits. Hemos querido hacer aquí un recuento de tipo histórico sobre el cómputo cuántico y por tanto las referencias remiten a documentos primarios en la literatura especializada.
La principal dificultad para construir un ordenador cuantico funcional reside en que, al juntar un numero cada vez mayor de particulas, estas pierden sus propiedades cuanticas.
La computacion cuantica modular intenta vincular multiples ordenadores cuanticos pequenos mediante conexiones minimas que no arruinen su comportamiento cuantico.
Varias estrategias basadas en distintos tipos de qubits han demostrado resultar exitosas a pequena escala. Tal vez pronto logren extenderse para formar sistemas mayores.
Las fases geometricas son tema de investigacion actual en diversas areas de la fisica.
Interesa investigarlas tanto por razones de caracter teorico, cuanto por razones ligadas a sus aplicaciones. Entre estas ultimas resaltan las aplicaciones en informacion cuantica. Un computador cuantico esta basado en la posibilidad de generar, almacenar y manipular bits de informacion codificados en los grados de libertad de sistemas cuanticos. Estos son llamados qubits. Los qubits son superposiciones coherentes de dos estados fundamentales. Mientras su contraparte clasica puede valer 0 o 1 excluyentemente, el qubit puede tomar ambos valores 0 y 1 simultaneamente. Esto hace posible procesar informacion con mucha mayor rapidez en comparacion a una computadora clasica. El problema central con los qubits es que son sumamente fragiles, de modo que su tiempo de vida media es muy pequeno. El fenomeno que lleva a un estado de superposicion hacia un estado clasico se llama decoherencia. Para que un computador cuantico sea viable, es necesario contar con qubits cuya vida media sea mayor que el tiempo que toma realizar operaciones sobre ellos (computacion). Una ruta muy promisoria es la que se basa en las fases geometricas. Ellas permiten realizar operaciones que, de un lado, pueden ser muy rapidas y, de otro lado, pueden ser inmunes o muy robustas frente a la decoherencia. Para implementar
computacion cuantica geometrica, es entonces necesario ser capaz de manipular
fases geometricas con gran versatilidad. Contribuyendo a este in, esta tesis presenta
nuevos resultados en la manipulacion de fases geometricas que aparecen cuando el qubit esta codificado en fotones polarizados. Esta tesis contiene dos partes principales. En la primera parte hacemos un intento preliminar en manipular fases en estados de polarizacion. Especificamente, tratamos a la fase de Pancharatnam (fase total) que resulta de evoluciones unitarias arbitrarias. Discutimos los aspectos teoricos involucrados y mostramos en detalle como hacer que un estado de polarizacion siga cualquier curva sobre la esfera de Poincare. Luego presentamos los metodos utilizados para llevar a cabo las mediciones de la fase total acumulada a lo largo de la evolucion del estado. En la segunda parte de esta tesis, extendemos nuestros metodos y desarrollamos tecnicas para suprimir localmente las fases dinamicas que puedan aparecer durante la evolucion del estado de polarizacion. Esto nos permite observar y medir fases geometricas. Usando metodos similares a los discutidos en la primera parte, mostramos finalmente que las fases geometricas observadas experimentalmente coinciden con las predicciones teoricas con buena aproximacion.
Working paper que explora la conexión estructural entre el Álgebra Geométrica (álgebras de Clifford), la representación clásica de rotaciones en SO(3) y el formalismo operacional de la computación cuántica de un qubit. Se demuestra que los cuaterniones unitarios, las matrices de Pauli y los operadores unitarios sobre un qubit son representaciones distintas del mismo objeto algebraico: el rotor de G⁺(R³). Todas las afirmaciones algebraicas están respaldadas por verificaciones computacionales reproducibles incluidas en el documento. Este es un borrador abierto. El autor agradece cualquier señalamiento de errores, imprecisiones matemáticas, referencias faltantes o sugerencias de extensión. Para contribuir: roald.varon24@gmail.com o mediante los comentarios de Zenodo. Formato corregido de la Version 2. Version Final.