(English) Quantum computers use the laws of quantum mechanics to do complex operations that classical computers can't solve. Quantum computers and other physical quantum systems require quantum information to be completely isolated from the environment in order to be perfectly functional. Quantum systems that are not completely isolated suffer from decoherence noise and may suffer from errors. Implementing these systems is a huge challenge and development of suboptimal systems with a low error rate seems to be the best way forward to building these systems. In quantum communications, designing codes that are able to reduce or protect against errors is a necessity. This work focuses on perfect and quasi-perfect quantum codes, which are a family of codes that exists in the classical setting and are optimum in terms of minimizing the error probability for a given number of channel uses. In the first part of the work we generalize the definition of quasi-perfect codes to include both classical codes and quantum codes. We also provide an example of a quantum quasi-perfect code for 2-qubits classical-quantum channels that make use of quantum entanglement and that can be extrapolated to an N-dimensional classical-quantum channel. The second part of this work focuses on quasi-perfect codes in optical communications, where coherent states are used to convey information through an optical channel, known as the Bosonic channel. The Bosonic channel has infinite dimension, so instead we consider a finite-dimensional approximation of the Bosonic channel with a negligible approximation error for a sufficiently large channel dimension. We show that phase-modulated coherent states constitute a codebook that is quasi-perfect for the approximated channel, and thus are close to optimal for the Bosonic channel. The last part of the work focuses on stabilizer error correction codes, which are practical codes that use redundancy to protect against errors. Error correction is not specifically used to transmit classical information, but to protect quantum information instead. However, it is possible that we require to obtain classical information from a quantum state after performing error correction. For these particular cases we may be able to prove that an error correction code is quasi-perfect and thus optimum. (Català) Els ordinadors quàntics fan servir les lleis de la mecànica quàntica per a realitzar operacions complexes que els ordinadors clàssics no poden resoldre. Els ordinadors quàntics i els altres sistemes quàntics requereixen que la informació quàntica estigui completament aïllada de l'entorn per tal de ser perfectament funcionals. Els sistemes quàntics que no estan completament aïllats són afectats per soroll de decoherència i poden patir errors. Implementar aquests sistemes és un gran repte i l'única manera de construir sistemes quàntics és desenvolupar sistemes subòptims amb una taxa d'error baixa. En comunicacions quàntiques, dissenyar codis capaços de reduir o protegir contra errors és una necessitat. Aquest treball es centra en codis quàntics perfectes i quasi-perfectes que ja existeixen en sistemes clàssics i que són òptims en termes de minimitzar la probabilitat d'error per un determinat nombre d'usos del canal. A la primera part del treball generalitzem la definició de codis quasi-perfectes per incloure codis clàssics i codis quàntics. També proveïm un exemple de codi quàntic quasi-perfecte per a canals clàssic-quàntics de 2-qubits que fa servir entrellaçat quàntic i que pot extrapolar-se a un canal de dimensió N. La segona part d'aquest treball es centra en codis quasi-perfectes en comunicacions òptiques, on estats coherents es fan servir per a transmetre informació a través d'un canal òptic, conegut com a canal Bosònic. El canal Bosònic té dimensió infinita, per això considerem en canvi una aproximació del canal Bosònic de dimensió finita, amb un error d'aproximació negligible amb una dimensió de canal suficientment gran. Demostrem que una modulació de fase dels estats coherents constitueix un codi quasi-perfecte pel canal aproximat, i per tant és pràcticament òptim per al canal Bosònic. L'última part del treball es centra en codis estabilitzadors de correcció d'errors, que són codis pràctics que fan servir redundància per a protegir contra errors. La correcció d'errors no es fa servir específicament per a transmetre informació clàssica, sinó per a protegir la informació quàntica. Tot i això, és possible que requerim obtenir informació clàssica d'un estat quàntic després de fer servir correcció d'errors. Per a aquests casos, pot ser possible demostrar que un codi de correcció d'errors és quasi-perfecte i per tant òptim. (Español) Los ordenadores cuánticos hacen uso de las leyes de la mecánica cuántica para realizar operaciones complejas que los ordenadores clásicos no pueden resolver. Los ordenadores cuánticos y otros sistemas cuánticos requieren que la información cuántica esté completamente aislada del entorno para poder ser perfectamente funcionales. Los sistemas cuánticos que no están completamente aislados son afectados por ruido de decoherencia y pueden sufrir errores. Implementar estos sistemas es un gran reto y la única manera de construir sistemas cuánticos es desarrollar sistemas subóptimos con una tasa de error baja. En comunicaciones cuánticas, diseñar códigos capaces de reducir o proteger contra errores es una necesidad. Este trabajo se centra en códigos cuánticos perfectos y quasi-perfectos que ya existen en sistemas clásicos y que son óptimos en términos de minimizar la probabilidad de error para un determinado número de usos del canal. En la primera parte del trabajo generalizamos la definición de códigos quasi-perfectos para incluir códigos clásicos y códigos cuánticos. También proveemos un ejemplo de código cuántico quasi-perfecto para canales clásico-cuánticos de 2-qubits que usa entrelazado cuántico y que puede extrapolarse a un canal de dimensión N. La segunda parte de este trabajo se centra en códigos quasi-perfectos en comunicaciones ópticas, donde se usan estados coherentes para transmitir información a través de un canal óptico, conocido como canal Bosónico. El canal Bosónico tiene dimensión infinita, por eso consideramos en cambio una aproximación del canal Bosónico de dimensión finita, con un error de aproximación negligible con una dimensión del canal suficientemente grande. Demostramos que una modulación de fase de los estados coherentes constituye un código quasi-perfecto para el canal aproximado y, por lo tanto es prácticamente óptimo para el canal Bosónico. La última parte del trabajo se centra en códigos estabilizadores de corrección de errores, que son códigos prácticos que usan redundancia para proteger contra errores. La corrección de errores no se usa específicamente para transmitir información clásica, sino para proteger la información cuántica. Aún así, es posible que requiramos obtener información clásica de un estado cuántico después de usar corrección de errores. Para estos casos, puede ser posible demostrar que un código de corrección de errores es quasi-perfecto y, por lo tanto, óptimo.
(English) Quantum computers use the laws of quantum mechanics to do complex operations that classical computers can't solve. Quantum computers and other physical quantum systems require quantum information to be completely isolated from the environment in order to be perfectly functional. Quantum systems that are not completely isolated suffer from decoherence noise and may suffer from errors. Implementing these systems is a huge challenge and development of suboptimal systems with a low error rate seems to be the best way forward to building these systems. In quantum communications, designing codes that are able to reduce or protect against errors is a necessity. This work focuses on perfect and quasi-perfect quantum codes, which are a family of codes that exists in the classical setting and are optimum in terms of minimizing the error probability for a given number of channel uses. In the first part of the work we generalize the definition of quasi-perfect codes to include both classical codes and quantum codes. We also provide an example of a quantum quasi-perfect code for 2-qubits classical-quantum channels that make use of quantum entanglement and that can be extrapolated to an N-dimensional classical-quantum channel. The second part of this work focuses on quasi-perfect codes in optical communications, where coherent states are used to convey information through an optical channel, known as the Bosonic channel. The Bosonic channel has infinite dimension, so instead we consider a finite-dimensional approximation of the Bosonic channel with a negligible approximation error for a sufficiently large channel dimension. We show that phase-modulated coherent states constitute a codebook that is quasi-perfect for the approximated channel, and thus are close to optimal for the Bosonic channel. The last part of the work focuses on stabilizer error correction codes, which are practical codes that use redundancy to protect against errors. Error correction is not specifically used to transmit classical information, but to protect quantum information instead. However, it is possible that we require to obtain classical information from a quantum state after performing error correction. For these particular cases we may be able to prove that an error correction code is quasi-perfect and thus optimum. (Català) Els ordinadors quàntics fan servir les lleis de la mecànica quàntica per a realitzar operacions complexes que els ordinadors clàssics no poden resoldre. Els ordinadors quàntics i els altres sistemes quàntics requereixen que la informació quàntica estigui completament aïllada de l'entorn per tal de ser perfectament funcionals. Els sistemes quàntics que no estan completament aïllats són afectats per soroll de decoherència i poden patir errors. Implementar aquests sistemes és un gran repte i l'única manera de construir sistemes quàntics és desenvolupar sistemes subòptims amb una taxa d'error baixa. En comunicacions quàntiques, dissenyar codis capaços de reduir o protegir contra errors és una necessitat. Aquest treball es centra en codis quàntics perfectes i quasi-perfectes que ja existeixen en sistemes clàssics i que són òptims en termes de minimitzar la probabilitat d'error per un determinat nombre d'usos del canal. A la primera part del treball generalitzem la definició de codis quasi-perfectes per incloure codis clàssics i codis quàntics. També proveïm un exemple de codi quàntic quasi-perfecte per a canals clàssic-quàntics de 2-qubits que fa servir entrellaçat quàntic i que pot extrapolar-se a un canal de dimensió N. La segona part d'aquest treball es centra en codis quasi-perfectes en comunicacions òptiques, on estats coherents es fan servir per a transmetre informació a través d'un canal òptic, conegut com a canal Bosònic. El canal Bosònic té dimensió infinita, per això considerem en canvi una aproximació del canal Bosònic de dimensió finita, amb un error d'aproximació negligible amb una dimensió de canal suficientment gran. Demostrem que una modulació de fase dels estats coherents constitueix un codi quasi-perfecte pel canal aproximat, i per tant és pràcticament òptim per al canal Bosònic. L'última part del treball es centra en codis estabilitzadors de correcció d'errors, que són codis pràctics que fan servir redundància per a protegir contra errors. La correcció d'errors no es fa servir específicament per a transmetre informació clàssica, sinó per a protegir la informació quàntica. Tot i això, és possible que requerim obtenir informació clàssica d'un estat quàntic després de fer servir correcció d'errors. Per a aquests casos, pot ser possible demostrar que un codi de correcció d'errors és quasi-perfecte i per tant òptim. (Español) Los ordenadores cuánticos hacen uso de las leyes de la mecánica cuántica para realizar operaciones complejas que los ordenadores clásicos no pueden resolver. Los ordenadores cuánticos y otros sistemas cuánticos requieren que la información cuántica esté completamente aislada del entorno para poder ser perfectamente funcionales. Los sistemas cuánticos que no están completamente aislados son afectados por ruido de decoherencia y pueden sufrir errores. Implementar estos sistemas es un gran reto y la única manera de construir sistemas cuánticos es desarrollar sistemas subóptimos con una tasa de error baja. En comunicaciones cuánticas, diseñar códigos capaces de reducir o proteger contra errores es una necesidad. Este trabajo se centra en códigos cuánticos perfectos y quasi-perfectos que ya existen en sistemas clásicos y que son óptimos en términos de minimizar la probabilidad de error para un determinado número de usos del canal. En la primera parte del trabajo generalizamos la definición de códigos quasi-perfectos para incluir códigos clásicos y códigos cuánticos. También proveemos un ejemplo de código cuántico quasi-perfecto para canales clásico-cuánticos de 2-qubits que usa entrelazado cuántico y que puede extrapolarse a un canal de dimensión N. La segunda parte de este trabajo se centra en códigos quasi-perfectos en comunicaciones ópticas, donde se usan estados coherentes para transmitir información a través de un canal óptico, conocido como canal Bosónico. El canal Bosónico tiene dimensión infinita, por eso consideramos en cambio una aproximación del canal Bosónico de dimensión finita, con un error de aproximación negligible con una dimensión del canal suficientemente grande. Demostramos que una modulación de fase de los estados coherentes constituye un código quasi-perfecto para el canal aproximado y, por lo tanto es prácticamente óptimo para el canal Bosónico. La última parte del trabajo se centra en códigos estabilizadores de corrección de errores, que son códigos prácticos que usan redundancia para proteger contra errores. La corrección de errores no se usa específicamente para transmitir información clásica, sino para proteger la información cuántica. Aún así, es posible que requiramos obtener información clásica de un estado cuántico después de usar corrección de errores. Para estos casos, puede ser posible demostrar que un código de corrección de errores es quasi-perfecto y, por lo tanto, óptimo.
(English) The main focus of this thesis are stabilizer codes, a type of error-correcting code used to correct quantum information that has been corrupted by noise. We introduce several new general constructions of stabilizer codes. In particular we use one of the constructions to construct quantum cyclic redundancy check codes, an error-correcting code which is used in classical information to correct burst errors. We show how to use a quantum version of such codes to correct burst errors on systems of quantum bits. We include a geometric description of stabilizer codes, extending previous constructions which work only for the qubit case to quantum systems in which the quantum particles have local dimension p, where p is any prime number. Finally, we reduce the problem of ascertaining when a generalised Reed-Solomon code is contained in its Hermitian dual and therefore can be used to construct a stabilizer code. This reduction allows us to determine the shortest and longest length of generalised Reed-Solomon codes which are contained in their Hermitian dual, verifying a conjecture of Grassl and Rotteler. (Català) El tema principal d'aquesta tesi són els codis estabilitzadors, un tipus de codi de correcció d'errors utilitzat per corregir la informació quàntica que ha estat corrompuda pel soroll. Introduïm diverses noves construccions generals de codis estabilitzadors. En particular, usem una d'aquestes construccions per definir codis CRC, un codi de correcció d'errors que s'usa en informació clàssica per corregir ràfegues d'errors. Mostrem com usar una versió quàntica d'aquests codis per corregir errors en ràfegues en sistemes de bits quàntics. Incloem una descripció geomètrica dels codis estabilitzadors, ampliant construccions prèvies que només funcionen per al cas de qubits a sistemes quàntics en què les partícules tenen dimensió local p, on p és qualsevol nombre primer. Finalment, reduïm el problema de determinar quan un codi de Reed-Solomon generalitzat està contingut en el seu dual hermític i, per tant, pot ser utilitzat per construir un codi estabilitzador. Aquesta reducció ens permet determinar la longitud més curta i més llarga dels codis de Reed-Solomon generalitzats que estan continguts en el seu dual hermític, verificant una conjectura de Grassl i Rötteler. (Español) El enfoque principal de esta tesis son los códigos estabilizadores, un tipo de código de corrección de errores utilizado para corregir la información cuántica que ha sido corrompida por el ruido. Introducimos varias nuevas construcciones generales de códigos estabilizadores. En particular, utilizamos una de estas construcciones para definir códigos de CRC cuánticos, un código de corrección de errores que se utiliza en información clásica para corregir errores en ráfaga. Mostramos cómo utilizar una versión cuántica de dichos códigos para corregir errores en ráfaga en sistemas de bits cuánticos. Incluimos una descripción geométrica de los códigos estabilizadores, ampliando construcciones previas que solo funcionan para el caso de qubits a sistemas cuánticos en los que las partículas cuánticas tienen dimensión local p, donde p es cualquier número primo. Finalmente, reducimos el problema de determinar cuándo un código de Reed-Solomon generalizado está contenido en su dual hermitiano y, por lo tanto, puede ser utilizado para construir un código estabilizador. Esta reducción nos permite determinar la longitud más corta y más larga de los códigos de Reed-Solomon generalizados que están contenidos en su dual hermitiano, verificando una conjetura de Grassl y Rötteler.
We define a new family of codes for symmetric classical-quantum channels and establish their optimality. To this end, we extend the classical notion of generalized perfect and quasi-perfect codes to channels defined over some finite dimensional complex Hilbert output space. The resulting optimality conditions depend on the channel considered and on an auxiliary state defined on the output space of the channel. For certainN-qubit classical-quantum channels, we show that codes based on a generalization of Bell states are quasi-perfect and, therefore, they feature the smallest error probability among all codes of the same blocklength and cardinality.
Quantum computing exists at the intersection of mathematics, physics, chemistry, and engineering; the main goal of quantum computing is the creation of devices and algorithms which use the properties of quantum mechanics to store, manipulate and measure information. There exist many families of algorithms, which, using non-classical logical operations, can outperform traditional, classical algorithms in terms of memory and processing requirements. In addition, quantum computing devices are fundamentally smaller than classical processors and memory elements; since the physical models governing their performance are applicable on all scales, as opposed to classical logic elements, whose underlying principles rely on the macroscopic nature of the device in question. \n \nQuantum algorithms, for the most part, are predicated on a theory of resources. It is often assumed that quantum computers can be placed in a precise fiducial state prior to computation, and that logical operations are perfect, inducing no error on the system which they affect. These assumptions greatly simplify algorithmic design, but are fundamentally unrealistic. In order to justify their use, it is necessary to develop a framework for using a large number of imperfect devices to simulate the action of a perfect device, with some acceptable probability of failure. This is the study of fault-tolerant quantum computing. In order to pursue this study effectively, it is necessary to understand the fundamental nature of generic quantum states and operations, as well as the means by which one can correct quantum errors. Additionally, it is important to attempt to minimize the use of computational resources in achieving error reduction and fault-tolerant computing. \n \nThis thesis is concerned with three projects related to the use of error-prone quantum systems to transmit and manipulate information. The first of these is concerned with the use of imperfectly-prepared states in error-correction routines. Using optimal quantum error correction, we are able to deduce a method of partially protecting encoded quantum information against preparation errors prior to encoding, using no additional qubits. The second of these projects details the search for entangled states which can be used to transmit classical information over quantum channels at a rate superior to classical states. The third of these projects concerns the transcoding of data from one quantum code into another using few ancillary resources. The descriptions of these projects are preceded by a brief introduction to representations of quantum states and channels, for completeness. \n \nThree techniques of general interest are presented in appendices. The first is an introduction to, and a minor advance in the development of optimal error correction codes. The second is a more efficient means of calculating the action of a quantum channel on a given state, given that the channel acts non-trivially only on a subsystem, rather than the entire system. Finally, we include documentation on a software package developed to aid the search for quantum transcoding operations.
Understand and tame complex quantum mechanical systems to build quantum technologies is one of the most important scientific endeavour nowadays. In this effort, Atomic, molecular and Optical systems have clearly played a major role in producing proofs of concept of several important applications. Notable examples are Quantum Simulators for difficult problems in other branches of physics i.e. spin systems, disordered systems, etc., and small sized Quantum Computers. In particular, ultracold atomic gases and trapped ion experiments are nowadays at the forefront in the field. This fantastic experimental effort needs to be accompanied by a matching theoretical and numerical one. The main two reasons are: 1) theoretical work is needed to identify suitable regimes where the AMO systems can be used as efficient quantum simulators of important problems in physics and mathematics, 2) thorough numerical work is needed to benchmark the results of the experiments in parameter regions where a solution to the problem can be found with classical devices. In this dissertation, we present several important examples of systems, which can be numerically solved. The technique used, which is common to all the work presented in the dissertation, is exact diagonalization. This technique works solely for systems of a small number of particles and/or a small number of available quantum states. Despite this limitation, one can study a large variety of quantum systems in relevant parameter regimes. A notable advantage is that it allows one to compute not only the ground state of the system but also most of the spectrum and, in some cases, to study dynamics. The dissertation is organized in the following way. First, we provide an introduction, outlining the importance of this technique for quantum simulation and quantum validation and certification. In Chapter 2, we detail the exact diagonalization technique and present an example of use for the phases of the 1D Bose-Hubbard chain. Then in Chapters 3 to 6, we present a number of important uses of exact diagonalization. In Chapter 3, we study the quantum Hall phases, which are found in two-component bosons subjected to artificial gauge fields. In Chapter 4, we turn into dynamical gauge fields, presenting the topological phases which appear in a bosonic system trapped in a small lattice. In Chapter 5, a very different problem is tackled, that of using an ultracold atomic gases to simulate a spin model. Quantum simulation is again the goal of Chapter 6, where we propose a way in which the number-partitioning problem can be solved by means of a quantum simulator made with trapped ions. Finally, in Chapter 7, we collect the main conclusions of the dissertation and provide a brief outlook. Entendre i controlar sistemes complexos regits per la mecànica quàntica per a construir tecnologies quàntiques es un dels reptes mes rellevants de la ciència en l’actualitat. Els sistemes atòmics, moleculars i òptics han jugat clarament un rol capital en aquest esforç, produint proves de concepte per a diverses aplicacions de consideració. Exemples notables en son els simuladors quàntics dissenyats per a resoldre problemes complicats d’altres branques de la física, com ara sistemes d’espins, sistemes desordenats, etc.... i ordinadors quàntics de dimensions reduïdes. En particular, els experiments amb gasos d’àtoms ultrafreds i amb trampes iòniques son la punta de llança del camp en l’actualitat. El fantàstic afany experimental ha d’anar associat amb d’altres teòric i numèric que el corresponguin. Les raons principals son: 1) els estudis teòrics son necessaris per tal d’identificar règims adients en que els sistemes AMO puguin esser emprats com a simuladors quàntics eficients de problemes rellevants de la Física i les Matemàtiques, 2) els treballs numèrics exhaustius son necessaris per a contrastar els resultats dels experiments en regions de paràmetres en que els dispositius clàssics son capaços de trobar solucions. En aquesta tesi, presentem diversos exemples de sistemes rellevants que poden esser resolts numèricament. La tècnica emprada -que es comuna per a tot el treball- es la diagonalització exacta. L’ús d’aquesta tècnica es limitat a sistemes amb nombres baixos partícules i/o pocs estats quàntics accessibles. Malgrat aquesta limitació, es poden estudiar una gran varietat de sistemes quàntics en els règims rellevants dels paràmetres de control. Un avantatge notable es el fet que permet calcular no nomes l’estat de mínima energia del sistema, sinó que també la majoria de l’espectre i, en alguns casos, àdhuc estudiar-ne la dinàmica. La tesi s’organitza tal i com prossegueix. En primer lloc, proveïm una introducció, subratllant la importància d’aquesta tècnica per a la simulació quàntica i la validació quàntica i certificació. En el capítol 2, detallem la tècnica de la diagonalització exacta i presentem un exemple del seu us per a les fases per a una cadena de Bose-Hubbard unidimensional. En els capítols del 3 al 6, presentem alguns usos rellevants de la diagonalització exacta. En el capítol 3, estudiem les fases degudes a l’efecte Hall quàntic en un sistema de dues components de bosons sotmesos a camps de gauge artificials. En el capítol 4, canviem a camps de gauge dinàmics, presentant les fases topològiques que apareixen en un sistema de bosons atrapats en una petita xarxa reticular. En el capítol 5, s’hi tracta un problema ben diferent, el d’emprar gasos d’àtoms ultrafreds per a per a simular un model d’espín. La simulació quàntica es de nou l’objectiu del capítol 6, en que proposem una forma en que el problema de la partició de nombres pot esser resolt per mitja d’un simulador quàntic construït amb trampes iòniques. Finalment, en el capítol 7, recollim les conclusions principals del treball i donem una breu opinió del futur d’aquesta investigació. Entender y controlar sistemas complejos regidos por la mecánica cuántica para construir tecnologías cuánticas es una de los retos científicos más relevantes en la actualidad. Los sistemas atómicos, moleculares y ópticos han jugado claramente un rol capital en este esfuerzo, produciendo pruebas de concepto para diversas aplicaciones de consideración. Notables ejemplos son los simuladores cuánticos diseñados para resolver problemas complicados de otras ramas de la física, como lo son los sistemas de espines, sistemas desordenados, etc.. . . i los ordenadores cuánticos de dimensiones reducidas. En particular, los experimentos con gases de átomos ultrafríos y con trampas iónicas son la punta de lanza del campo en la actualidad. El fantástico empeño experimental tiene que ir asociado a otros teórico y numérico que le correspondan. Las principales razones son: 1) los estudios teóricos son necesarios para identificar regímenes adecuados en que los sistemas AMO puedan ser usados cómo simuladores cuánticos eficientes para problemas relevantes de la Física y las Matemáticas, 2) los trabajos numéricos exhaustivos son necesarios para contrastar los resultados de los experimentos en regiones de parámetros en que los dispositivos clásicos sean capaces de encontrar soluciones. En esta tesis, presentamos diferentes ejemplos de sistemas relevantes que pueden ser resueltos numéricamente. La técnica usada –que es común en todo el trabajo– es la diagonalización exacta. El uso de ésta técnica está restringido a sistemas con números bajos de partículas i/o estados cuánticos accesibles. A pesar de esta limitación, se puede estudiar gran variedad de sistemas cuánticos en los regímenes relevantes de los parámetros de control. Una ventaja notable es que permite calcular no sólo el estado de mínima energía del sistema, sino que también la mayoría del espectro e, en algunos casos, incluso estudiar la dinámica. La tesis se organiza como sigue. En primer lugar, ofrecemos una introducción, subrayando la importancia de esta técnica para la simulación cuántica y la validación cuántica y certificación. En el capítulo 2, detallamos la técnica de la diagonalización exacta y presentamos un ejemplo de su uso para una cadena de Bose-Hubbard unidimensional. En los capítulos del 3 al 6, presentamos algunos usos relevantes de la diagonalización exacta. En el capítulo 3, estudiamos las fases debidas al efecto Hall cuántico en un sistema de dos componentes de bosones sometidos a campos de gauge artificiales. En el capítulo 4, cambiamos hacia campos gauge dinámicos, presentando las fases topológicas que aparecen en un sistema de bosones atrapados en una pequeña malla reticular. En el capítulo 5, se trata un problema bien diferente, el de usar gases de átomos ultrafríos para simular un modelo de espín. La simulación cuántica es de nuevo el objetivo del capítulo 6, en que proponemos una forma en que el problema de la partición de números puede ser resuelta mediante un simulador cuántico construido con trampas iónicas. Finalmente, en el capítulo 7, recogemos las conclusiones principales de los trabajos y damos una breve opinión del futuro de ésta investigación
Quantum information is prone to suffer from errors caused by the so-called decoherence, which describes the loss in coherence of quantum states associated to their interactions with the surrounding environment. This decoherence phenomenon is present in every quantum information task, be it transmission, processing or even storage of quantum information. Consequently, the protection of quantum information via quantum error correction codes (QECC) is of paramount importance to construct fully operational quantum computers. Understanding environmental decoherence processes and the way they are modeled is fundamental in order to construct effective error correction methods capable of protecting quantum information. Moreover, quantum channel models that are efficiently implementable and manageable on classical computers are required in order to design and simulate such error correction schemes. In this article, we present a survey of decoherence models, reviewing the manner in which these models can be approximated into quantum Pauli channel models, which can be efficiently implemented on classical computers. We also explain how certain families of quantum error correction codes can be entirely simulated in the classical domain, without the explicit need of a quantum computer. A quantum error correction code for the approximated channel is also a correctable code for the original channel, and its performance can be obtained by Monte Carlo simulations on a classical computer.
El control es una rama interdisciplinar entre la ingeniería y las matemáticas, cuyo objetivo es la manipulación activa del comportamiento de cualquier sistema dinámico. Actualmente, con el desarrollo de nuevas tecnologías basadas en dispositivos cuyas leyes vienen dictadas por la mecánica cuántica, el desarrollo de técnicas de control aplicadas a estos sistemas se ha convertido en una prioridad para el desarrollo tecnológico actual. \nEl principal problema radica en que algunas cualidades de la mecánica cuántica no permiten pasar fácilmente el esquema del control clásico al ámbito cuántico. Clásicamente, es posible adquirir toda la información necesaria y emplearla de manera eficiente para retroalimentar el sistema y especializar la acción de control al estado actual. Por el contrario, en un sistema cuántico no toda la información es asequible mediante una medición y, además, todo intento de medir el sistema lo perturba de manera notable. Técnicamente, las ecuaciones dinámicas en un proceso tal son ecuaciones diferenciales estocásticas (SDE1) no lineales en lugar de las ecuaciones diferenciales deterministas de los sistemas clásicos. \nEl dominio de las tecnologías cuánticas se divide en cuatro campos destacables [1]: Sensores cuánticos, donde la alta sensibilidad de los sistemas cuánticos a las perturbaciones se aprovecha para mejorar la precisión de las medidas de magnitudes físicas; Comunicación cuántica, donde los fotones se usan para transmitir datos e información de una manera segura; Simulación cuántica, donde un sistema cuántico controlado puede simular el comportamiento de otro sistema cuántico menos accesible; y Computación cuántica, donde mediante los fenómenos cuánticos se puede conseguir una disminución drástica del tiempo de computación en cálculos numéricos. \nSabiendo los campos de actuación de estas tecnologías y mirando al futuro, del mismo modo que el transistor supone actualmente un elemento imprescindible en la industria, parece difícil no creer que las tecnologías cuánticas supondrán una revolución en sectores como la industria aeroespacial, automotriz o manufacturera, así como en salud, agricultura o finanzas. \nEl desarrollo de las tecnologías cuánticas ha conseguido captar mucha atención en las últimas décadas. Como aparece explicado en [1], parte de este impulso se debe al “Quantum Manifesto”, un documento generado en 2016 por la comunidad científica donde se realiza un llamamiento a gobiernos e industrias para apoyar esta tecnología. El interés generado por este documento fue respondido por la Comisión Europa mediante un proyecto de 10 años de duración (Flagship) y con una inversión de más de un billón de euros iniciales, aumentando en volumen cada año que pasa. Por otro lado, potencias mundiales como China, Rusia, Australia, Estados Unidos o Canadá son actualmente líderes en el desarrollo de tecnologías cuánticas. A nivel empresarial, compañías como Intel, HP, Toshiba y Microsoft, con IMB y Google a la cabeza, apuestan por la investigación en los campos de las tecnologías cuánticas como la computación y la comunicación cuánticas. \nCon este trabajo se pretende desarrollar un proyecto de investigación enfocado a la simulación numérica de la dinámica y control de un Qubit (bit cuántico): la nueva unidad de información elemental de la teoría de la información cuántica. A diferencia de un bit clásico que solo presenta dos estados posibles, un bit cuántico puede presentar ambos estados al mismo tiempo, es decir, el estado de un Qubit es una combinación lineal de los estados elementales de un bit clásico. \nEsta característica es la que define el potencial de los Qubits como nueva tecnología. Por este mismo motivo, el Qubit, como su propio nombre indica, es un sistema cuántico, estando sometido y regido por las leyes de estos. \nEn el primer capítulo del trabajo, se realizará una breve introducción a las tecnologías cuánticas, ilustrando el formalismo cuántico a través de la computación cuántica. En esta sección, se estudiará el Qubit, sus estados y las operaciones a las que son sometidos. En el segundo capítulo, se introducirá el modelo de control empleado para sistemas cuánticos en general, concretando para la dinámica y control de un Qubit. En el siguiente capítulo, analizaremos los resultados obtenidos a través de las diferentes simulaciones llevadas a cabo mediante métodos numéricos. En este punto, comprobaremos qué tan bueno es el control propuesto en la bibliografía para un Qubit y si es robusto ante diferentes situaciones. Se cerrará el proyecto con un capítulo dedicado a las conclusiones extraídas y los posibles trabajos de interés que se pueden realizar en un futuro.