Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Log inSign up
Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Blog
Job Board
Q3AS

© 2026 Aqora Quantum S.A.S.

TermsPrivacyLegal Notice

Cambridge University Press eBooks

MPS Solution of QTMRG

Tao Xiang

Published Aug 31, 2023• 0 citations
Publisher

Abstract

This chapter reformulates QTMRG using the language of MPS and introduces the concept of bicanonical MPS and the method of biorthogonalization. The fixed-point equations for determining the local tensors of MPS in a translation-invariant system of one or more than one site in a unit cell are derived. The steps for solving these equations in the scheme of biorthonormalization are discussed.

DOI
10.1017/9781009398671.018

Related papers

Determination of MPS

Tao Xiang

This chapter introduces two commonly used methods of determining the local tensors of an MPS. The first is the variational optimization method, which determines an MPS by minimizing the energy expectation value. This method is equivalent to solving a generalized eigenequation around the extreme point of the ground-state energy. The second is an update method based on an imaginary time evolution, which cools down a quantum state from finite to zero temperature. We discuss three update approaches: update via canonicalization, full update, and simple update. For an MPS, the canonicalization approach is accurate and easy to implement. However, the full and simple update can be generalized to higher dimensions and applied to, for example, PEPS. The full update is a global minimization approach. It is accurate but has a higher computational cost than the simple update. The simple update is a local optimization approach based on an entanglement mean-field approximation and is easy to implement. Finally, we discuss the purification technique and apply it to evaluate the thermal density matrix or solve a quenched disorder problem in the framework of MPS.

Cambridge University Press eBooks•Aug 31, 2023•0 citations

Infinite Matrix Product States

Tao Xiang

This chapter discusses the properties of infinite MPS and their associated transfer matrices. The formulas for determining the expectation values of physical observables are derived and expressed using the leading eigenvectors of the transfer matrix. The concept of the string order parameter is introduced and exemplified with the AKLT state, followed by a statement on the condition for the existence of string order. Furthermore, the procedure of canonicalizing an infinite MPS with one or more than one site in a unit cell is discussed.

Cambridge University Press eBooks•Aug 31, 2023•0 citations

Parent Hamiltonians of Ergodic Matrix Product States

Owen Ekblad, Eloy Moreno-Nadales, Eric B. Roon +1 more

Matrix product states (MPS) are quintessential examples of frustration-free gapped ground states of local interactions called parent Hamiltonians. In this work, we investigate parent Hamiltonians for a class of ergodic matrix product states (EMPS), which are MPS defined by site-dependent random tensors $\{X_j^{[k]}\}_{j=1}^D$ which are homogeneously distributed at every site $k$ in the spin chain. Here, the EMPS are not translation-invariant but rather statistically translation-invariant. Under a mild injectivity assumption, we show the thermodynamic limit of an EMPS is the unique frustration-free ground state of a parent Hamiltonian on the whole spin chain, which, depending on the statistical properties of the EMPS, may or may not be finite-range. In contrast to the translation-invariant regime, these Hamiltonians need not be gapped. Nevertheless, applying the martingale method while keeping track of local statistics gives conditions for a gap, in addition to pointing towards why there need not be a gap in general. We include examples of EMPS both with and without spectral gaps to illustrate our results.

math-phCross-listedarXiv:2607.01446•Jul 3, 2026•0 citations

Tensor renormalization group approach to renormalization of lattice models

Nikolay Ebel

L'approche du groupe de renormalisation tensoriel à la renormalisation des modèles sur réseau Le groupe de renormalisation tensoriel, initialement concu comme un outil numerique, emerge comme un cadre analytique rigoureux pour l'etude des modeles sur reseau en physique statistique. Cette these contribue a cette ligne de recherche en introduisant une serie de nouvelles techniques qui ameliorent le controle a la fois numerique et analytique sur les transformations RG. Premierement, nous developpons une methode pour trouver les points fixes des transformations RG en utilisant la methode de Newton. Cela necessite de surmonter le defi des deformations marginales qui rendent le point fixe non isole et donc inaccessible a la methode de Newton. Nous relevons ce defi en incluant une rotation dans la transformation RG, qui inverse le signe des valeurs propres marginales problematiques et isole un point fixe unique de la famille de points fixes auparavant continue. Cela nous permet de trouver des tenseurs de point fixe avec une precision sans precedent. Nous demontrons la puissance de cette technique via des calculs explicites pour les modeles d'Ising 2D et de Potts a 3 etats dans le regime critique. En utilisant l'algorithme Gilt-TNR avec une dimension de lien de 30, nous trouvons les tenseurs de point fixe critique avec une precision de 1e-9, significativement superieure a ce qui avait ete accompli auparavant. Deuxiemement, nous etudions la sensibilite des donnees CFT obtenues a partir du tenseur de point fixe a la precision du point fixe. Pour deux methodes d'extraction des donnees CFT - la matrice de transfert et la methode de l'operateur de dilatation sur reseau - nous trouvons que l'erreur dans les dimensions d'echelle des operateurs de basse energie est notablement reduite lorsque le point fixe est trouve avec une plus grande precision. L'operateur de dilatation sur reseau montre une sensibilite legerement plus grande dans cette etude.Troisiemement, nous introduisons une nouvelle transformation de renormalisation sans troncature - la transformation 2x1 - ainsi qu'une nouvelle approche pour suivre les flots RG dans des espaces de dimension infinie, que nous appelons tenseurs-chapeaux. Le principal avantage de la transformation 2x1 est sa simplicite : elle peut etre exprimee a l'aide d'un nombre relativement restreint de diagrammes. L'approche des tenseurs-chapeaux consiste a definir une boite englobante de dimension finie pour chaque tenseur et a promouvoir une transformation RG en une fonction maitresse qui regit le flot RG des boites englobantes en suivant des regles de promotion simples. En iterant la fonction maitresse numeriquement, nous etablissons la convergence vers le point fixe a haute temperature pour les tenseurs se trouvant dans un voisinage quantifiable, une amelioration substantielle par rapport aux resultats anterieurs sur la stabilite a haute temperature. Notre theoreme principal montre que les tenseurs avec des ecarts bornes par 0.02 dans 63 secteurs orthogonaux convergent vers le point fixe. Nous appliquons egalement la methode a des modeles specifiques - les modeles d'Ising 2D et XY - en obtenant des bornes explicites sur leur phase a haute temperature.Enfin, nous faisons un pas vers un RG tensoriel rigoureux dans des dimensions superieures. Nous presentons une nouvelle transformation RG sans troncature pour les reseaux de tenseurs 3D dans un voisinage du point fixe a haute temperature, dont les iterations convergent de maniere prouvable vers celui-ci. Notamment, la construction fournit une version rigoureuse de l'algorithme Loop-TNR, s'ecartant des constructions 2D anterieures qui s'inspiraient de l'algorithme TNR. Cela represente une avancee significative, car les techniques anterieures ne se generalisent pas a la 3D.

•Jul 17, 2026•0 citations

Continuous Matrix Product States

Tao Xiang

This chapter constructs the MPS representation of a quantum state in the continuous limit. It starts with an MPS representation for the corresponding state in a discretized lattice system. Then the limit of the discretized lattice constant going to zero is taken to obtain its continuous presentation. The formulas for determining the expectation values are also derived. Finally, we discuss the scheme of canonicalization and the method for optimizing the local tensors of the continuous MPS.

Cambridge University Press eBooks•Aug 31, 2023•0 citations

Transfer tensor method applied to translation invariant models

G. Sobotta

Physica A Statistical Mechanics and its Applications•Mar 1, 1985•6 citations
This chapter reformulates QTMRG using the language of MPS and introduces the concept of bicanonical MPS and the method of biorthogonalization. The fixed-point equations for determining the local tensors of MPS in a translation-invariant system of one or more than one site in a unit cell are derived. The steps for solving these equations in the scheme of biorthonormalization are discussed.
This chapter introduces two commonly used methods of determining the local tensors of an MPS. The first is the variational optimization method, which determines an MPS by minimizing the energy expectation value. This method is equivalent to solving a generalized eigenequation around the extreme point of the ground-state energy. The second is an update method based on an imaginary time evolution, which cools down a quantum state from finite to zero temperature. We discuss three update approaches: update via canonicalization, full update, and simple update. For an MPS, the canonicalization approach is accurate and easy to implement. However, the full and simple update can be generalized to higher dimensions and applied to, for example, PEPS. The full update is a global minimization approach. It is accurate but has a higher computational cost than the simple update. The simple update is a local optimization approach based on an entanglement mean-field approximation and is easy to implement. Finally, we discuss the purification technique and apply it to evaluate the thermal density matrix or solve a quenched disorder problem in the framework of MPS.
This chapter discusses the properties of infinite MPS and their associated transfer matrices. The formulas for determining the expectation values of physical observables are derived and expressed using the leading eigenvectors of the transfer matrix. The concept of the string order parameter is introduced and exemplified with the AKLT state, followed by a statement on the condition for the existence of string order. Furthermore, the procedure of canonicalizing an infinite MPS with one or more than one site in a unit cell is discussed.
Matrix product states (MPS) are quintessential examples of frustration-free gapped ground states of local interactions called parent Hamiltonians. In this work, we investigate parent Hamiltonians for a class of ergodic matrix product states (EMPS), which are MPS defined by site-dependent random tensors {Xj[k]}j=1D\{X_j^{[k]}\}_{j=1}^D{Xj[k]​}j=1D​ which are homogeneously distributed at every site kkk in the spin chain. Here, the EMPS are not translation-invariant but rather statistically translation-invariant. Under a mild injectivity assumption, we show the thermodynamic limit of an EMPS is the unique frustration-free ground state of a parent Hamiltonian on the whole spin chain, which, depending on the statistical properties of the EMPS, may or may not be finite-range. In contrast to the translation-invariant regime, these Hamiltonians need not be gapped. Nevertheless, applying the martingale method while keeping track of local statistics gives conditions for a gap, in addition to pointing towards why there need not be a gap in general. We include examples of EMPS both with and without spectral gaps to illustrate our results.
L'approche du groupe de renormalisation tensoriel à la renormalisation des modèles sur réseau Le groupe de renormalisation tensoriel, initialement concu comme un outil numerique, emerge comme un cadre analytique rigoureux pour l'etude des modeles sur reseau en physique statistique. Cette these contribue a cette ligne de recherche en introduisant une serie de nouvelles techniques qui ameliorent le controle a la fois numerique et analytique sur les transformations RG. Premierement, nous developpons une methode pour trouver les points fixes des transformations RG en utilisant la methode de Newton. Cela necessite de surmonter le defi des deformations marginales qui rendent le point fixe non isole et donc inaccessible a la methode de Newton. Nous relevons ce defi en incluant une rotation dans la transformation RG, qui inverse le signe des valeurs propres marginales problematiques et isole un point fixe unique de la famille de points fixes auparavant continue. Cela nous permet de trouver des tenseurs de point fixe avec une precision sans precedent. Nous demontrons la puissance de cette technique via des calculs explicites pour les modeles d'Ising 2D et de Potts a 3 etats dans le regime critique. En utilisant l'algorithme Gilt-TNR avec une dimension de lien de 30, nous trouvons les tenseurs de point fixe critique avec une precision de 1e-9, significativement superieure a ce qui avait ete accompli auparavant. Deuxiemement, nous etudions la sensibilite des donnees CFT obtenues a partir du tenseur de point fixe a la precision du point fixe. Pour deux methodes d'extraction des donnees CFT - la matrice de transfert et la methode de l'operateur de dilatation sur reseau - nous trouvons que l'erreur dans les dimensions d'echelle des operateurs de basse energie est notablement reduite lorsque le point fixe est trouve avec une plus grande precision. L'operateur de dilatation sur reseau montre une sensibilite legerement plus grande dans cette etude.Troisiemement, nous introduisons une nouvelle transformation de renormalisation sans troncature - la transformation 2x1 - ainsi qu'une nouvelle approche pour suivre les flots RG dans des espaces de dimension infinie, que nous appelons tenseurs-chapeaux. Le principal avantage de la transformation 2x1 est sa simplicite : elle peut etre exprimee a l'aide d'un nombre relativement restreint de diagrammes. L'approche des tenseurs-chapeaux consiste a definir une boite englobante de dimension finie pour chaque tenseur et a promouvoir une transformation RG en une fonction maitresse qui regit le flot RG des boites englobantes en suivant des regles de promotion simples. En iterant la fonction maitresse numeriquement, nous etablissons la convergence vers le point fixe a haute temperature pour les tenseurs se trouvant dans un voisinage quantifiable, une amelioration substantielle par rapport aux resultats anterieurs sur la stabilite a haute temperature. Notre theoreme principal montre que les tenseurs avec des ecarts bornes par 0.02 dans 63 secteurs orthogonaux convergent vers le point fixe. Nous appliquons egalement la methode a des modeles specifiques - les modeles d'Ising 2D et XY - en obtenant des bornes explicites sur leur phase a haute temperature.Enfin, nous faisons un pas vers un RG tensoriel rigoureux dans des dimensions superieures. Nous presentons une nouvelle transformation RG sans troncature pour les reseaux de tenseurs 3D dans un voisinage du point fixe a haute temperature, dont les iterations convergent de maniere prouvable vers celui-ci. Notamment, la construction fournit une version rigoureuse de l'algorithme Loop-TNR, s'ecartant des constructions 2D anterieures qui s'inspiraient de l'algorithme TNR. Cela represente une avancee significative, car les techniques anterieures ne se generalisent pas a la 3D.