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Zeitschrift für Naturforschung A

Der mathematische Rahmen der Quantentheorie der Wellenfelder

Werner Karl Heisenberg

Published Dec 1, 1946• 75 citations
Publisher

Abstract

Abstract Die übliche Quantentheorie der Wellenfelder, bei der man von einer Hamilton - Funktion in Abhängigkeit von irgendwelchen Feldgrößen ausgeht, führt im allgemeinen zu Divergenzen. Der vorliegende Aufsatz stellt einen zusammenfassenden Bericht über verschiedene Arbeiten dar, die durch Erweiterung des bisherigen Verfahrens den mathematischen Rahmen einer zukünftigen Theorie der Wellenfelder oder der Elementarteilchen festzulegen suchen. Dabei wird einerseits auf die Bedeutung einer unitären Matrix, der sogenannten Streumatrix, und einer mit ihr verknüpften hermiteschen Matrix hingewiesen; andererseits wird gezeigt, daß auch bei einer Erweiterung der bisherigen Wellengleichungen zu sehr allgemeinen Integro-Differentialgleichungen die Forderungen der Quantentheorie zu einem eindeutigen mathematischen Formalismus führen.

DOI
10.1515/zna-1946-11-1202

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Abstract Da in einer konvergenten relativistischen Quantentheorie einstweilen nur die S-Matrix des Systems als ein sicherer Bestandteil des mathematischen Formalismus betrachtet werden kann, wird im ersten Teil der Arbeit auseinandergesetzt, wie man aus dieser Matrix die stationären Zustände freier Teilchen oder zusammengesetzter Systeme ermitteln kann. Die Ergebnisse werden auf den speziellen Ansatz S = T (T* T)-1/2 angewendet, der in einer früheren Arbeit angegeben worden war. Dabei werden die besonderen Eigenschaften dieses Ansatzes, wie Invarianz und Auswahlregeln, studiert und gezeigt, daß der Formalismus für Vorgänge mit kleiner Energieübertragung in den alten Hamiltonschen Formalismus übergeht (Korrespondenz). Schließlich wird die Störungstheorie des Formalismus bis zur 2. Näherung durchgeführt.

Zeitschrift für Naturforschung A•Jul 1, 1950•7 citations

Der korrespondenzmäßige Zugang zur Quantentheorie der Wellenfelder

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Es wird gezeigt, daß die Vertauschungsrelationen in der Quantentheorie der Wellenfelder aus einem Gedankengang gewonnen werden können, der dem Heisenbergschen Vorgehen bei der Aufstellung der „punktmechanischen“ Vertauschungsrelationen vollkommen analog ist. Speziell im Falle Fermi-Diracscher Materie wird dabei eine vertiefte Einsicht in die Bedeutung dieser Relationen gewonnen. Eine in diesem Falle noch verbleibende Lücke wird auf die Unmöglichkeit zurückgeführt, das Paulische Ausschließungsprinzip (Antisymmetrieforderung) im Rahmen einer dreidimensionalen Wellentheorie vollständig zu formulieren.

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Vieweg+Teubner eBooks•Jan 1, 1971•10 citations

Quantum entanglement and relativity

Irena Bojic

Das Phänomen der Verschränkung hat eine grundlegende Bedeutung in der Quantenphysik. Mathematisch is Verschränkung definiert durch die Inseparabilität von Quantenzuständen, die verwendet werden um Quantenobjekte zu beschreiben. Zustände, die nicht separabel sind, werden verschränkt genannt. Diese können räumlich getrennte Objekte oder verschiedene Eigenschaften desselben Objektes sein, welche nur durch einen gemeinsamen mathematischen Zustandvektor beschrieben werden können. Für die einzelnen Objekte gibt es keine separable Beschreibung. Physikalisch äußert sich Verschränkung zum Beispiel in nichtlokalen Eigenschaften, die auch experimentell nachgewiesen werden können. Klassische, lokale Konzepte, wie z.B. die Bell-Ungleichungen, werden durch Voraussagen der Quantenmechanik und aufgrund von Verschränkung verletzt, was man auch experimentell nachweisen kann. Man kann zeigen, dass klassische Konzepte der Lokalität und Realität hinderlich sind für ein besseres Verständnis der Natur. Verschiedene Anwendungen der Verschränkungstheorie haben breite Forschungsfelder eröffnet, wie zum Beispiel Quanteninformations-Theorie und -Verarbeitung und Quantenkryptographie. Die (spezielle) Relativitätstheorie ist eine klassische Theorie, die die Transformationseigenschaften zwischen Inertialsystemen beschreibt, in welchen die Gesetze der Physik unverändert bleiben. Diese Diplomarbeit beschäftigt sich mit der Verbindung von Verschränkung und Relativitätstheorie, beziehungsweise, bietet eine Einleitung in beide Felder und die neueren Forschungsgegenstände der relativistischen Verschränkungstheorie. Frühere Arbeiten auf diesem Gebiet haben gezeigt, dass Verschränkung im Allgemeinen nicht Beobachter-unabhängig oder Lorentz-invariant ist, wenn verschiedene Partitionen des Hilbertraumes betrachtet werden. Dies wurde anhand von zwei verschränkten Spin-1/2 oder zwei verschränkten Spin-1 Teilchen für verschiedene Quantenzustände gezeigt. Weiters präsentiert diese Diplomarbeit auch ein neues Beispiel für drei verschränkte Spin-1 Teilchen. Ihre relativistischen Transformationseigenschaften werden im letzten Kapitel untersucht. Es wird ebenfalls die Detektion von Vielkörperverschränkung für verschiedene inertiale Beobachter diskutiert.

•Jan 1, 2013•1 citation

Zur Quantentheorie der Wellenfelder II

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R.Feynman, einer der Begründer der Quantenelektrodynamik (QED), hat im Rahmen der Dualismusdiskussion auf die Frage „Was ist Licht?“ die Antwort gegeben „Keines von beiden.“ Nach Feynman ist Licht etwas „Drittes“. Dieses „Dritte“. wird in der Quantentheorie des elektromagnetischen Feldes behandelt. Die Quantentheorie hat als Ziel, das bei Experimenten mit Mikroobjekten in Erscheinung tretende teilchen- und wellenhafte Verhalten, nicht durch getrennte, sich widersprechende anschauliche Modellvorstellungen zu deuten, sondern im Rahmen einer einheitlichen Theorie widerspruchsfrei zu erfassen. Die naturphilosophische Frage nach der „wirklichen“ Natur der Mikroobjekte bleibt dabei offen. Das „Dritte“ ist nicht im Sinne eines ontischen Substrates der Quantenwelt, sondern als mathematisches Konzept zu verstehen, das erlaubt, die Quantenphänomene widerspruchsfrei darzustellen. Die theoretischen Voraussagen der Quantentheorie sind in hervorragender Übereinstimmung mit den experimentellen Daten. Es ist eine grundsätzliche naturphilosophische Frage, ob ein derartiges mathematisches Konzept Aussagen über die „Wirklichkeit“ macht oder über die Art und Weise unserer Erkenntnisgewinnung. Wir gehen davon aus, daß die Quantentheorie des elektromagnetischen Feldes die Realität zwar nicht ikonisch abbildet, aber in einer strukturellen Korrespondenz zu ihr steht.

Vieweg+Teubner eBooks•Jan 1, 1995•0 citations
Abstract Die übliche Quantentheorie der Wellenfelder, bei der man von einer Hamilton - Funktion in Abhängigkeit von irgendwelchen Feldgrößen ausgeht, führt im allgemeinen zu Divergenzen. Der vorliegende Aufsatz stellt einen zusammenfassenden Bericht über verschiedene Arbeiten dar, die durch Erweiterung des bisherigen Verfahrens den mathematischen Rahmen einer zukünftigen Theorie der Wellenfelder oder der Elementarteilchen festzulegen suchen. Dabei wird einerseits auf die Bedeutung einer unitären Matrix, der sogenannten Streumatrix, und einer mit ihr verknüpften hermiteschen Matrix hingewiesen; andererseits wird gezeigt, daß auch bei einer Erweiterung der bisherigen Wellengleichungen zu sehr allgemeinen Integro-Differentialgleichungen die Forderungen der Quantentheorie zu einem eindeutigen mathematischen Formalismus führen.
Abstract Da in einer konvergenten relativistischen Quantentheorie einstweilen nur die S-Matrix des Systems als ein sicherer Bestandteil des mathematischen Formalismus betrachtet werden kann, wird im ersten Teil der Arbeit auseinandergesetzt, wie man aus dieser Matrix die stationären Zustände freier Teilchen oder zusammengesetzter Systeme ermitteln kann. Die Ergebnisse werden auf den speziellen Ansatz S = T (T* T)-1/2 angewendet, der in einer früheren Arbeit angegeben worden war. Dabei werden die besonderen Eigenschaften dieses Ansatzes, wie Invarianz und Auswahlregeln, studiert und gezeigt, daß der Formalismus für Vorgänge mit kleiner Energieübertragung in den alten Hamiltonschen Formalismus übergeht (Korrespondenz). Schließlich wird die Störungstheorie des Formalismus bis zur 2. Näherung durchgeführt.
Es wird gezeigt, daß die Vertauschungsrelationen in der Quantentheorie der Wellenfelder aus einem Gedankengang gewonnen werden können, der dem Heisenbergschen Vorgehen bei der Aufstellung der „punktmechanischen“ Vertauschungsrelationen vollkommen analog ist. Speziell im Falle Fermi-Diracscher Materie wird dabei eine vertiefte Einsicht in die Bedeutung dieser Relationen gewonnen. Eine in diesem Falle noch verbleibende Lücke wird auf die Unmöglichkeit zurückgeführt, das Paulische Ausschließungsprinzip (Antisymmetrieforderung) im Rahmen einer dreidimensionalen Wellentheorie vollständig zu formulieren.
Das Ziel der theoretischen Physik ist die Aufstellung eines einheitlichen Axiomensystems mit dessen Symbolen und Verknüpfungsoperationen alle physikalischen Naturvorgänge mathematisch beschrieben und die zugeordneten Observablen berechnet werden können. Zur Annäherung an dieses Ziel bedient man sich Folgen von immer umfassenderen und zugleich differenzierteren Welt- bzw. Materiemodellen, die die Naturvorgänge approximativ beschreiben und in bestimmten Situationen ungültig werden. In der zeitlichen Entwicklung kennzeichnen diese Situationen den experimenteEen und theoretischen Zustand der Physik. Abgesehen von kosmologischen Aspekten wird gegenwärtig die Grenzsituation durch die subatomare Struktur und die Wechselwirkung von Elementarteilchen gegeben. Durch die Umwandlungsprozesse von Elementarteilchen und die theoretische Energie- Massenäquivalenz wird eine Beschreibung durch ein einheitliches Materiemodell nahegelegt. Da dieses auch die Niederenergiephänomene enthalten muß, so muß in ihm die diese Phänomene beschreibende konventionelle Quantentheorie enthalten sein. Dies bedeutet aber nicht, daß die mathematische Struktur dieses Modells mit jener der konventionellen Quantentheorie identisch sein muß. Vielmehr wird man erwarten müssen, daß die konventionelle Quantentheorie einen Spezialfall im Sinne eines Korrespondenzprinzips darstellt, wie auf einer Stufe tiefer die klassische Mechanik korrespondenzmäßig in der Quantenmechanik enthalten ist. Es liegt daher nahe, einen mathematischen Formalismus zu suchen, der die konventionelle Quantentheorie enthält, aber so flexibel ist, daß er auch Abänderungen zuläßt. Dieser Formalismus ist die funktionale Quantentheorie. Ihre Formulierung und Begründung soll im folgenden kurz dargestellt werden.
Das Phänomen der Verschränkung hat eine grundlegende Bedeutung in der Quantenphysik. Mathematisch is Verschränkung definiert durch die Inseparabilität von Quantenzuständen, die verwendet werden um Quantenobjekte zu beschreiben. Zustände, die nicht separabel sind, werden verschränkt genannt. Diese können räumlich getrennte Objekte oder verschiedene Eigenschaften desselben Objektes sein, welche nur durch einen gemeinsamen mathematischen Zustandvektor beschrieben werden können. Für die einzelnen Objekte gibt es keine separable Beschreibung. Physikalisch äußert sich Verschränkung zum Beispiel in nichtlokalen Eigenschaften, die auch experimentell nachgewiesen werden können. Klassische, lokale Konzepte, wie z.B. die Bell-Ungleichungen, werden durch Voraussagen der Quantenmechanik und aufgrund von Verschränkung verletzt, was man auch experimentell nachweisen kann. Man kann zeigen, dass klassische Konzepte der Lokalität und Realität hinderlich sind für ein besseres Verständnis der Natur. Verschiedene Anwendungen der Verschränkungstheorie haben breite Forschungsfelder eröffnet, wie zum Beispiel Quanteninformations-Theorie und -Verarbeitung und Quantenkryptographie. Die (spezielle) Relativitätstheorie ist eine klassische Theorie, die die Transformationseigenschaften zwischen Inertialsystemen beschreibt, in welchen die Gesetze der Physik unverändert bleiben. Diese Diplomarbeit beschäftigt sich mit der Verbindung von Verschränkung und Relativitätstheorie, beziehungsweise, bietet eine Einleitung in beide Felder und die neueren Forschungsgegenstände der relativistischen Verschränkungstheorie. Frühere Arbeiten auf diesem Gebiet haben gezeigt, dass Verschränkung im Allgemeinen nicht Beobachter-unabhängig oder Lorentz-invariant ist, wenn verschiedene Partitionen des Hilbertraumes betrachtet werden. Dies wurde anhand von zwei verschränkten Spin-1/2 oder zwei verschränkten Spin-1 Teilchen für verschiedene Quantenzustände gezeigt. Weiters präsentiert diese Diplomarbeit auch ein neues Beispiel für drei verschränkte Spin-1 Teilchen. Ihre relativistischen Transformationseigenschaften werden im letzten Kapitel untersucht. Es wird ebenfalls die Detektion von Vielkörperverschränkung für verschiedene inertiale Beobachter diskutiert.
R.Feynman, einer der Begründer der Quantenelektrodynamik (QED), hat im Rahmen der Dualismusdiskussion auf die Frage „Was ist Licht?“ die Antwort gegeben „Keines von beiden.“ Nach Feynman ist Licht etwas „Drittes“. Dieses „Dritte“. wird in der Quantentheorie des elektromagnetischen Feldes behandelt. Die Quantentheorie hat als Ziel, das bei Experimenten mit Mikroobjekten in Erscheinung tretende teilchen- und wellenhafte Verhalten, nicht durch getrennte, sich widersprechende anschauliche Modellvorstellungen zu deuten, sondern im Rahmen einer einheitlichen Theorie widerspruchsfrei zu erfassen. Die naturphilosophische Frage nach der „wirklichen“ Natur der Mikroobjekte bleibt dabei offen. Das „Dritte“ ist nicht im Sinne eines ontischen Substrates der Quantenwelt, sondern als mathematisches Konzept zu verstehen, das erlaubt, die Quantenphänomene widerspruchsfrei darzustellen. Die theoretischen Voraussagen der Quantentheorie sind in hervorragender Übereinstimmung mit den experimentellen Daten. Es ist eine grundsätzliche naturphilosophische Frage, ob ein derartiges mathematisches Konzept Aussagen über die „Wirklichkeit“ macht oder über die Art und Weise unserer Erkenntnisgewinnung. Wir gehen davon aus, daß die Quantentheorie des elektromagnetischen Feldes die Realität zwar nicht ikonisch abbildet, aber in einer strukturellen Korrespondenz zu ihr steht.