Der Stoff ist so angeordnet, wie es der logische Aufbau erfordert, — also in einer Reihenfolge, in der jedes Kapitel auf den vorhergehenden aufbaut. Wir beginnen mit Zahlen, wobei der Schwerpunkt auf den komplexen Zahlen liegt. Sie sind im Ausbildungsplan der Schulen meist nicht vorgesehen, aber unabdingbar für die Quantenmechanik. In diesem einführenden Kapitel werden außerdem noch Polynome behandelt, die von der Schule her meist gut bekannt sind, die aber komplexe Wurzeln haben können und sich deshalb zwanglos hier anschließen lassen. Der letzte Abschnitt enthält das Nötigste an Kombinatorik, wie sie für die thermodynamische Statistik benötigt wird und den häufig verwendeten Binomialsatz.
Der Stoff ist so angeordnet, wie es der logische Aufbau erfordert, — also in einer Reihenfolge, in der jedes Kapitel auf den vorhergehenden aufbaut. Wir beginnen mit Zahlen, wobei der Schwerpunkt auf den komplexen Zahlen liegt. Sie sind im Ausbildungsplan der Schulen meist nicht vorgesehen, aber unabdingbar für die Quantenmechanik. In diesem einführenden Kapitel werden außerdem noch Polynome behandelt, die von der Schule her meist gut bekannt sind, die aber komplexe Wurzeln haben können und sich deshalb zwanglos hier anschließen lassen. Der letzte Abschnitt enthält das Nötigste an Kombinatorik, wie sie für die thermodynamische Statistik benötigt wird und den häufig verwendeten Binomialsatz.
Wir haben im vorigen Kapitel gesehen, daß das klassische Teilchenbild wichtige, empirisch gesicherte Eigenschaften der Materie nicht wiedergibt, nämlich die Interferenzfähigkeit von Materiestrahlen und das Auftreten von ausgezeichneten, diskreten Energieniveaus bei oszillatorischen Bewegungen atomarer Teilchen. Andererseits enthält das soeben entwickelte Wellenoder Feldbild gerade diese Eigenschaften der Materie zwanglos, versagt aber angesichts der Existenz diskreter, stabiler kleinster Bausteine der materiellen Substanzen, der Elementarteilchen. Da die Materie selbst eine Einheit bildet, die Wellen- und Teilcheneigenschaften zugleich besitzt, muß man versuchen, eine entsprechende Theorie zu entwickeln, die beide Eigenschaften enthält. Eine solche Theorie ist die Quantenmechanik, an deren Aufbau wir jetzt gehen. Dabei können verschiedene Wege eingeschlagen werden: Man kann erstens die Wellentheorie in geeigneter Weise abändern, so daß sie die Mängel der klassischen Formulierung des vorigen Kapitels nicht mehr besitzt. Auf diese Weise gelangt man zur wellenmechanischen Form der Quantenmechanik. Oder man kann zweitens die klassische Teilchenmechanik entsprechend abändern, wodurch man die sog. Matrizenmechanik erhält. Es zeigte sich, daß die beiden so entwickelten Theorien, Wellen- und Matrizenmechanik, mathematisch äquivalent sind und als spezielle Ausdrucksformen einer allgemeineren Gesetzesgruppe, eben der Quantenmechanik, aufgefaßt werden können.
In dieser Arbeit wird eine spezielle Klasse verallgemeinerter Messungen in der Quantenmechanik untersucht. Es handelt sich um sogenannte unscharfe Messungen. Mathematisch sind sie durch vertauschende Effekte und reine Operationen (d.h. reine Zustände werden durch den Messprozess auf reine Zustände abgebildet) gekennzeichnet. Physikalisch bedeutet das, man kann sie als Messungen herkömmlicher Messgrößen wie z.B. Energie, Ort oder Spin auffassen, und sie produzieren kein klassisches Rauschen. In der Praxis treten sie u.a. auf, wenn die Kopplung zwischen Messgerät und zu vermessendem System sehr schwach ist. Daher sind sie verwandt mit den schwachen Messungen von Aharonov und Vaidman, die über eine solche schwache Kopplung definiert sind. Die Streuung der Messwerte einer unscharfen Messung ist größer als die einer vergleichbaren Projektionsmessung, daher die Bezeichnung "unscharf". Damit verbunden ist aber häufig auch eine geringere Störung des zu vermessenden Systems. Falls die Störung gering ist, wird die Messung auch "schwach" genannt. Das Verhältnis zwischen Informationsgewinn und Störung (Zustandsänderung) durch die Messung nimmt für minimale, unscharfe Messungen eine einfache Form an: die Zustandsänderung entspricht der Änderung der Wahrscheinlichkeitverteilung der Messergebnisse. Da letztere wiederum dem Informationsgewinn durch die Messung entspricht (der Informationsgewinn kann durch die negative Änderung der Shannon-Entropie gemessen werden), sind Informationsgewinn und Störung äquivalent. Die Messung von Dynamik an einem einzelnen Quantensystem in Echtzeit ist ein Anwendungsgebiet für unscharfe Messungen. Ein Folge von unscharfen Messungen wird in dieser Arbeit vorgestellt, die die Rabioszillationen eines einzelnen Zwei-Niveau-Systems in Echtzeit gewährleisten soll. Als Maß für die Auflösung einer kurzen Sequenz von Messungen (N-Serie) wurde die sogenannte Niveau-Auflösungszeit aus der Streuung der Messresultate einer N-Serie gewonnen. Es stellte sich heraus, dass diese proportional zur Dekohärenzzeit ist, die ein Maß für die Störung des Zwei-Niveau-Systems darstellt. Monte-Carlo-Simulationen der sequentiellen Messung zeigen, dass eine Visualisierung der Rabioszillationen möglich ist. Bedingung dafür ist, dass die Niveau-Auflösungszeit ungefähr gleich der Rabi-Periode ist. Eine Realisierung einer Folge von unscharfen Messungen wird anhand eines quantenoptischen Systems aus der Hohlraumresonator-QED beschrieben. Schliesslich wird die Entwicklung eines Qubits mit Hamiltonischer Dynamik unter dem Einfluss einer Folge von unscharfen Messungen beschrieben. Differenzengleichungen werden hergeleitet um die zeitliche Entwicklung des Zwei-Niveau-Systems darzustellen. Verschiedene Effekte treten auf: u.a. eine zusätzliche unitäre Dynamik, verursacht durch den unitären Anteil der Back-action'' des Messapparates und Dekohärenz aufgrund dieses unitären Anteils sowie aufgrund des Informationsgewinnes. Es kommt auch zu einer Art Reibung (Dissipation). Im Grenzwert kontinuierlicher Messungen verschwinden die meisten dieser Effekte. Für diesen Grenzwert wird eine Mastergleichung angegeben, die die Zustandsdynamik bei einer sequentiellen Messung näherungsweise beschreibt. Das erste Kapitel dieser Arbeit enthält eine Diskussion der Auswirkungen der Stochastik auf die Struktur der Quantenmechanik. Ausgehend von der Zufälligkeit des Ausganges von Quantenmessungen und der nicht-eindeutigen Zerlegbarkeit von gemischten Zuständen in reine Zustände ergibt sich eine Motivation für drei der vier Axiome der Quantenmechanik.
In den vorangegangenen Kapiteln haben wir fast alle wesentlichen Erscheinungen, die bei Atomen auftreten, bereits besprochen, aber nur für ein einziges Elektron. Es wird sich herausstellen, daß vieles bei Mehrelektronen-Atomen ganz ähnlich ist. Um ein System mit mehreren Elektronen behandeln zu können, müssen wir uns jedoch zuerst mit den eigentümlichen Konsequenzen befassen, die aus den quantenmechanischen Regeln für ein System von gleichen Teilchen folgen. Es ist ja nicht möglich, ein einzelnes Elektron oder ein anderes Teilchen in irgendeiner Weise zu markieren, so daß seine Identität zu einem späteren Zeitpunkt oder an einem anderen Ort festgestellt werden kann. Bei zwei Elektronen, die durch wohldefmierte Wellenpakete beschrieben werden und die weit voneinander entfernt sind, braucht man keine Verwechslung zu befürchten. Innerhalb der Ausdehnung des Wellenpakets, d. h. innerhalb eines Bereiches, in dem die Unschärferelation gilt, ist es jedoch prinzipiell nicht möglich, die Koordinaten eines Teilchens zu verfolgen. Sobald sich daher die beiden Elektronen gleichzeitig in ein Gebiet des Orts-und Impulsraums bewegen, das durch die Unschärferelation umrissen ist, gibt es prinzipiell keine Möglichkeit mehr, die Koordinaten der Teilchen auseinanderzuhalten. Bei allen quantenmechanischen Aussagen müssen wir dem Rechnung tragen. Nach der Grundregel (2.4) sollten wir erwarten, daß die Wahrscheinlichkeitsamplituden für die beiden Teilchen in irgendeiner Weise kohärent addiert werden müssen. Das hat äußerst fundamentale Konsequenzen und führt zu Gesetzmäßigkeiten, die den gesamten Aufbau der Materie beherrschen. Das wird in diesem Kapitel behandelt.
In den vorangegangenen Kapiteln haben wir fast alle wesentlichen Erscheinungen, die bei Atomen auftreten, bereits besprochen, aber nur für ein einziges Elektron. Es wird sich herausstellen, daß vieles bei Mehrelektronen-Atomen ganz ähnlich ist. Um ein System mit mehreren Elektronen behandeln zu können, müssen wir uns jedoch zuerst mit den eigentümlichen Konsequenzen befassen, die aus den quantenmechanischen Regeln für ein System von gleichen Teilchen folgen. Es ist ja nicht möglich, ein einzelnes Elektron oder ein anderes Teilchen in irgendeiner Weise zu markieren, so daß seine Identität zu einem späteren Zeitpunkt oder an einem anderen Ort festgestellt werden kann. Bei zwei Elektronen, die durch wohldefinierte Wellenpakete beschrieben werden und die weit voneinander entfernt sind, braucht man keine Verwechslung zu befürchten. Innerhalb der Ausdehnung des Wellenpakets, d. h. innerhalb eines Bereiches, in dem die Unschärfe-relation gilt, ist es jedoch prinzipiell nicht möglich, die Koordinaten eines Teilchens zu verfolgen. Sobald sich daher die beiden Elektronen gleichzeitig in ein Gebiet des Orts- und Impulsraums bewegen, das durch die Unschärferelation umrissen ist, gibt es prinzipiell keine Möglichkeit mehr, die Koordinaten der Teilchen auseinanderzuhalten. Bei allen quantenmechanischen Aussagen müssen wir dem Rechnung tragen. Nach der Grundregel (2.4) sollten wir erwarten, daß die Wahrscheinlichkeitsamplituden für die beiden Teilchen in irgendeiner Weise kohärent addiert werden müssen. Das hat äußerst fundamentale Konsequenzen und fuhrt zu Gesetzmäßigkeiten, die den gesamten Aufbau der Materie beherrschen. Das wird in diesem Kapitel behandelt.
ZusammenfassungObwohl das Maxwell-Boltzmannsche Verteilungsgesetz im vorigen Kapitel auf eine Weise abgeleitet wurde, die mit der Quantenmechanik verträglich ist, erhält man dieselben Ergebnisse auch bei einer rein klassischen Vorgangsweise. Wir haben außerdem gesehen, daß es zwischen einer Situation, in der eine kontinuierliche Energieverteilung möglich ist, wie bei den Translationsbewegungen der Moleküle eines Gases, und einer Situation, in der die Energien nur bestimmte diskrete Werte annehmen können, wie bei den Rotationszuständen eines Moleküls, keinen wesentlichen Unterschied gibt. In beiden Fällen haben wir die betrachteten Teilchen als unterscheidbare Objekte angenommen, was für Moleküle in einem Gas erlaubt ist, jedoch für Photonen in einem Hohlraum oder Elektronen in einem Metall nicht mehr zutrifft. Quanteneffekte werden für ununterscheidbare Teilchen wichtig, und die Verteilungsgesetze unterscheiden sich wesentlich von dem Maxwell-Boltzmannschen Gesetz. In diesem Kapitel wollen wir die statistischen Verteilungsgesetze von Bose und Einstein, beziehungsweise von Fermi und Dirac ableiten. Die Bose-Einstein-Statistik gilt für identische, ununterscheidbare Teilchen, die nicht dem Ausschließungsprinzip unterliegen (Photonen), während die Fermi-Dirac-Statistik für solche Teilchen gilt, auf die das Ausschließungsprinzip angewendet werden muß (Elektronen).
Der Aufbau und Inhalt des vorliegenden Bandes "Quanten" wird in der Einleitung ausführlich besprochen.Er enthält sieben Teile, deren Inhalt eng zusammenhängt, so daß sich für das Studium der einzelnen Teile eine gewisse Reihenfolge empfiehlt, die durch das untenstehende Pfeilschema angedeutet wird.Teil 2 über die Teilchenquantelung bereitet dem Anfänger gewisse Schwierigkeiten.Dafür wurde Teil 3 so aufgebaut, daß zu seinem Studium das Verständnis von Teil 2 nicht unbedingt erforderlich ist.Wegen der in der Einleitung erwähnten Symmetrie der Quantentheorie gegenüber den Begriffen "Teilchen" und "Wellen" sollte das vorstehende Pfeilschema eigentlich "rechts-links-symmetrisch" sein.Dies ist aber nicht der Fall, weil sich der Wellenbegriff wegen seiner starken Anschaulichkeit zur Lösung spezieller quantenmechanischer Probleme als fruchtbarer erwiesen hat.