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Vieweg+Teubner eBooks

Harmonische Oszillatoren

Hermann Haken

Published Jan 1, 1993• 0 citations
Publisher

Abstract

Wir untersuchen die Bewegung eines Teilchens mit der Masse m, das elastisch an die Ruhelage gebunden ist. Als Teilchenkoordinate q wählen wir die Auslenkung aus der Ruhelage (vgl. Fig. 10), den zugehörigen Impuls bezeichnen wir mit p. Die Federkonstante f eliminieren wir durch die aus der klassischen Physik geläufige Beziehung f = mω 2, wobei ω die Frequenz des Oszillators ist. In diesen Bezeichnungen lauten die kinetische Energie T = p 2/(2m) und die potentielle Energie V = (m/2) ω 2 q 2.

DOI
10.1007/978-3-322-99250-5_2

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Vieweg+Teubner eBooks•Jan 1, 1973•0 citations

Atome mit mehreren Elektronen

Richard T. Weidner, Robert L. Sells

Obwohl die Bohrsche Theorie des Atombaues nicht in der Lage ist, den Atombau und die Spektren in allen Einzelheiten zu beschreiben, so gelten doch einige ihrer wichtigsten Grundzüge auch für Atome mit mehreren Elektronen. Zu diesen unverändert gültigen Grundlagen gehören die Existenz stationärer Zustände, die Quantelung der Energie und die Quantelung des Drehimpulses. Eine exakte Behandlung der Atome mit mehreren Elektronen muß streng wellenmechanisch erfolgen. Sie ist mathematisch schwierig und führt auch nicht zu einem Atommodell, das sich leicht veranschaulichen läßt. In der Wellenmechanik muß man ein Elektron der Atomhülle als dreidimensionale Welle betrachten, die den Kern umgibt. Es ist daher unzutreffend, ja sogar unmöglich, dem Elektron bei seiner Bewegung eine genau definierte Bahn zuzuschreiben. Stattdessen liefert die Wellenmechanik mittels der Wellenfunktion nur die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons für einen bestimmten Ort. Nichtsdestoweniger können wir aber, falls wir diese Einschränkungen beachten, eine gewisse Einsicht in die Ergebnisse der Wellenmechanik gewinnen, wenn wir diese auf ein streng klassisches Teilchenmodell anwenden. Zunächst wollen wir den klassischen Fall eines Teilchens behandeln, das sich im Felde einer anziehenden Kraft bewegt, die umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes abnimmt. Anschließend führen wir ohne Beweis einige wichtige Ergebnisse der Wellenmechanik an. Diese Ergebnisse können wir dann durch die Analogie zum entsprechenden klassischen Modell deuten.

Vieweg+Teubner eBooks•Jan 1, 1982•2 citations

Drehimpulse der Quantenphysik

Gerd Otter, Raimund Honecker

Der Drehimpuls hat in der Physik die gleiche fundamentale Bedeutung wie der lineare Impuls und die Energie. Ebenso wie jene Größen ist er bereits in der klassischen Mechanik durch einen Erhaltungssatz ausgezeichnet, und zwar dann, wenn das entsprechende physikalische Problem rotationssymmetrisch ist. Für den atomaren Bereich gilt das gleiche. Jedoch müssen wir den Drehimpuls mit quantenmechanischen Methoden behandeln. Wir unterscheiden hierbei zwischen dem Bahndrehimpuls, der die Bahnbewegung eines Teilchens um eine feste Achse beschreibt, und einem inneren Drehimpuls, den viele Teilchen besitzen und den man Spin nennt. Der Spin eines Teilchens läßt sich von der Vorstellung her als eine Art Eigenrotation des Teilchens deuten. Es ist jedoch nicht möglich, ihn mit klassischen Methoden zu beschreiben, wie etwa die Eigenrotation der Erde. Im Rahmen der nichtrelativistischen Quantenmechanik muß er zusätzlich eingeführt werden, wie in den nachfolgenden Abschnitten gezeigt wird. Erst in der relativistischen Quantenmechanik folgt er zwanglos aus deren Formalismus. Wir werden in Kap.5 sehen, daß der Spin des Elektrons für die Erklärung einer ganzen Reihe von Erscheinungen beim Wasserstoffatom eine entscheidende Roll spielt. Dasselbe gilt für die Mehrelektronenatome in Kap. 6.

Vieweg+Teubner eBooks•Jan 1, 1993•0 citations

Der quantenmechanische harmonische Oszillator

Erich W. Schmid, Gerhard Spitz, Wolfgang Lösch

Springer eBooks•Jan 1, 1987•0 citations

Der quantenmechanische harmonische Oszillator

Erich W. Schmid, Gerhard Spitz, Wolfgang Lösch

Springer eBooks•Jan 1, 1993•1 citation

Wellenoptik

Harry Pfeifer, Herbert Schmiedel, Ralf Stannarius

Nach der Quantenphysik wird eine elektromagnetische Welle dann abgestrahlt, wenn ein System, z.B. ein Atom, aus einem angeregten Zustand (excited state) in einen energetisch tiefer liegenden Zustand, z.B. den Grundzustand (ground state), d.h. den tiefsten, stabilen Energiezustand, übergeht. Die Frequenz f der Welle folgt aus der Beziehung f = ΔE/h wobei h die Planck-Konstante (s.A.1, S.580) und ΔE den Energieunterschied zwischen den beiden Zuständen bezeichnet. Die Dauer τ des Emissionsvorgangs nennt man auch mittlere Lebensdauer (mean life time) des angeregten Zustandes. Mit den Methoden der Quantenphysik ist es möglich, sowohl die Energiedifferenz ΔE als auch die zugehörige Lebensdauer τ zu berechnen. Wir nehmen diese Größen hier als gegeben an. Aus τ ergibt sich mit der Lichtgeschwindigkeit c für die Länge λc des Wellenzuges (Kohärenzlänge, coherence length) 478 $$ {l_c} = c\tau $$ und für die Halbwertsbreite der zugehörigen Spektrallinie 479 $$ \Delta f \approx \frac{1}{\tau }.$$ .

Vieweg+Teubner eBooks•Jan 1, 2004•0 citations
Wir untersuchen die Bewegung eines Teilchens mit der Masse m, das elastisch an die Ruhelage gebunden ist. Als Teilchenkoordinate q wählen wir die Auslenkung aus der Ruhelage (vgl. Fig. 10), den zugehörigen Impuls bezeichnen wir mit p. Die Federkonstante f eliminieren wir durch die aus der klassischen Physik geläufige Beziehung f = mω 2, wobei ω die Frequenz des Oszillators ist. In diesen Bezeichnungen lauten die kinetische Energie T = p 2/(2m) und die potentielle Energie V = (m/2) ω 2 q 2.
Obwohl die Bohrsche Theorie des Atombaues nicht in der Lage ist, den Atombau und die Spektren in allen Einzelheiten zu beschreiben, so gelten doch einige ihrer wichtigsten Grundzüge auch für Atome mit mehreren Elektronen. Zu diesen unverändert gültigen Grundlagen gehören die Existenz stationärer Zustände, die Quantelung der Energie und die Quantelung des Drehimpulses. Eine exakte Behandlung der Atome mit mehreren Elektronen muß streng wellenmechanisch erfolgen. Sie ist mathematisch schwierig und führt auch nicht zu einem Atommodell, das sich leicht veranschaulichen läßt. In der Wellenmechanik muß man ein Elektron der Atomhülle als dreidimensionale Welle betrachten, die den Kern umgibt. Es ist daher unzutreffend, ja sogar unmöglich, dem Elektron bei seiner Bewegung eine genau definierte Bahn zuzuschreiben. Stattdessen liefert die Wellenmechanik mittels der Wellenfunktion nur die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons für einen bestimmten Ort. Nichtsdestoweniger können wir aber, falls wir diese Einschränkungen beachten, eine gewisse Einsicht in die Ergebnisse der Wellenmechanik gewinnen, wenn wir diese auf ein streng klassisches Teilchenmodell anwenden. Zunächst wollen wir den klassischen Fall eines Teilchens behandeln, das sich im Felde einer anziehenden Kraft bewegt, die umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes abnimmt. Anschließend führen wir ohne Beweis einige wichtige Ergebnisse der Wellenmechanik an. Diese Ergebnisse können wir dann durch die Analogie zum entsprechenden klassischen Modell deuten.
Der Drehimpuls hat in der Physik die gleiche fundamentale Bedeutung wie der lineare Impuls und die Energie. Ebenso wie jene Größen ist er bereits in der klassischen Mechanik durch einen Erhaltungssatz ausgezeichnet, und zwar dann, wenn das entsprechende physikalische Problem rotationssymmetrisch ist. Für den atomaren Bereich gilt das gleiche. Jedoch müssen wir den Drehimpuls mit quantenmechanischen Methoden behandeln. Wir unterscheiden hierbei zwischen dem Bahndrehimpuls, der die Bahnbewegung eines Teilchens um eine feste Achse beschreibt, und einem inneren Drehimpuls, den viele Teilchen besitzen und den man Spin nennt. Der Spin eines Teilchens läßt sich von der Vorstellung her als eine Art Eigenrotation des Teilchens deuten. Es ist jedoch nicht möglich, ihn mit klassischen Methoden zu beschreiben, wie etwa die Eigenrotation der Erde. Im Rahmen der nichtrelativistischen Quantenmechanik muß er zusätzlich eingeführt werden, wie in den nachfolgenden Abschnitten gezeigt wird. Erst in der relativistischen Quantenmechanik folgt er zwanglos aus deren Formalismus. Wir werden in Kap.5 sehen, daß der Spin des Elektrons für die Erklärung einer ganzen Reihe von Erscheinungen beim Wasserstoffatom eine entscheidende Roll spielt. Dasselbe gilt für die Mehrelektronenatome in Kap. 6.
Nach der Quantenphysik wird eine elektromagnetische Welle dann abgestrahlt, wenn ein System, z.B. ein Atom, aus einem angeregten Zustand (excited state) in einen energetisch tiefer liegenden Zustand, z.B. den Grundzustand (ground state), d.h. den tiefsten, stabilen Energiezustand, übergeht. Die Frequenz f der Welle folgt aus der Beziehung f = ΔE/h wobei h die Planck-Konstante (s.A.1, S.580) und ΔE den Energieunterschied zwischen den beiden Zuständen bezeichnet. Die Dauer τ des Emissionsvorgangs nennt man auch mittlere Lebensdauer (mean life time) des angeregten Zustandes. Mit den Methoden der Quantenphysik ist es möglich, sowohl die Energiedifferenz ΔE als auch die zugehörige Lebensdauer τ zu berechnen. Wir nehmen diese Größen hier als gegeben an. Aus τ ergibt sich mit der Lichtgeschwindigkeit c für die Länge λc des Wellenzuges (Kohärenzlänge, coherence length) 478 lc=cτ {l_c} = c\tau lc​=cτ und für die Halbwertsbreite der zugehörigen Spektrallinie 479 Δf≈1τ. \Delta f \approx \frac{1}{\tau }.Δf≈τ1​. .