C XV Kondensierte Bosonen. Gross-Pitaevskii-Gleichung

Claude N. Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë

Niels Benedikter, Marcello Porta, Benjamin Schlein

Benjamin Schlein

Tobias Ilg

Teilchen mit halbzahligem Spin werden als Fermionen bezeichnet. Nach dem Pauli-Verbot dürfen sich zwei Fermionen nicht im selben quantenmechanischen Zustand befinden. Diese Einschränkung gilt jedoch nicht für Teilchen mit ganzzahligem Spin, auch Bosonen genannt. Durch den Wegfall dieser Einschränkung tritt in bosonischen Gasen bei sehr tiefen Temperaturen ein Phasenübergang auf, der so in einem Fermi-Gas oder einem klassischen Gas nicht zu beobachten ist. Die Teilchen des Bose-Gases kondensieren unterhalb einer kritischen Temperatur in den Grundzustand, wodurch dieser makroskopisch besetzt wird. Die Teilchen im Kondensat sind vollständig delokalisiert und können durch eine einzige Wellenfunktion beschrieben werden. Vorhergesagt wurde dieser neue Aggregatzustand von Albert Einstein im Jahre 1924 auf Grundlage der Arbeit von Satyendranath Bose und wird als Bose-Einstein-Kondensat bezeichnet. Der experimentelle Nachweis blieb über 70 Jahre aus und folgte im Jahr 1995. In der vorliegenden Arbeit werden Bose-Einstein-Kondensate untersucht, die sich entlang einer Richtung frei bewegen können. Zwischen den Teilchen besteht eine attraktive Kontaktwechselwirkung. In Mean-Field-Näherung, die Korrelationen zwischen den Teilchen vernachlässigt, können die Kondensate durch die nichtlineare Gross-Pitaevskii-Gleichung beschrieben werden. Stationäre analytische Lösungen der eindimensionalen Gross-Pitaevskii-Gleichung sind bekannt und werden für den Fall attraktiver Wechselwirkung als helle Solitonen bezeichnet. Allgemein sind Solitonen Wellenpakete, die sich ohne Änderung ihrer Form fortbewegen. Sie treten als Lösung von nichtlinearen Wellengleichungen auf und somit auch als Lösung der Gross-Pitaevskii-Gleichung. Ziel der Arbeit ist es jedoch nicht nur stationäre Lösungen zu untersuchen, sondern auch auf die Dynamik von Solitonen sowie deren Stöße untereinander einzugehen. Dazu werden die hellen Solitonen durch Gaußfunktionen approximiert, für die nach dem Variationsprinzip nach McLachlan Bewegungsgleichungen aufgestellt werden. Es gilt zum einen zu untersuchen, inwieweit sich die stationären Solitonen als Superposition von Gaußfunktionen beschreiben lassen und zum anderen wie effektiv sich die Dynamik von Stößen zwischen Solitonen mit gekoppelten Gaußfunktionen behandeln lässt. Für die Veranschaulichung der Dynamik wurden für einige Abbildungen der Arbeit zusätzlich Animationen angefertigt.

Takeuchi Hiromitsu

Ingo Fuereder

Die vorliegende Diplomarbeit beschaftigt sich mit der mathematischen Beschreibung eines Bose-Einstein Kondensats, das in einer lang gestreckten magneto-optischen Falle gefangen ist. Als zugrunde liegendes mathematisches Modell fungiert das Gross-Pitaevskii Energie Funktional. Anstatt wie bei herkommlichen dimensionalen Reduktionen der Gross-Pitaevskii Gleichung ublich, bei denen die Anregungsenergie in einer oder zwei Dimensionen viel groser als die Wechselwirkungsenergie ist, wird hier der Fall behandelt bei dem die Anregungsenergie in Querrichtung mit der Wechselwirkungsenergie vergleichbar ist. Diese Fragestellung wird durch einen neuartigen Ansatz fur die Wellenfunktion gelost, wodurch die Bestimmung der Grundzustandsenergie auf die folgenden zwei Probleme reduziert wird: 1) Losung eines zweidimensionalen Gross-Pitaevskii Problems mit Kopplungskonstante in einem beschrankten Intervall. 2) Losung eines eindimensionalen Gross-Pitaevskii Problems, wo die zweidimensionale Energie als Funktion der Kopplungskonstanten den Wechselwirkungsterm in dem eindimensionalen Energiefunktional bestimmt.