The Schr�dinger and Heisenberg pictures

Dario Cilluffo, Nicola Lorenzoni, Martin Bodo Plenio

Although the Schr{ö}dinger and Heisenberg pictures are equivalent formulations of quantum mechanics, simulations performed choosing one over the other can greatly impact the computational resources required to solve a problem. Here we demonstrate that in Gaussian boson sampling, a central problem in quantum computing, a good choice of representation can shift the boundary between feasible and infeasible numerical simulability. To achieve this, we introduce a novel method for computing the probability distribution of boson sampling based on the time evolution of tensor networks in the Heisenberg picture. In addition, we overcome limitations of existing methods enabling simulations of realistic setups affected by non-uniform photon losses. Our results demonstrate the effectiveness of the method and its potential to advance quantum computing research.

Toshihico Arimitsu

量子力学では, 状態ベクトルの時間発展を記述する Schr?dinger 方程式の時間推進演算子 (エネルギー演算子 Hamiltonian) を使って, 演算子の時間発展を記述する Heisenberg 方程式が書き下され (表示の変更を伴う), 正準交換関係が保存する正準演算子形式の理論体系が構成されている。量子解放系 (散逸系) を記述する正準演算子形式の理論体系 Non-Equilibrium Thermo Field Dynamics (NETFD) では, 統計演算子 (密度演算子) を真空状態のケット・ベクトルと見立て直すことにより, 確率 Liouville 方程式の量子版が, 確率 Schr?dinger 方程式の形式で与えられる。その時間推進演算子 (確率 hat-Hamiltonian と呼ばれ, 量子 Brown 運動を乱雑力演算子として含む) を使ってHeisenberg 方程式を書き下すと量子系の Langevin 方程式 (確率 Heisenberg 方程式とも呼ばれる) が得られる。乱雑力演算子に関して平均をとると, 確率 Schr?dinger 方程式 は散逸 Schr?dinger 方程式 (量子マスター方程式とも呼ばれる) に, 確率 Heisenberg 方程式は散逸 Heisenberg 方程式になる。得られた散逸 Schr?dinger 方程式の時間推進演算子 (hat-Hamiltonian と呼ばれる) は, 散逸 Heisenberg 方程式の hat-Hamiltonian にもなっている (表示の変更を伴う)。確率的生成消滅演算子と散逸的生成消滅演算子の正準交換関係は何れも保存し, 確率微分方程式系および散逸微分方程式系に対して, 正準演算子形式の理論体系が構成されている (図1参照)。集中セミナーでは, NETFDの上記体系の構成からくりを詳しく解説し, NETFDならではの新しい自然認識や技巧, 応用について紹介する。