§ 30. Die Darstellung des HiLBERT-Raumes

Arthur March

Günther Ludwig

Ähnlich wie bei den Hauptsätzen der Thermodynamik werden heuristische Gesichtspunkte diskutiert, die zur Aufstellung von allgemeinen Hauptsätzen über die Wirkung von Mikroobjekten auf makroskopische (d. h. dem thermodynamischen Gesetz der Entropiezunahme genügenden) Systeme führen. Das Ziel ist, durch solche allgemeinen „Hauptsätze des Messens“ die Struktur des HILBERT-Raumes der Quantenmechanik zu charakterisieren. Die hier angegebenen Hauptsätze (Axiome 1 bis 3) führen zwar zu mathematischen Strukturen, die sehr viel von den Strukturen des HILBERT-Raumes enthalten, aber noch allgemeiner als der HILBERT-Raum sein können. Vielleicht enthalten sie neue interessante Möglichkeiten für neue physikalische Theorien.

Jan-Markus Schwindt

Thomas Appl

Der Ansatz von Susskind und Glogower für das quantenmechanische Phasenproblem\ndefiniert hermitesche Operatoren, die als Kosinus- und Sinusoperatoren interpretierbar\nsind. Deren Eigenzustände in der Fock-Darstellung sind die Chebyshev-\nPolynome zweiter Art. Auf dieser Grundlage werden allgemeinere Kosinus- und Sinusoperatoren\neingeführt, deren Eigenzustände in der Fock-Darstellung mit beliebigen\nPolynomen gebildet sind, die im Intervall [−1,+1] bezüglich einer Gewichtsfunktion\nein Orthogonalsystem bilden. Jedem Satz Polynome ist ein Paar Kosinus- und Sinusoperatoren\nzugeordnet. Je nachdem ob die Gewichtsfunktionen symmetrisch oder\nunsymmetrisch sind, wird zwischen verallgemeinerten und erweiterten Kosinus- und\nSinusoperatoren unterschieden. Es werden auch korrespondierende Arcuskosinus- und\nArcussinusoperatoren vom verallgemeinerten und erweiterten Type eingeführt. Die Eigenzustände der trigonometrischen und inversen trigonometrischen Operatoren werden\nuntersucht und dazu verwendet, um Darstellungen beliebiger Quantenzustände sowie\nentsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu definieren. Für die klassischen orthogonalen\nPolynome werden Beispiele explizit angegeben.\n \nWeiterhin werden Exponentialoperatoren als Verallgemeinerung der exponentiellen\nPhasenoperatoren von Susskind und Glogower eingeführt, die mit den verallgemeinerten\nbzw. erweiterten Kosinus- und Sinusoperatoren in Beziehung stehen. Die \nEigenzustände der als Absteigeoperatoren wirkenden Exponentialoperatoren sind innerhalb\ndes Einheitskreises definiert und bilden, sofern sie die Darstellung des Einheitsoperators\nermöglichen, verallgemeinerte kohärente Zustände. In diesem Fall können damit\nzweidimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen innerhalb des Einheitskreises und\ndaraus resultierende Phasenverteilungen definiert werden. Im Fall der klassischen orthogonalen\nPolynome haben die Eigenzustände der verallgemeinerten und erweiterten\nExponentialoperatoren als Normierungsfunktionen die hypergeometrischen 2F1- bzw.\n4F3-Funktionen. Die Darstellung des Einheitsoperators erfordert eine spezielle Grenzbetrachtung.\n \nSchließlich werden die Eigenzustände der Exponentialoperatoren, die mit den klassischen\northogonalen Polynomen im Zusammenhang stehen, erweitert, indem verallgemeinerte\nhypergeometrische Zustände eingeführt werden, deren Normierungsfunktionen\ndie verallgemeinerten hypergeometrischen Funktionen pFq sind. In Abhängigkeit\nvom Konvergenzradius der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktionen wird\nzwischen verallgemeinerten hypergeometrischen Zuständen in der gesamten Ebene,\ninnerhalb des Einheitskreises und auf dem Einheitskreis unterschieden. Diejenigen verallgemeinerten\nhypergeometrischen Zustände, die die Darstellung des Einheitsoperators\nermöglichen, werden als kohärente verallgemeinerte hypergeometrische Zustände\ndefiniert. Diese können als Basis zur Darstellung beliebiger Zustände im Bargmann- bzw.\nHardy-Raum verwendet werden und definieren verallgemeinerte hypergeometrische\nHusimi-Verteilungen und daraus resultierende Phasenverteilungen.

Jan-Markus Schwindt

Eckhard Rebhan

In diesem Kapitel wird die Dynamik von Teilchensystemen durch die Quantenmechanik beschrieben. Weil die Wellenfunktion der Teilchen nicht von den Teilchenimpulsen abhängt, ist der Darstellungsraum nicht wie in der klassischen Statistik der μ- oder Γ-Raum, sondern ein quantenmechanischer Konfigurationsraum. Wie in der klassischen statistischen Mechanik kann entweder ein dem μ-Raum entsprechender EinTeilchen-Konfigurationsraum benutzt werden, in dem jedes Teilchen durch eine eigene Wellenfunktion beschrieben wird, oder ein dem Γ-Raum entsprechender N-Teilchen-Konfigurationsraum, in dem sämtliche Teilchen durch eine einzige, von den Variablen aller Teilchen abhängige Wellenfunktion beschrieben werden. Wir werden uns auf die Darstellung im N-Teilchen-Konfigurationsraum beschränken. Zur statistischen Behandlung werden im Prinzip dieselben Methoden wie für klassische Systeme benutzt. Daher bestehen in vielen Aspekten Analogien zu den Ausführungen des vorangegangenen Kapitels.