Methodes d'integration fonctionnelle et methodes monte carlo pour le traitement de problemes quantiques : applications en physique atomique et moleculaire
Presentation d'une nouvelle methode de simulation probabiliste de l'equation de schroedinger, par evaluation des elements de matrice quantiques impliquant l'operation d'evolution pour un intervalle de temps arbitraire t, sous forme d'integrales fonctionnelles (formule de feynman-kac completement generalisee) et en realisant concretement la fonctionnelle correspondante comme la mesure de associee a un processus de diffusion convenablement defini a partir d'une fonction d'essai bien choisie. Avantages de la methode : processus de diffusion pur sans branchement (evaluation facilitee des fonctions de correlation), evaluation systematique de l'energie et des moyennes d'autres observables et proprietes de reponse, distinction claire entre temps t de l'operateur d'evolution et temps de simulation t. Probleme de la prise en compte du principe de pauli pour des systemes de fermions. Mise en ordre de la methode pour des oscillateurs harmonique et quantique, des systemes de type he et h::(2). Proposition de generalisations pour certaines methodes de monte carlo quantiques anterieures
Presentation d'une nouvelle methode de simulation probabiliste de l'equation de schroedinger, par evaluation des elements de matrice quantiques impliquant l'operation d'evolution pour un intervalle de temps arbitraire t, sous forme d'integrales fonctionnelles (formule de feynman-kac completement generalisee) et en realisant concretement la fonctionnelle correspondante comme la mesure de associee a un processus de diffusion convenablement defini a partir d'une fonction d'essai bien choisie. Avantages de la methode : processus de diffusion pur sans branchement (evaluation facilitee des fonctions de correlation), evaluation systematique de l'energie et des moyennes d'autres observables et proprietes de reponse, distinction claire entre temps t de l'operateur d'evolution et temps de simulation t. Probleme de la prise en compte du principe de pauli pour des systemes de fermions. Mise en ordre de la methode pour des oscillateurs harmonique et quantique, des systemes de type he et h::(2). Proposition de generalisations pour certaines methodes de monte carlo quantiques anterieures
Algorithmes quantiques pour la méthode de Monte Carlo La méthode de Monte Carlo est un paradigme central de l'algorithmique basée sur l'analyse statistique et sur les techniques d'échantillonnage aléatoire appliquées aux problèmes ayant une interprétation probabiliste. Cette thèse explore les avantages qu'offrirait un ordinateur quantique pour augmenter l'efficacité de cette méthode. Nous étudions dans un premier temps le problème d'estimation de valeurs moyennes par des techniques à temps de calcul minimal. Nous développons de nouveaux algorithmes quantiques pour estimer l'espérance d'une variable aléatoire réelle produite en sortie d'un processus quantique. Les estimateurs que nous construisons procurent une accélération quadratique par rapport au nombre d'échantillons classiques nécessaires pour obtenir une borne d'erreur sous-gaussienne ou une (epsilon,delta)-approximation. Nous décrivons également un cadre théorique fournissant une notion de «temps d'arrêt» pour un processus quantique générant une variable aléatoire. Nous démontrons que le problème d'estimation de la moyenne peut être résolu plus efficacement lorsque le temps d'arrêt moyen du processus sous-jacent est court. Ces résultats sont appliqués au développement d'un algorithme de requête quantique quasi-optimal pour approximer le nombre de triangles dans un graphe. Dans un second temps, nous étudions le problème d'échantillonnage préférentiel et ses applications en optimisation stochastique. Nous construisons un algorithme quantique pour échantillonner plusieurs éléments d'une distribution finie spécifiée par un vecteur de probabilité. Notre approche résout le problème plus général consistant à préparer plusieurs copies d'un état quantique dont les amplitudes sont accessibles via un oracle. L'utilité de ce résultat est illustrée à travers le développement de deux algorithmes hybrides quantiques-classiques basés sur la méthode des poids multiplicatifs et sur l'algorithme du gradient stochastique. Ces deux applications concernent la prédiction en ligne avec conseil d'experts, et la minimisation des fonctions sous-modulaires. La dernière partie de cette thèse est consacrée à l'étude des algorithmes quantiques à mémoire limitée. Nous étudions tout d'abord le problème d'approximation des moments de fréquence dans le modèle de flots de données à passes multiples. Nous construisons un algorithme quantique qui nécessite une quantité de mémoire moindre que les meilleurs algorithmes de streaming classiques possible. Notre méthode repose sur les estimateurs quantiques de moyenne susmentionnés et sur des techniques de simulation de calcul reversible. Nous explorons ensuite certaines limites des algorithmes à mémoire restreinte dans le modèle de requête quantique. Nous développons une nouvelle approche pour obtenir des bornes inférieures temps-mémoire, basée sur une technique récente d'enregistrement des requêtes quantiques. Ce résultat est appliqué au problème de la recherche de paires de collisions dans une fonction aléatoire. Nous démontrons que la complexité en requête quantique de cette tâche augmente lorsque la quantité de mémoire disponible diminue.
Nous presentons plusieurs contributions methodologiques aux approches de type monte carlo quantique et quelques applications a des problemes de la matiere condensee et de la chimie theorique. Apres un expose general, nous presentons une demonstration originale de l'instabilite de l'algorithme sans biais le plus naturel (methode pure diffusion monte carlo). Tres recemment, des approches basees sur un processus de reconfiguration stochastique d'une population de marcheurs ont ete developpees pour y remedier. Nous proposons ici une optimisation substantielle de ce type de methode. Nous considerons ensuite une approche originale pour ameliorer l'echantillonnage de l'espace des configurations. Pour cela nous montrons qu'il est possible d'integrer exactement l'evolution temporelle des trajectoires stochastiques confinees dans un domaine donne. Un deuxieme type de developpement vise a reduire la variance des quantites moyennees : introduction de fonctions d'onde de qualite pour des modeles quantiques unidimensionnels et mise en place d'un principe de variance nulle pour le calcul de toute observable quantique. Notre application principale est la mise en evidence d'une transition de mott metal-isolant pour une generalisation tres simple du modele de hubbard unidimensionnel (modele su(n), n > 2). A cette occasion nous avons developpe une methodologie theorique et numerique efficace pour analyser les transitions de phase continues dans les modeles quantiques unidimensionnels. Utilisant le cadre theorique de la bosonisation, nous effectuons un controle non-perturbatif des predictions theoriques au moyen de resultats monte carlo quantique de grande precision. Nous presentons egalement d'autres applications (oscillateur quartique, atome d'helium, modele d'ising bidimensionnel) mettant en valeur les differentes ameliorations proposees.
Des calculs stochastiques aux calculs déterministes des diagrammes de Feynman pour la nanoélectronique quantique Nous étudions le modèle d'impureté d'Anderson, un modèle pour les points quantiques, qui capture théoriquement la physique de l'effet Kondo. L'effet Kondo a été initialement étudié dans des métaux avec des impuretés magnétiques. De telles impuretés magnétiques peuvent être construites en nanoélectronique comme des points quantiques en interaction couplés aux fils.Bien que le modèle d'impureté d'Anderson soit simple, les solutions analytiques sont rares et seules quelques méthodes numériques peuvent le traiter hors équilibre. L'une d'entre elles est la méthode de Monte Carlo quantique diagrammatique en temps réel, où le problème d'interaction entre plusieurs corps est exprimé sous la forme d'une série de perturbations aux puissances de la force d'interaction. Chaque terme est une somme de tous les diagrammes de Feynman d'ordre n, qui sont eux-mêmes des intégrales à n dimensions [Phys. Rev. B 91, 245154 (2015)]. L'intégration est réalisée avec un algorithme de Metropolis-Hastings. Elle est entravée par un taux de convergence 1/√N, où N est le nombre de points calculés.Dans ce travail, nous avons remplacé l'algorithme de Metropolis-Hastings par la méthode d'intégration quasi-Monte-Carlo, où l'intégrande est échantillonné directement avec des points déterministes à faible écart conçus pour être aussi uniformes que possible. Le taux de convergence est de 1/N si la fonction est suffisamment lisse. L'étape cruciale de cette approche est le warping : transformer l'intégrale dans une forme plus lisse (plus plate) avec une fonction modèle. Nous basons la fonction modèle sur la propriété de clusterisation discutée dans Phys. Rev. B 91, 245154 (2015).Nous avons vérifié la méthode avec une solution d'ansatz de Bethe pour la charge sur le point quantique. Ce cas est favorable et l'accélération obtenue est de plusieurs ordres de grandeur. L'accélération nous a permis d'explorer la caractéristique courant-tension à travers le point quantique. Nous avons également appliqué la nouvelle méthode au calcul d'une dépendance complète en fréquence des fonctions de Green [Phys. Rev. B 100, 125129 (2019)]. Lorsque les paramètres sont moins favorables (présence du problème du signe), le taux de convergence obtenue est compris entre 1/√N et 1/N. L'accélération est comprise entre deux et trois ordres de grandeur. Enfin, nous avons étudié des exemples où l'intégrande n'est pas suffisamment lisse et le taux de convergence est de 1/√N. Nous avons identifié le problème du signe comme étant la cause du ralentissement.
L'équation de Schrödinger polyélectronique régit l'évolution non relativiste des systèmes quantiques tels que les électrons, atomes et molécules. La chimie quantique ab initio consiste à trouver des solutions approximées de cette équation afin de prédire des propriétés moléculaires comme les longueurs de liaison, les spectres vibrationnels et les mécanismes réactionnels. Malgré les immenses progrès de la puissance de calcul, atteindre la précision chimique (une erreur d'énergie inférieure à 1 kcal/mol) reste exponentiellement coûteux pour les algorithmes classiques lorsque la taille du système augmente. Cette limite a conduit à envisager l'informatique quantique comme alternative pour la simulation moléculaire, les ordinateurs quantiques obéissant aux mêmes principes physiques que les systèmes simulés. Il a été établi que, sous certaines conditions, l'équation de Schrödinger moléculaire pouvait être résolue en temps polynomial sur un ordinateur quantique, permettant en principe une accélération exponentielle par rapport aux méthodes classiques. La concrétisation de cet avantage reste un problème ouvert et requiert des avancées tant matérielles (stabilité des processeurs) que algorithmiques (consommation de ressources). Ce dernier aspect constitue l'objectif principal de cette thèse. Trois défis fondamentaux sont identifiés: établir une correspondance et une discrétisation efficace entre le problème de structure électronique et les qubits; concevoir des algorithmes pour préparer de bonnes approximations de l'état fondamental ; décomposer les opérations quantiques en circuits implémentables à coût minimal. La première partie traite du court terme, où le faible nombre de qubits et le bruit limitent les opérations exécutables. Dans ce contexte, le Variational Quantum Eigensolver (VQE) et son extension adaptative ADAPT-VQE sont des références établies. Nous proposons plusieurs améliorations pour la construction adaptative d'ansätze. L'algorithme Greedy Gradient-Free Adaptive VQE simplifie le processus d'optimisation, réduisant considérablement la consommation de ressources et permettant même une démonstration sur un processeur de 25 qubits. La méthode Overlap-ADAPT-VQE introduit un schéma de compactification variationnelle qui reconstruit des approximations d'états quantiques cibles, permettant en chimie quantique d'accélérer significativement la convergence du VQE pour divers niveaux de corrélation électronique. Nous développons ensuite une stratégie d'initialisation des registres quantiques à partir de fonctions d'onde corrélées issues de calculs classiques, pour combiner calcul haute performance et post-traitement quantique. La seconde partie adopte une perspective de long terme centrée sur le comportement asymptotique des algorithmes. Nous présentons une décomposition de la porte NOT multi-contrôlée avec une profondeur de circuit polylogarithmique en nombre de qubits de contrôle, offrant une amélioration exponentielle sur les approches linéaires existantes. Enfin, nous proposons une méthode de chimie quantique en espace réel, compatible avec les algorithmes quantiques d'extraction de valeurs propres. L'objectif étant d'améliorer la convergence spatiale en remplaçant les discrétisations uniformes, utilisées dans la plupart des approches en première quantification, par des grilles non uniformes, adaptées à la molécule, qui concentrent les points de discrétisation dans les zones de forte densité électronique. Nous étendons cette stratégie aux hamiltoniens transcorrélés : des opérateurs qui régularisent les singularités du potentiel coulombien, et dont les fonctions propres sont lisses dans l'espace. Notre approche est plurielle, explorant tous les niveaux d'abstraction, de la théorie à l'implémentation, et couvrant des algorithmes exploitables sur des machines actuelles, et d'autres destinés aux architectures de long terme. Ces contributions renforcent les fondements des algorithmes quantiques pour la simulation moléculaire.
Depuis sa première définition par Hudson et Parthasarathy en 1984, l'intégration stochastique quantique offre un outil puissant pour la description de certaines évolutions en physique quantique. De nombreuses questions restent ouvertes cependant, en particulier dans le domaine de la représentabilité intégrale des opérateurs. La définition récente par Attal d'une méthode complètement explicite de l'approximation de l'espace de Fock usuel par un analogue discret a justifié l'intérêt d'une bonne connaissance du calcul stochastique quantique à temps discret. Nous définissons rigoureusement un tel calcul stochastique et obtenons une caractérisation des opérateurs admettant des représentations intégrales ou des représentations sous la forme de noyau de Maassen-Meyer, avec des expressions explicites dans les deux cas. Ces résultats nous permettent de préciser complètement le lien entre le calcul à temps discret et le calcul à temps continu et en particulier de montrer que la formule d'Itô quantique de composition des intégrales se déduit rigoureusement de relations de commutation, par exemple des relations de commutation entre matrices de Pauli. Nous appliquons ensuite nos résultats pour obtenir une caractérisation, dans l'espace de Fock usuel, des opérateurs qui sont représentables en intégrales stochastiques quantiques parmi les classes fondamentales que sont les opérateurs de seconde quantification et de seconde quantification différentielle. Enfin, nous utilisons ces techniques pour obtenir des résultats de convergence de solutions d'équations aux différences vers des équations différentielles stochastiques quantiques. Ces résultats nous permettent de montrer qu'une évolution en mécanique quantique obtenue par des interactions répétées est déterminée, à la limite, par une équation de Langevin quantique. Cette équation de Langevin décrit un couplage entre un ``petit système'' et un ``réservoir'', ce réservoir et les coefficients de l'équation se déduisant explicitement de l'interaction que l'on répète. Ces résultats permettent en particulier d'obtenir une description rigoureuse des mesures en continu et des approximations de ``coarse graining'' en optique quantique.
Algorithmes quantiques pour la chimie quantique ab initio : une approche à plusieurs échelles L'équation de Schrödinger polyélectronique régit l'évolution non relativiste des systèmes quantiques tels que les électrons, atomes et molécules. La chimie quantique ab initio consiste à trouver des solutions approximées de cette équation afin de prédire des propriétés moléculaires comme les longueurs de liaison, les spectres vibrationnels et les mécanismes réactionnels. Malgré les immenses progrès de la puissance de calcul, atteindre la précision chimique (une erreur d'énergie inférieure à 1 kcal/mol) reste exponentiellement coûteux pour les algorithmes classiques lorsque la taille du système augmente. Cette limite a conduit à envisager l'informatique quantique comme alternative pour la simulation moléculaire, les ordinateurs quantiques obéissant aux mêmes principes physiques que les systèmes simulés. Il a été établi que, sous certaines conditions, l'équation de Schrödinger moléculaire pouvait être résolue en temps polynomial sur un ordinateur quantique, permettant en principe une accélération exponentielle par rapport aux méthodes classiques. La concrétisation de cet avantage reste un problème ouvert et requiert des avancées tant matérielles (stabilité des processeurs) que algorithmiques (consommation de ressources). Ce dernier aspect constitue l'objectif principal de cette thèse. Trois défis fondamentaux sont identifiés: établir une correspondance et une discrétisation efficace entre le problème de structure électronique et les qubits; concevoir des algorithmes pour préparer de bonnes approximations de l'état fondamental ; décomposer les opérations quantiques en circuits implémentables à coût minimal. La première partie traite du court terme, où le faible nombre de qubits et le bruit limitent les opérations exécutables. Dans ce contexte, le Variational Quantum Eigensolver (VQE) et son extension adaptative ADAPT-VQE sont des références établies. Nous proposons plusieurs améliorations pour la construction adaptative d'ansätze. L'algorithme Greedy Gradient-Free Adaptive VQE simplifie le processus d'optimisation, réduisant considérablement la consommation de ressources et permettant même une démonstration sur un processeur de 25 qubits. La méthode Overlap-ADAPT-VQE introduit un schéma de compactification variationnelle qui reconstruit des approximations d'états quantiques cibles, permettant en chimie quantique d'accélérer significativement la convergence du VQE pour divers niveaux de corrélation électronique. Nous développons ensuite une stratégie d'initialisation des registres quantiques à partir de fonctions d'onde corrélées issues de calculs classiques, pour combiner calcul haute performance et post-traitement quantique. La seconde partie adopte une perspective de long terme centrée sur le comportement asymptotique des algorithmes. Nous présentons une décomposition de la porte NOT multi-contrôlée avec une profondeur de circuit polylogarithmique en nombre de qubits de contrôle, offrant une amélioration exponentielle sur les approches linéaires existantes. Enfin, nous proposons une méthode de chimie quantique en espace réel, compatible avec les algorithmes quantiques d'extraction de valeurs propres. L'objectif étant d'améliorer la convergence spatiale en remplaçant les discrétisations uniformes, utilisées dans la plupart des approches en première quantification, par des grilles non uniformes, adaptées à la molécule, qui concentrent les points de discrétisation dans les zones de forte densité électronique. Nous étendons cette stratégie aux hamiltoniens transcorrélés : des opérateurs qui régularisent les singularités du potentiel coulombien, et dont les fonctions propres sont lisses dans l'espace. Notre approche est plurielle, explorant tous les niveaux d'abstraction, de la théorie à l'implémentation, et couvrant des algorithmes exploitables sur des machines actuelles, et d'autres destinés aux architectures de long terme. Ces contributions renforcent les fondements des algorithmes quantiques pour la simulation moléculaire.