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Annales De L Institut Henri Poincare-physique Theorique

On the classical and quantum evolution of Lagrangian half-forms in phase space

Maurice A. de Gosson

Published Jan 1, 1999• 9 citations
OpenAlex

Abstract

Les expressions locales d'une demi-forme Lagrangienne sur une sousvariete Lagrangienne quantifiee de l'espace des phases sont les fonctions d'onde de la mecanique quantique. Nous montrons que le transport de ces demi-formes par le flot associe a un Hamiltonien H permet de retrouver les solutions asymptotiques de l'equation de Schrodinger donnes par la formule de Maslov. Nous etudions ensuite le cas ou l'on remplace ce flot par celui associe au Bohmien, et arrivons a la conclusion que l'emploi des demi-formes Lagrangiennes permet d'elaborer une mecanique quantique en espace de phase.

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Dans l'optique de la mecanique stochastique, une formulation probabiliste de la mecanique quantique dans l'espace des phases est proposee. Notre approche utilise la fonction de wigner qui offre, dans un cadre general, une description d'un systeme quantique dans l'espace des phases. Alors que la mecanique stochastique ne considere que les etats purs du systeme, les proprietes de la fonction introduite par wigner nous permettent de traiter les etats de melange aussi bien que les etats purs. Apres avoir precise, en premiere partie, les proprietes essentielles de cette fonction et rappele son lien avec les operateurs de weyl, nous donnons dans une deuxieme partie une analyse heuristique de la mecanique quantique en terme de fluide. L'interpretation habituelle de la fonction de wigner comme etant une densite dans l'espace des phases, nous amene a considerer le cas d'un systeme soumis a l'action d'une force derivant d'un potentiel qui est la transformee de fourier d'une mesure bornee. Nous montrons que l'on peut alors envisager la fonction de wigner comme une difference de deux fonctions positives telles qu'a chacune de ces fonctions soit associe un processus de markov. Notre conception de fluide quantique consiste a interpreter ces deux fonctions comme etant les densites d'un fluide compose de deux types de particules differents mais dans lequel seule la difference de ces densites est observee. L'evolution de chaque type de particule est alors donnee par le processus de markov associe. Dans le cas particulier ou l'espace de hilbert du systeme est de dimension finie, une telle construction de processus peut alors rigoureusement etre effectuee. Cette etude est realisee dans une troisieme partie ou la dimension n de l'espace de hilbert est supposee impaire. La raison d'un tel choix est due au fait que le groupe des residus modulo n, que nous utilisons, possede dans ce cas une racine carree. Nous construisons, en premier lieu, une theorie des operateurs de weyl et des fonctions de wigner discretises. En augmentant l'espace des phases discretise d'une variable dichotomique egale a +1 ou -1, nous prouvons l'existence d'un processus de markov evoluant dans cet espace, tel que la fonction de wigner soit egale a la valeur moyenne partielle de cette variable dichotomique. Dans un article ecrit en collaboration avec p. Combe, m. Sirugue et m. Sirugue-collin, nous montcrons que ce formalisme peut etre applique a l'etude d'un spin entier. Enfin, en appendice, nous donnons les proprietes des processus de markov qui sont utiles a notre expose

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Cette thèse est consacrée à des problèmes liés à l'étude de la limite semi-classique en mécanique quantique. Le premier chapitre présente une formulation géométrique qui est équivalente au principe variationnel. Elle consiste à concevoir la dynamique classique comme une projection orthogonale de la dynamique quantique sur la famille des états cohérents. L'angle de la projection nous renseigne sur la validité de l'approximation obtenue. Ces résultats sont illustrés par un exemple numérique. Le deuxième chapitre s'attache à la mécanique quantique sur le tore en tant qu'espace de phase, et en particulier à l'étude des dégénérécences dans le spectre de modèles du type Harper, ou Harper pulsé qui manifestent du chaos classique. Ce type de modèles trouve ses applications essentiellement en physique du solide, notamment pour l'effet Hall quantique. Cette étude se fait d'une part à l'aide de l'indice de Chern qui caractérise de fa¸con topologique la local- isation des fonctions d'ondes lorsque des conditions de périodicité sont changées, et d'autre part par la distribution de Husimi permet de représenter un état quantique dans l'espace de phase. Nous discutons le rˆole joué par les états associés à une séparatrice, par l'effet tunnel et par la nature chaotique de la dynamique.

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