Στην παρούσα διατριβή μελετάται η Εντροπία Διεμπλοκής στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου, μέθοδοι ολοκληρωσιμότητας σε Μη Γραμμικά Σίγμα Μοντέλα και η Ολογραφική Εντροπία Διεμπλοκής. Η Διατριβή είναι χωρισμένη σε 5 μέρη.Στο 1ο μέρος γίνεται ανασκόπηση των θεμάτων που αποτελούν το πλαίσιο στο οποίο εντάσσεται η έρευνα που παρουσιάζεται στην διατριβή. Γίνεται μια ανασκόπηση των ιδεών που σχετίζονται με την συμπεριφορά της κβαντικής πληροφορίας στα πλαίσια της κβαντικής βαρύτητας. Οι ιδέες αυτές προϋπήρχαν της αντιστοιχίας AdS/CFT και οδήγησαν στην διατύπωση της ολογραφικής αρχής. Στην συνέχεια γίνεται μια σύντομη εισαγωγή στην αντιστοιχία AdS/CFT, στην Κβαντική Διεμπλοκή, στην Διεμπλοκή στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου. Τέλος παρουσιάζεται η Ολογραφική Εντροπία Διεμπλοκής.Το 2ο μέρος είναι αφιερωμένο στην Εντροπία Διεμπλοκής στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου. Γενικεύουμε την μέθοδο του Srednicki εισάγοντας όρο μάζας για το βαθμωτό πεδίο, καθώς και πεπερασμένη θερμοκρασία. Αναπτύσσουμε μια διαταρακτική μέθοδο η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του φάσματος του ανηγμένου τελεστή πυκνότητας. Δείχνουμε πως σε πεπερασμένη θερμοκρασία είναι η αμοιβαία πληροφορία αυτή που υπακούει «νόμο εμβαδού». Παράλληλα προτείνουμε μια μέθοδο για τον διαχωρισμό των κλασσικών και κβαντικών συνεισφορών στην αμοιβαία πληροφορία.Στόχος του 3ου μέρους είναι η διερεύνηση της σχέσης της εντροπίας διεμπλοκής με την ολοκληρωσιμότητα. Προκειμένου να αποκτήσουμε διαίσθηση για την εφαρμογή της μεθόδου ένδυσης (dressing method) στις στατικές ελάχιστες επιφάνειες του AdS4, τα οποία είναι ευκλείδεια κοσμικά σεντόνια, στρεφόμαστε στο Ο(3) Μη Γραμμικό Σίγμα Μοντέλο με Minkowski κοσμικό σεντόνι. Αρχικά κατασκευάζουμε λύσεις του ΜΓΣΜ, οι οποίες αντιστοιχούν σε λύσεις της ανηγμένης κατά Pohlmeyer θεωρίας, εκπεφρασμένες με ελλειπτικές συναρτήσεις, αντιστρέφοντας την αναγωγή Pohlmeyer. Παρουσιάζουμε μια παράλληλη μελέτη των ιδιοτήτων των λύσεων και της εικόνας τους στην ανηγμένη θεωρία. Εφαρμόζουμε την μέθοδο ένδυσης στις λύσεις του ΜΓΣΜ, καθώς και μετασχηματισμούς Backünd στις λύσεις της ανηγμένης θεωρίας. Μελετάμε παράλληλα ιδιότητες, όπως την ύπαρξη μιας ειδικής κλάσης λύσεων η οποίες σχετίζονται με αστάθειες των ελλειπτικών λύσεων. Στην συνέχεια δείχνουμε πως αυτό το συμπέρασμα επαληθεύεται από μια συμβατική ανάλυση ευστάθειας βασιζόμενη σε γραμμικοποιημένες διαταραχές. Ακολούθως εφαρμόζουμε την μέθοδο ένδυσης στις στατικές ελάχιστες επιφάνειες του AdS4 και παρουσιάζουμε έναν κανόνα μεταβολής για το στοιχείο του εμβαδού. Τέλος, επιστρέφουμε στο Ο(3) ΜΓΣΜ και παρουσιάζουμε την λύση του βοηθητικού συστήματος, το οποίο εξασφαλίζει την ολοκληρωσιμότητα της θεωρίας, για τυχαία αρχική λύση. Στο 4ο μέρος μελετάμε την ολογραφική εντροπία διεμπλοκής. Αρχικά παρουσιάζουμε την εξίσωση ροής, η οποία περιγράφει μια ελάχιστη επιφάνεια ως γεωμετρική ροή με παράμετρο την ολογραφική συντεταγμένη. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον φορμαλισμό μελετάμε τους αποκλίνοντες όρους του αναπτύγματος της ολογραφικής εντροπίας διεμπλοκής χρησιμοποιώντας μια αμιγώς ολογραφική προσέγγιση. Τέλος συζητάμε την ισοδυναμία του 1ου νόμου της θερμοδυναμικής της διεμπλοκής με τις γραμμικοποιημένες εξισώσεις Einstein. Κατασκευάζουμε τoν διαδότη του βαρυτονίου από το εσωτερικό του χωροχρόνου AdS στο σύνορο, στην βαθμίδα Fefferman – Graham, ο οποίος είναι ο συνδετικός κρίκος ανάμεσα στις δύο ισοδύναμες περιγραφές.Το 5ο μέρος περιέχει παραρτήματα.
Στην παρούσα διατριβή μελετάται η Εντροπία Διεμπλοκής στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου, μέθοδοι ολοκληρωσιμότητας σε Μη Γραμμικά Σίγμα Μοντέλα και η Ολογραφική Εντροπία Διεμπλοκής. Η Διατριβή είναι χωρισμένη σε 5 μέρη.Στο 1ο μέρος γίνεται ανασκόπηση των θεμάτων που αποτελούν το πλαίσιο στο οποίο εντάσσεται η έρευνα που παρουσιάζεται στην διατριβή. Γίνεται μια ανασκόπηση των ιδεών που σχετίζονται με την συμπεριφορά της κβαντικής πληροφορίας στα πλαίσια της κβαντικής βαρύτητας. Οι ιδέες αυτές προϋπήρχαν της αντιστοιχίας AdS/CFT και οδήγησαν στην διατύπωση της ολογραφικής αρχής. Στην συνέχεια γίνεται μια σύντομη εισαγωγή στην αντιστοιχία AdS/CFT, στην Κβαντική Διεμπλοκή, στην Διεμπλοκή στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου. Τέλος παρουσιάζεται η Ολογραφική Εντροπία Διεμπλοκής.Το 2ο μέρος είναι αφιερωμένο στην Εντροπία Διεμπλοκής στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου. Γενικεύουμε την μέθοδο του Srednicki εισάγοντας όρο μάζας για το βαθμωτό πεδίο, καθώς και πεπερασμένη θερμοκρασία. Αναπτύσσουμε μια διαταρακτική μέθοδο η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του φάσματος του ανηγμένου τελεστή πυκνότητας. Δείχνουμε πως σε πεπερασμένη θερμοκρασία είναι η αμοιβαία πληροφορία αυτή που υπακούει «νόμο εμβαδού». Παράλληλα προτείνουμε μια μέθοδο για τον διαχωρισμό των κλασσικών και κβαντικών συνεισφορών στην αμοιβαία πληροφορία.Στόχος του 3ου μέρους είναι η διερεύνηση της σχέσης της εντροπίας διεμπλοκής με την ολοκληρωσιμότητα. Προκειμένου να αποκτήσουμε διαίσθηση για την εφαρμογή της μεθόδου ένδυσης (dressing method) στις στατικές ελάχιστες επιφάνειες του AdS4, τα οποία είναι ευκλείδεια κοσμικά σεντόνια, στρεφόμαστε στο Ο(3) Μη Γραμμικό Σίγμα Μοντέλο με Minkowski κοσμικό σεντόνι. Αρχικά κατασκευάζουμε λύσεις του ΜΓΣΜ, οι οποίες αντιστοιχούν σε λύσεις της ανηγμένης κατά Pohlmeyer θεωρίας, εκπεφρασμένες με ελλειπτικές συναρτήσεις, αντιστρέφοντας την αναγωγή Pohlmeyer. Παρουσιάζουμε μια παράλληλη μελέτη των ιδιοτήτων των λύσεων και της εικόνας τους στην ανηγμένη θεωρία. Εφαρμόζουμε την μέθοδο ένδυσης στις λύσεις του ΜΓΣΜ, καθώς και μετασχηματισμούς Backünd στις λύσεις της ανηγμένης θεωρίας. Μελετάμε παράλληλα ιδιότητες, όπως την ύπαρξη μιας ειδικής κλάσης λύσεων η οποίες σχετίζονται με αστάθειες των ελλειπτικών λύσεων. Στην συνέχεια δείχνουμε πως αυτό το συμπέρασμα επαληθεύεται από μια συμβατική ανάλυση ευστάθειας βασιζόμενη σε γραμμικοποιημένες διαταραχές. Ακολούθως εφαρμόζουμε την μέθοδο ένδυσης στις στατικές ελάχιστες επιφάνειες του AdS4 και παρουσιάζουμε έναν κανόνα μεταβολής για το στοιχείο του εμβαδού. Τέλος, επιστρέφουμε στο Ο(3) ΜΓΣΜ και παρουσιάζουμε την λύση του βοηθητικού συστήματος, το οποίο εξασφαλίζει την ολοκληρωσιμότητα της θεωρίας, για τυχαία αρχική λύση. Στο 4ο μέρος μελετάμε την ολογραφική εντροπία διεμπλοκής. Αρχικά παρουσιάζουμε την εξίσωση ροής, η οποία περιγράφει μια ελάχιστη επιφάνεια ως γεωμετρική ροή με παράμετρο την ολογραφική συντεταγμένη. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον φορμαλισμό μελετάμε τους αποκλίνοντες όρους του αναπτύγματος της ολογραφικής εντροπίας διεμπλοκής χρησιμοποιώντας μια αμιγώς ολογραφική προσέγγιση. Τέλος συζητάμε την ισοδυναμία του 1ου νόμου της θερμοδυναμικής της διεμπλοκής με τις γραμμικοποιημένες εξισώσεις Einstein. Κατασκευάζουμε τoν διαδότη του βαρυτονίου από το εσωτερικό του χωροχρόνου AdS στο σύνορο, στην βαθμίδα Fefferman – Graham, ο οποίος είναι ο συνδετικός κρίκος ανάμεσα στις δύο ισοδύναμες περιγραφές.Το 5ο μέρος περιέχει παραρτήματα.
Οι ραγδαίες εξελίξεις στην επιστήμη της Κβαντικής Υπολογιστικής απειλούν τα θεμέλια ασφάλειας των κλασικών κρυπτογραφικών συστημάτων, καθιστώντας αναγκαία τη δημιουργία και την ανάπτυξη μετακβαντικών κρυπτογραφικών αλγορίθμων. Αυτή η διατριβή διερευνά τα θεωρητικά θεμέλια, τις πρακτικές υλοποιήσεις και τις αξιολογήσεις απόδοσης μετακβαντικών κρυπτογραφικών αλγορίθμων που έχουν σχεδιαστεί για να αντέχουν τις ικανότητες των κβαντικών αντιπάλων. Η έρευνά μας περιλαμβάνει τέτοια πιθανά κρυπτογραφικά πρωτόκολλα, με ιδιαίτερη έμφαση στους αλγόριθμους που βασίζονται σε δικτυωτά και επικεντρώνεται στην ασφάλεια, την αποτελεσματικότητά τους και τη δυνατότητα εφαρμογής τους στην καθημερινότητα. Οι αρχικές ενότητες της διατριβής παρέχουν μια ολοκληρωμένη ανασκόπηση των μαθηματικών θεμελίων της μετα-κβαντικής κρυπτογραφίας, περιγράφοντας λεπτομερώς τα τρωτά σημεία των σημερινών συστημάτων όπως το RSA υπό κβαντικές επιθέσεις, ιδιαίτερα εκείνα που αφορούν τον αλγόριθμο του Shor. Αναλύουμε τις θεμελιώδεις ισχυρές υποθέσεις που στηρίζουν τους μετακβαντικούς αλγόριθμους, όπως το δυσεπίλυτα προβλήματα των δικτυωτών, που δημιουργούν μια ισχυρή θεωρητική βάση για την ασφάλειά τους. Ο πυρήνας της διατριβής είναι αφιερωμένος στην περιγραφή και αξιολόγηση συγκεκριμένων μετακβαντικών κρυπτογραφικών αλγορίθμων που βασίζονται σε δικτυωτά. Η διατριβή εμβαθύνει στις θεωρητικές βάσεις, τις πρακτικές υλοποιήσεις και τις βελτιστοποιήσεις απόδοσης κρυπτογραφικών σχημάτων που βασίζονται σε δικτυωτά, με ιδιαίτερη έμφαση στη δυνατότητα εφαρμογής τους σε έναν μετα-κβαντικό κόσμο. Η έρευνα περιλαμβάνει μια ολοκληρωμένη ανάλυση των μαθηματικών κατασκευών που κρύβουν προβλήματα δικτυωτών,την εφαρμογή τους, την ανάπτυξη ισχυρών κρυπτογραφικών πρωτοκόλλων και την αξιολόγηση της αποτελεσματικότητας και της ασφάλειάς τους. Εξετάζουμε το σχεδιασμό και την υλοποίηση σχημάτων κρυπτογράφησης δημόσιου κλειδιού, όπως τα κρυπτοσυστήματα GGH, NTRU, LWE και Ring-LWE, όπως και ψηφιακών υπογραφών, επισημαίνοντας τις ιδιότητες ασφαλείας και την πρακτική τους απόδοση. ΤοLearning With Errors έχει συγκεντρώσει ιδιαίτερη προσοχή λόγω των ισχυρών αποδείξεων ασφαλείας και της ευελιξίας του στην κατασκευή κρυπτογραφικών σχημάτων. Επιπλέον, η παρούσα διατριβή διερευνά τις θεωρητικές βάσεις και τις πρακτικές εφαρμογές κρυπτογραφικών σχημάτων που βασίζονται στο πρόβλημα Learning With Errors (LWE). Στο δεύτερο και κύριο μέρος, αναπτύσσουμε ένα νέο κρυπτογραφικό πρωτόκολλο βασισμένο στο LWE κρυπτοσύστημα, το οποίο περιλαμβάνει πρωτόκολλο ανταλλαγής κλειδιών και ένα σχήμα κρυπτογράφησης δημόσιου κλειδιού. Ο κρυπτογραφικός μας αλγόριθμος εφαρμόζεται, αναλύεται αυστηρά ως προς την ασφάλεια και την αποτελεσματικότητά του, με έμφαση στη δυνατότητα εφαρμογής του. Εισάγουμε μια βελτιστοποίηση του LWE, κατασκευάζοντας ένα πιο σύνθετο κρυπτογραφικό πρωτόκολλο για κρυπτογράφηση one-to-oneκαι το σχήμα μας είναι ένα σύστημα που βασίζεται στο LWE και εφαρμόζεται σε σύγχρονες πλατφόρμες που χρησιμοποιούν κρυπτογράφηση. Αυτές οι εφαρμογές απεικονίζουν την ευελιξία και τις δυνατότητες του LWE ως θεμελιώδους εργαλείου στο ευρύτερο τοπίο της κρυπτογραφικής έρευνας.Αυτή η διατριβή συμβάλλει στην πρόοδο της κρυπτογραφίας με βάση τα δικτυωτά παρέχοντας θεωρητικές γνώσεις, πρακτικές υλοποιήσεις και ένα καινοτόμο βελτιστοποιημένο κρυπτοσύστημα βασισμένο στο Learning with Errors. Τα ευρήματα μας υποστηρίζουν την υιοθέτηση κρυπτογραφικών συστημάτων που βασίζονται στο LWE ως ακρογωνιαίο λίθο της ασφαλούς επικοινωνίας στη μετα-κβαντική εποχή.
Ένας σχετικά νέος τομέας ενεργής έρευνας που συνδυάζει την κβαντική οπτική, τη νανοφωτονική και την κβαντική τεχνολογία ασχολείται με τη μελέτη των οπτικών ιδιοτήτων πολύπλοκων φωτονικών δομών που περιέχουν κβαντικά συστήματα, όπως είναι οι κβαντικές τελείες ημιαγωγών και οι πλασμονικές νανοδομές. Η παρούσα διδακτορική διατριβή εμπίπτει σε αυτό το ερευνητικό πεδίο και παρουσιάζει μια θεωρητική και υπολογιστική μελέτη της οπτικά ελεγχόμενης δυναμικής ημιαγώγιμων κβαντικών τελειών ισχυρά συνδεδεμένων με πλασμονικές νανοδομές. Συγκεκριμένα, μελετάται η ελεγχόμενη μεταφορά πληθυσμών σε καταστάσεις εξιτονίων και δι-εξιτονίων σε ημιαγωγικές κβαντικές τελείες υπό την επίδραση μιας πλασμονικής νανοδομής, χρησιμοποιώντας τόσο συμβατικές όσο και νέες μεθόδους κβαντικού ελέγχου, όπως είναι η χρήση αναλυτικά παραγόμενων παλμών συγκεκριμένου σχήματος, εφαρμογή της μεθόδου ταχείας αδιαβατικής μεταφοράς (εφαρμογή παλμών chirped), εφαρμογή μεθόδων που βασίζονται σε συντομεύσεις της αδιαβατικότητας και εφαρμογή ειδικά σχεδιασμένων παλμών on-off. Προκειμένου να μελετήσουμε τη συνεκτική αλληλεπίδραση των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων με τις συζευγμένες κβαντικές-πλασμονικές νανοδομές συνδυάζουμε υπολογισμούς κβαντικής δυναμικής με ηλεκτρομαγνητικούς υπολογισμούς και επιλύουμε τις σχετικές εξισώσεις πινάκων πυκνότητας. Τα αποτελέσματα της διδακτορικής διατριβής μπορούν να χρησιμοποιηθούν τόσο για την υλοποίηση γρήγορων οπτικών διακοπτών και ευαίσθητων αισθητήρων στη νανοκλίμακα, όσο και για θεμελιώδη προβλήματα της κβαντικής τεχνολογίας, όπως είναι η ελεγχόμενη δυναμική των κβαντικών bits και η παραγωγή περιπλεγμένων ή μεμονωμένων φωτονίων.
Τα φάρμακα μέσω της αλληλεπίδρασης τους κυρίως με συγκεκριμένες πρωτεΐνες-στόχους, ρυθμίζουν βιοχημικά μονοπάτια και φυσιολογικές λειτουργίες με στόχο την πρόληψη και τη θεραπεία των διαφόρων ασθενειών. Το αυξανόμενο κόστος και οι μακροχρόνιοι περίοδοι ανάπτυξης των νέων φαρμάκων αποτελούν σημαντική πρόκληση για τη φαρμακοβιομηχανία. Σύμφωνα με πρόσφατα δεδομένα, το 92.5% των υποψηφίων φαρμάκων αποτυγχάνει. Αυτό οδηγεί σε σημαντική απώλεια πόρων και χρόνου με το μέσο συνολικό κόστος ανάπτυξης ενός φαρμάκου να ανέρχεται στα 879.3 εκατομμύρια δολάρια και τον μέσο χρόνο ανάπτυξης του στα 15 χρόνια. Το κόστος της ανάπτυξης νέων φαρμάκων αναμένεται να συνεχίσει να αυξάνεται στο μέλλον, γεγονός που κάνει επιτακτική την ανάγκη εύρεσης νέων προσεγγίσεων που θα μειώσουν το κόστος και τον χρόνο ανάπτυξης. Τα τελευταία χρόνια, η μηχανική μάθηση έχει συνεισφέρει σημαντικά προς αυτή την κατεύθυνση. Επιπλέον, η μεγάλη αύξηση των διαθέσιμων βιολογικών δεδομένων έχει βοηθήσει τις μεθόδους βαθιάς μάθησης να επιδείξουν ανώτερες επιδόσεις σε σύγκριση με τη συμβατική μηχανική μάθηση και άλλες παραδοσιακές υπολογιστικές μεθόδους. Ωστόσο, οι μέθοδοι αυτές είναι πολύπλοκες και χρονοβόρες, γεγονός που αποτελεί σημαντικό εμπόδιο στην πρακτική εφαρμογή τους. Στο πλαίσιο αυτό, η κβαντική υπολογιστική και η κβαντική μηχανική μάθηση προσφέρουν θεωρητικά υποσχόμενες λύσεις για την αποτελεσματική αντιμετώπιση αυτών των προκλήσεων. Η παρούσα διατριβή πραγματεύεται τη κλασική μηχανική μάθηση και την κβαντική υπολογιστική, καθώς και τον τρόπο με τον οποίο αυτά τα πεδία μπορούν να συνδυαστούν αποτελεσματικά, στη δημιουργία ενός νέου ερευνητικού πεδίου αυτό της κβαντικής μηχανικής μάθησης. Επιπλέον, στη συγκεκριμένη εργασία παρουσιάζονται αναλυτικά οι εφαρμογές της κβαντικής μηχανικής μάθησης στο πεδίο της ανακάλυψης φαρμάκων. Η πρόβλεψη της συγγένειας πρόσδεσης φαρμάκων σε πρωτεΐνες-στόχους, είναι ένα από τα πιο σημαντικά θέματα στην ανακάλυψη φαρμάκων. Παρουσιάζουμε τους κλασικούς αλγόριθμους μηχανικής μάθησης που προβλέπουν τη συγγένεια πρόσδεσης και συζητάμε διάφορα θέματα όπως η αναπαράσταση των δεδομένων. Προτείνουμε υβριδικά κβαντο-κλασικά νευρωνικά δίκτυα για την πρόβλεψη της συγγένειας πρόσδεσης πρωτεΐνης-στόχου και πιθανού φαρμάκου καθώς και ένα πλαίσιο υλοποίησης και αξιολόγησης κλασικών και υβριδικών κβαντο-κλασικών νευρωνικών δικτύων. Αρχικά, σχεδιάζουμε ένα μεταβλητό κβαντικό αλγόριθμο για την πρόβλεψη τιμών και ένα κλασικό συνελικτικό νευρωνικό δίκτυο μιας διάστασης για την παράλληλη εξαγωγή χαρακτηριστικών των πρωτεϊνών και των φαρμάκων. Διατηρώντας το κλασικό συνελικτικό νευρωνικό δίκτυο σταθερό, υλοποιούμε διάφορα κλασικά και υβριδικά κβαντο-κλασικά μοντέλα. Στην κλασική προσέγγιση, υλοποιούνται τρία κλασικά τμήματα πρόβλεψης διαφορετικών πολυπλοκοτήτων χρησιμοποιώντας τρία πλήρως συνδεδεμένα στρώματα. Ενώ στην υβριδική προσέγγιση, υλοποιούνται πέντε κβαντικά τμήματα πρόβλεψης, συνδυάζοντας τον μεταβλητό κβαντικό αλγόριθμο πρόβλεψης, με διαφορετικές κβαντικές κωδικοποιήσεις, και με κβαντικά κυκλώματα διαφορετικών qubits. Τα πειράματα εκτελέστηκαν σε προσομοιωτή και τα ευρήματά μας δείχνουν σαφώς ότι τα υβριδικά κβαντο-κλασικά μοντέλα με χαμηλότερη πολυπλοκότητα αποδίδουν βελτιωμένη ακρίβεια και γενίκευση, επιδεικνύοντας το κβαντικό πλεονέκτημα. Επιπλέον, τα υβριδικά μοντέλα επιταχύνουν τη διαδικασία εκπαίδευσης όσον αφορά τις επαναλήψεις και επιτυγχάνουν ταχύτερη σταθεροποίηση. Τα ευρήματα υποδεικνύουν ότι η κβαντική μηχανική μάθηση αποτελεί μια υποσχόμενη κατεύθυνση. Τέλος, η παρούσα διατριβή παρέχει σημαντικές γνώσεις και μεθοδολογίες που μπορούν να βελτιώσουν την εφαρμογή και την αξιολόγηση των τεχνικών κβαντικής μηχανικής μάθησης, ενισχύοντας την πρακτική εφαρμογή τους σε κβαντικές θορυβώδες- ενδιάμεσης κλίμακας συσκευές.
Οι πρόσφατες εξελίξεις στον τομέα της πειραματικής κατασκευής κβαντικών υπολογιστών με εξαρτήματα αυξημένης αξιοπιστίας δείχνει ότι η κατασκευή τέτοιων μεγάλων μηχανών βασισμένων στις αρχές της κβαντικής φυσικής είναι πιθανή στο κοντινό μέλλον. Καθώς το μέγεθος των μελλοντικών κβαντικών υπολογιστών θα αυξάνεται, η σχεδίαση αποδοτικότερων κβαντικών κυκλωμάτων και μεθόδων σχεδίασης θα αποκτήσει σταδιακά πρακτικό ενδιαφέρον. Η συνεισφορά της διατριβής στην κατεύθυνση της σχεδίασης αποδοτικών κβαντικών κυκλωμάτων είναι διττή: Η πρώτη είναι η σχεδίαση καινοτόμων αποδοτικών αριθμητικών κβαντικών κυκλωμάτων βασισμένων στον Κβαντικό Μετασχηματισμό Fourier (QFT), όπως πολλαπλασιαστής-με-σταθερά-συσσωρευτής (MAC) και διαιρέτης με σταθερά, με γραμμικό βάθος (ή ταχύτητα) ως προς τον αριθμό ψηφίων των ακεραίων. Αυτά τα κυκλώματα συνδυάζονται αποτελεσματικά ώστε να επιτελέσουν την πράξη του modulo πολλαπλασιασμού με σταθερά με γραμμική πολυπλοκότητα χρόνου και χώρου και συνεπώς μπορούν να επιτελέσουν την πράξη της modulo εκθετικοποίησης (modular exponentiation) με τετραγωνική πολυπλοκότητα χρόνου και γραμμική πολυπλοκότητα χώρου. Οι πράξεις της modulo εκθετικοποίησης και του modulo πολλαπλασιασμού είναι αναπόσπαστα μέρη του σημαντικού κβαντικού αλγορίθμου παραγοντοποίησης του Shor, αλλά και άλλων κβαντικών αλγορίθμων της ίδιας οικογένειας, γνωστών ως κβαντική εκτίμηση φάσης (Quantum Phase Estimation). Αντιμετωπίζονται με αποτελεσματικό τρόπο σημαντικά προβλήματα υλοποίησης, που σχετίζονται με την απαίτηση χρήσης κβαντικών πυλών περιστροφής υψηλής ακρίβειας, καθώς και της χρήσης τοπικών επικοινωνιών. Η δεύτερη συνεισφορά της διατριβής είναι μία γενική μεθοδολογία ιεραρχικής σύνθεσης κβαντικών και αντιστρέψιμων κυκλωμάτων αυθαίρετης πολυπλοκότητας και μεγέθους. Η ιεραρχική μέθοδος σύνθεσης χειρίζεται καλύτερα μεγάλα κυκλώματα σε σχέση με τις επίπεδες μεθόδους σύνθεσης. Η προτεινόμενη μέθοδος προσφέρει πλεονεκτήματα σε σχέση με τις συνήθεις ιεραρχικές συνθέσεις που χρησιμοποιούν την μέθοδο "υπολογισμός-αντιγραφή-αντίστροφος υπολογισμός" του Bennett.
Η Κβαντική Θεωρία Πεδίου ενοποιεί τη κβαντική θεωρία με την (ειδική) θεωρία της σχετικότητας και είναι η περισσότερο πειραματικά επιβεβαιωμένη θεωρία εως σήμερα. Αυτή η ενοποίηση κβαντικής θεωρίας και σχετικότητας αφορά τους νόμους της δυναμικής εξέλιξης, ενώ μέχρι σήμερα δεν υπάρχει πλήρης και κοινώς αποδεκτή θεωρία μέτρησης (π.χ. αναγωγή της κβαντικής κατάστασης) για τη Κβαντική Θεωρία Πεδίου που να μην παραβιάζει τις αρχές της θεωρίας της σχετικότητας. Τα μοντέλα μέτρησης είναι χρήσιμα εργαλεία για την περιγραφή των τοπικών μετρήσεων στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου, μέσω της τοπικής σύζευξης ενός κβαντομηχανικού συστήματος μέτρησης (ανιχνευτή) στο κβαντικό πεδίο. Σε αυτήν την διατριβή μελετάμε θεμελιώδεις πτυχές των μοντέλων μέτρησης στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου, σε σχέση με τον σωματιδιακό εντοπισμό και την αιτιακή μετάδοση πληροφορίας. Αναλύουμε τις ασυμβατότητες που προκύπτουν μεταξύ των προβλέψεων των μοντέλων και συγκεκριμένων εννοιών σχετικιστικής αιτιότητας π.χ. την απαίτηση για μη υπερφωτεινή μετάδοση σήματος. Χαρακτηρίζουμε την τοπική πληροφορία που μπορεί να εξαχθεί από το κβαντικό πεδίο μέσω μιας σειράς μοντέλων μέτρησης, για ασθενείς και ισχυρές αλληλεπιδράσεις μεταξύ του ανιχνευτή και του κβαντικού πεδίου, χρησιμοποιώντας διαταρακτικές και μη διαταρακτικές μεθόδους αντίστοιχα. Με βάση τη κβαντική μετρολογία, ορίζουμε έναν νέο εκτιμητή που ποσοτικοποιεί την πληροφορία που λαμβάνει ο ανιχνευτής, τον οποίο χρησιμοποιούμε για να αναλύσουμε ποιοτικά και ποσοτικά την πληροφορία που μπορεί να μεταδοθεί αξιόπιστα μέσω του κβαντικού πεδίου. Επίσης, μελετάμε περιπτώσεις 'αδύνατων μετρήσεων' (Sorkin 1993) στις οποίες το αξίωμα της μικροαιτιότητας στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου δεν επαρκεί για τον αποκλεισμό της υπερφωτεινής μετάδοσης πληροφορίας μεταξύ απομακρυσμένων ανιχνευτών που είναι συζευγμένοι με το κβαντικό πεδίο. Από τη σκοπιά της Κβαντικής Θεωρίας Πεδίου όπως χρησιμοποιείται στη φυσική υψηλών ενεργειών, τα κβαντικά πεδία περιγράφουν τη δυναμική και τις συμμετρίες μίας σειράς σωματιδίων. 'Όμως υπάρχουν θεωρήματα τα οποία αναδεικνύουν ότι η Κβαντική Θεωρία Πεδίου δεν επιδέχεται ερμηνεία μόνο με βάση την έννοια του σωματιδίου, ή μόνο με βάση την έννοια του πεδίου. Επανεξετάζουμε τον κυματοσωματιδιακό δυισμό στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου με βάση την απόκριση των ανιχνευτών σε διάφορα μοντέλα μέτρησης, και συγκρίνουμε τις προβλέψεις διαφορετικών μοντέλων για κυματοπακέτα ή συνεκτικές καταστάσεις του πεδίου. Στην περίπτωση ασθενούς σύζευξης πεδίου-ανιχνευτή, ανακτούμε σωματιδιακή φαινομενολογία που σχετίζεται με το φαινόμενο του συντονισμού και του 'χρόνου άφιξης' του κυματοπακέτου. Στην περίπτωση ισχυρής σύζευξης πεδίου-ανιχνευτή, δείχνουμε πώς μια συνεχής μεταβλητή του ανιχνευτή συσχετίζεται με τις πεδιακές μέσες τιμές. Τέλος, με βάση επιλύσημα μοντέλα, προτείνουμε ένα βελτιωμένο μοντέλο μέτρησης το οποίο μπορεί να περιγράψει τις περιπτώσεις ασθενούς, ισχυρής, αλλά και ενδιάμεσης σύζευξης. Εκτός από τη βελτιωμένη περιγραφή της τοπικής μέτρησης πεδίων και σωματιδίων, αυτό το μοντέλο αναδεικνύει ότι ο σωματιδιακός δυισμός ρυθμίζεται από μία μόνο παράμετρο, την ισχύ της σύζευξης μεταξύ πεδίου και ανιχνευτή. Αυτή είναι μία νέα πτυχή των τοπικών μετρήσεων μέσω μοντέλων μέτρησης στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου, η οποία μπορεί να διερευνηθεί και πειραματικά σε πειραματικές διατάξεις στις οποίες η ισχύ σύζευξης δεν είναι δεδομένη, αλλά μεταβαλόμενη (π.χ. οπτομηχανική σε κοιλότητα). Συνολικά, η έρευνα αυτή συμβάλλει στην καλύτερη κατανόηση και εφαρμογή των μοντέλων μέτρησης, με σκοπό τη συνεπή εφαρμογή τους στον τομέα της κβαντικής οπτικής και της σχετικιστικής κβαντικής πληροφορίας.
Στις μέρες μας, με την κατά κόρον χρήση υπολογιστικών συστημάτων σε διάφορες μορφές η κρυπτογραφία είναι απαραίτητη για να διασφαλίζει την ασφάλεια της επικοινωνίας και των δεδομένων μας. Παίζει καθοριστικό ρόλο για την ασφάλεια των πληροφοριών και βασίζεται σε αλγορίθμους κρυπτογραφίας που στηρίζονται σε δύσκολα μαθηματικά και υπολογιστικά ανέφικτα προβλήματα. Τα δύσκολα αυτά προβλήματα όμως θα επιλύονται εύκολα από τους κβαντικούς υπολογιστές όταν αυτοί διαδοθούν ευρέως. Συνεπώς, τότε πολλά από τα υπάρχοντα και ευρέως χρησιμοποιούμενα κρυπτοσυστήματα θα γίνουν ευάλωτα και εντελώς άχρηστα καθώς θα μπορούν πανεύκολα να «σπάσουν». Στην προσπάθεια αντιμετώπισης του προβλήματος και διαφύλαξης της ασφάλειας των δεδομένων, οι ερευνητές και οι επιστήμονες ξεκίνησαν να αναπτύσουν αλγορίθμους μετακβαντικής κρυπτογραφίας, αξιοποιώντας ακόμη δυσκολότερα προβλήματα που μπορούν να είναι άτρωτα από επιθέσεις κβαντικών υπολογιστών. Το 2015 το Εθνικό Ινστιτούτο Προτύπων και Τεχνολογίας των Η.Π.Α. (NIST) ξεκίνησε έναν δημόσιο διαγωνισμό αξιολόγησης και προτυποποίησης αλγορίθμων δημόσιου κλειδιού ανθεκτικών στην κβαντική τεχνολογία. Μετά από τρεις γύρους, το NIST κατέληξε σε τέσσερις αλγορίθμους ΚΕΜ και πλέον τους αξιολογεί βάσει του κόστους και της απόδοσης. Σύμφωνα με το Ινστιτούτο, οι αλγόριθμοι με βάση το πλέγμα είναι οι πιο υποσχόμενοι. Το 2022 ο αλγόριθμος CRYSTALS-Kyber επιλέχθηκε μεταξύ των τεσσάρων φιναλίστ και αναμένετε να προτυποποιηθεί τα προσεχή χρόνια. Τα κλειδιά του αλγορίθμου είναι μικρά και ανταλλάσσοντια εύκολα και είναι ιδιαίτερα γρήγορος. Ένα από τα θεμελιώδη στοιχεία ενός οποιουδήποτε αλγορίθμου μετά-κβαντικής κρυπτογραφίας είναι αυτό που αφορά τα πρωτόγονα PQC. Αυτά, εγγυώνται την ασφάλεια του αλγορίθμου εκτελώντας μια συγκεκριμένη διαδικασία με απίστευτη ακρίβεια και ορθότητα. Η υλοποίηση μιας αρχιτεκτονικής που υλοποιεί αυτά τα πρωτόγονα μπορεί να μειώσει σημαντικά την κατάληχη πόρων υλικού, επιτυγχάνοντας μια μονάδα με καλύτερη απόδοση που συνεπώς θα βελτιώσει τη συνολική απόδοση του αλγορίθμου. Στην παρούσα διπλωματική εργασία, παρουσιάζουμε μια ειδική υλοποίησης σε υλικό του υψηλότερου σε κατανάλωση στοιχείου του αλγορίθμου CRYSTALS-Kyber. Η αρχιτεκτονική υλοποιήθηκε για την έκδοση Kyber-768 (Επίπεδο ασφαλείας ΙΙΙ) και υλοποιεί όλα τα πρωτόγονα SHA-3 που απαιτεί ο αλγόριθμος.