A diszkrét koherens állapot szupeprozícókkal történő állapotközelítésre vonatkozó eredményekből kiindulva felmerült, hogy \nolyan alakzatokon is érdemes lenne megvizsgálni a közelítést, ahol a diszkrét szuperpozíciók megtalálásához egydimenziós reprezentációk nem állnak rendelkezésre. Az irodalomban tapasztalat az is, hogy az állapotok Wigner-függvényére illeszkedő alakzatokon vett koherens állapot szuperpozíciók közelítik jól ezen állapotokat. Ezért célom, hogy numerikus módszert dolgozzak \nki különböző nemklasszikus állapotokat közelítő a fázistér origó középpontú ellipszisei mentén és rácson vett diszkrét koherens \nállapot szuperpozíciók megtalálására. Célom, hogy az összenyomott és eltolt fotonszámállapotok esetén megvizsgáljam, hogy \na fázistér origó középpontú ellipszein vett koherens állapot szuperpozíciók megfelelő pontossággal közelítik-e az adott állapotot. \nCélom, hogy megállapítsam, hogy a kvantált elektromágneses tér mely állapotai közelíthetőek nagy pontossággal rácson vett koherens állapot szuperpozíciókkal.
A diszkrét koherens állapot szupeprozícókkal történő állapotközelítésre vonatkozó eredményekből kiindulva felmerült, hogy \nolyan alakzatokon is érdemes lenne megvizsgálni a közelítést, ahol a diszkrét szuperpozíciók megtalálásához egydimenziós reprezentációk nem állnak rendelkezésre. Az irodalomban tapasztalat az is, hogy az állapotok Wigner-függvényére illeszkedő alakzatokon vett koherens állapot szuperpozíciók közelítik jól ezen állapotokat. Ezért célom, hogy numerikus módszert dolgozzak \nki különböző nemklasszikus állapotokat közelítő a fázistér origó középpontú ellipszisei mentén és rácson vett diszkrét koherens \nállapot szuperpozíciók megtalálására. Célom, hogy az összenyomott és eltolt fotonszámállapotok esetén megvizsgáljam, hogy \na fázistér origó középpontú ellipszein vett koherens állapot szuperpozíciók megfelelő pontossággal közelítik-e az adott állapotot. \nCélom, hogy megállapítsam, hogy a kvantált elektromágneses tér mely állapotai közelíthetőek nagy pontossággal rácson vett koherens állapot szuperpozíciókkal.
A poszt-kvantum kriptográfiai algoritmusok elemzése egy nagyszerű téma, mely sosem volt még ennyire aktuális és izgalmakkal teli. Azért választottam ezt a témát, mivel rendkívül elkezdett érdekelni a kriptográfia a témaválasztás idején, emellett a matematikai alapokon nyugvó tudományhoz mindig is rendkívül közel álltam. Ezen téma nagyszerű volt a saját tudásom gyarapítására, arra, hogy igazán elmélyülhessek a jövő izgalmas felfedezéseibe. A téma egy rendkívül fontos dolgot tárgyal, hiszen valamilyen szinten mindenkit érint, aki részese a digitális életnek. A kriptográfiai algoritmusok feltörése, bárhogyan is kerüljön arra sor, egy katasztrófa lenne, és eddig szerencsére erre nem is igazán volt példa rá. Az, hogy a kvantumszámítógépek bonyodalmat lesznek képesek okozni, többé nem egy kérdés, és nem csak elméletben vagy képzeletben létezik, hiszen már hihetetlen erővel dolgoznak rajta, és jelen vannak a köztudatban. Érdemes ezért elgondolkodni, hogy milyen lépéseket teszünk az adataink, a digitális identitásunk védelmében, hiszen bizonytalanság övezi azt, hogy vajon mikor lesznek elég erősek a kvantumszámítógépek ahhoz, hogy a mostani, legerősebb titkosításaink feltörjék. Úgy érzem, hogy rendkívül szerencsés voltam a témával kapcsolatban, mivel az egész folyamat éppen körülöttem történik, és szemtanúja lehetek a változásoknak, amiket előidéz.
A magyar törvénykezésben megjelentek azok a rendeletek, amelyek ráerősítenek arra, hogy gyorsan közeledünk a kvantumszámítógépek korszakához. A teljesen újszerű elveken működő kvantumszámítógépek korábban nem megoldható problémákra hatékony és gyors megoldásokat ígérnek. Az új típusú gépek megjelenése várhatóan nem csak az informatika, a gazdaság és a különféle tudományok területén hoz nagy változásokat, hanem valószínűsíthetően a mindennapi életünkre is erősen hatással lesz. Szükségét érezzük, hogy az oktatási szféra is kövesse a kvantumtechnológia megjelenését, hogy ne érje váratlanul a jövő szakembereit. A tanulmányban szóba kerülnek a témával kapcsolatos jogszabályok, az érintett szakterületek és a kvantuminformatikában rejlő lehetőségek és veszélyek. Továbbá írunk arról, hogy milyen tapasztalatok vannak eddig a kvantuminformatika tanításának gyakorlatában.
A disszertáció különböző matematikai struktúrákon értelmezett megőrzési problémákat, valamint szeparációs tételeket tartalmaz. Az első fejezetben azon transzformációk szerkezete kerül leírásra, melyek invariánsan hagynak egy, a kvantum-információelméletben fontos szerepet játszó mennyiséget. Nevezetesen, a sűrűségoperátorokon értelmezett azon transzformációk szerkezete kerül leírásra, melyek egy adott, szigorúan konvex f függvény esetén invariánsan hagyják az ún. kvantum f-divergenciát. Jól ismert tény, hogy speciális f függvény választásával a kvantum f-divergencia definíciója az Umegaki relatív entrópia fogalmához vezet. A második fejezetben leírásra kerültek azon szürjektív transzformációk, melyek a pozitív definit mátrixok terén vannak értelmezve és megőriznek egy adott, unitér-invariáns normával illetve bizonyos feltételeknek eleget tevő folytonos valós függvénnyel paraméterezett, úgynevezett általánosított távolság mértéket. A harmadik fejezet az általánosított eloszlásfüggvények tere Kolmogorov-Smirnov izometriáinak alakjáról szól. A negyedik és ötödik fejezet szeparációs problémákat tartalmaz. Egy jól ismert szeparációs tétel szerint, ha egy konvex függvény egy konkáv “felett” helyezkedik el, akkor létezik a kettő között egy affin függvény. Sőt, két tetszőleges függvény esetén adható az affin szeparáció jellemzésére egy szükséges és elégséges feltétel. A negyedik fejezetben a fenti tétel általánosítása szerepel. Nevezetesen, azon valós függvény párokat jellemzése, melyek egy n-ed rendű konvex Beckenbach család tagjával szeparálhatóak. Az utolsó fejezet fő eredménye Baron, Matkowski és Nikodem valós függvénypárok konvex függvénnyel való szeparációjáról szóló tételét általánosítja. Karakterizálja azon valós függvénypárokat, amelyek egy kétdimenziós Csebisev rendszer valamely elemével szétválaszthatóak.
Ebben a tanulmányban a kvantumelmélet interpretációiról igyekszem rövid áttekintést nyújtani. Az interpretációkat a mérési problémára adott válaszaik alapján fogom osztályozni. A mérési probléma az alábbi három állítás inkonzisztenciájaként fogalmazható meg: 1) A kvantumállapot az egyedi fizikai rendszereket teljes körűen jellemző ontikus állapot. 2) A kvantumelmélet dinamikája univerzális. 3) A kvantumelmélet számot ad amérési kimenetekről. Az elmélet interpretációi tehát az alapján csoportosíthatók, hogy a fenti három állításból melyiket fogadják el és melyiket adják fel.
A közelmúltban a kvantumszámítógépek jelentős érdeklődést váltottak ki, ami nem csak potenciális technológiai jelentőségét tükrözi, de komoly kihívást is jelent fizikai megvalósítása. Egy kvantumszámítógép megépítésének nehézsége abban rejlik, hogy olyan fizikai rendszert találjunk, amely rendelkezik a informatikai számításokhoz szükséges nemlineáris kölcsönhatásokkal, és ezzel egyidejűleg vezérelhető is, de nem kapcsolódik olyan erősen a környezethez, hogy a kvantumkoherencia gyorsan elvesszen. Ezért dolgozatom első részében áttekintem egy kvantum-Turing gép főbb részeit és tulajdonságait. A mágneses magrezonancia (NMR) spektroszkópia sokáig vezető szerepet játszott abban, hogy kis méretben viszonylag egyszerű eszköze legyen a technológia demonstrálásának. A Bell-egyenlőtlenségek által leírt két kvantumos rendszer létrehozásával, egyszerű kvantum logikai áramkörök és logikai kapuk kialakításával és effektív tiszta állapotok megvalósításával olyan kísérletek hajthatóak végre, amelyekkel a kvantumösszefonódás és ennek hatása vizsgálható. Ezeknek a kísérleteknek a szimulálásával a kvantummechanika jobban megérthető és segítik az elméleti hátteret mélyebben megismerni. Így a második felében a dolgozatomnak ezeknek a technikáknak a sajátosságait vettem át.
A tanulmányban a kvantumelmélet modális interpretációját mutatjuk be. Az interpretáció különlegessége abban áll, hogy amíg más klasszikus fizikai elméletekben, illetve a kvantumelmélet egyéb interpretációiban a rendszer szinkron, azaz egy időben lehetséges állapotai egyszer s mindenkorra rögzítettek, addig a kvantumelmélet modális interpretációja esetében a szinkron lehetőségek köre időben változhat. Más elméletektől eltérően tehát a modális interpretációban a rendszer fejlődése nem az aktuális állapototragadja magával, hanem a lehetséges állapotok holdudvarát.