Die Quantenfeldtheorie freier Teilchen ergibt sich durch dreimalige Quantelung einer einfachen Alternative. 1. Mehrfache Quantelung wird als iterierte Anwendung der „Quantenlogik“ aufgefaßt. 2. a) Der eine gequantelte einfache Alternative kennzeichnende Zweierspinor u A definiert einen Null-Vierer-Vektor kμ; dieser wird als Impulsvektor eines masselosen Teilchens gedeutet, b) Der zweite Quantelungsschritt definiert eine Impulsraumwellenfunktion φ (kμ); aus kμ kμ=0 folgt die Wellengleichung kμ kμ φ=0 bzw. ❑ ψ(χν) =0. Die Feldquantelung erscheint nun als dritter Quantelungsschritt. 3. Faßt man kμ als Impuls- und Spinvektor eines masselosen Fermions auf, so folgt für dieses die zweikomponentige WEYLSChe Wellengleichung kμ σμφ=0. 4. Erweiterung der Quantelungsvorschrift durch Charakterisierung jeder Aussage erster Stufe durch zwei komplexe Zahlen (Verdoppelung des Zustandsraumes) führt zu einer der neuen HEISENBERG—PAULISCHEN Gleichung formal nahe verwandten Gleichung sowie zur kräftefreien DIRAC-Gleichung mit endlicher Ruhemasse. 5. Verdoppelung des Zustandsraumes der zweiten Stufe liefert Antimaterie. 6. Kopplung zweier einfacher Alternativen liefert die MAxwELL-Gleichungen. 7. Die (n+1)-te Quantelungsstufe motiviert die statistische Deutung der ψ-Funktion der n-ten Stufe. 8. Einordnung der in II betrachteten einfachen Alternativen. 9. a) Frage nach einer konsequenten Quantelungsvorschrift. Quantelung in der zweiten Stufe mit der V. R. [uA uB*] =δAB liefert einen kleinsten Impuls und gekrümmten Ortsraum, b) Mögliche Beziehungen zur Theorie der Wechselwirkung.
Die Quantenfeldtheorie freier Teilchen ergibt sich durch dreimalige Quantelung einer einfachen Alternative. 1. Mehrfache Quantelung wird als iterierte Anwendung der „Quantenlogik“ aufgefaßt. 2. a) Der eine gequantelte einfache Alternative kennzeichnende Zweierspinor u A definiert einen Null-Vierer-Vektor kμ; dieser wird als Impulsvektor eines masselosen Teilchens gedeutet, b) Der zweite Quantelungsschritt definiert eine Impulsraumwellenfunktion φ (kμ); aus kμ kμ=0 folgt die Wellengleichung kμ kμ φ=0 bzw. ❑ ψ(χν) =0. Die Feldquantelung erscheint nun als dritter Quantelungsschritt. 3. Faßt man kμ als Impuls- und Spinvektor eines masselosen Fermions auf, so folgt für dieses die zweikomponentige WEYLSChe Wellengleichung kμ σμφ=0. 4. Erweiterung der Quantelungsvorschrift durch Charakterisierung jeder Aussage erster Stufe durch zwei komplexe Zahlen (Verdoppelung des Zustandsraumes) führt zu einer der neuen HEISENBERG—PAULISCHEN Gleichung formal nahe verwandten Gleichung sowie zur kräftefreien DIRAC-Gleichung mit endlicher Ruhemasse. 5. Verdoppelung des Zustandsraumes der zweiten Stufe liefert Antimaterie. 6. Kopplung zweier einfacher Alternativen liefert die MAxwELL-Gleichungen. 7. Die (n+1)-te Quantelungsstufe motiviert die statistische Deutung der ψ-Funktion der n-ten Stufe. 8. Einordnung der in II betrachteten einfachen Alternativen. 9. a) Frage nach einer konsequenten Quantelungsvorschrift. Quantelung in der zweiten Stufe mit der V. R. [uA uB*] =δAB liefert einen kleinsten Impuls und gekrümmten Ortsraum, b) Mögliche Beziehungen zur Theorie der Wechselwirkung.
Bekanntlich gelangt man von der elektromagnetischen Maxwellschen Wellentheorie des Lichtes zur Existenz der Lichtkorpuskeln durch eine Quantelung des elektromagnetischen Feldes, indem man die elektrische und magnetische Feldstärke E und H als Matrizen auffaßt. Ausgehend von dieser Erkenntnis erhebt sich die Frage, ob sich nicht eine Theorie entwickeln läßt, die das Mehrteilchenproblem mit dreidimensionalen Wellenvorgängen in der Weise in Verbindung bringt, daß aus den dreidimensionalen Wellen die Korpuskeln in ähnlicher Weise durch eine Quantelung entstehen wie die Lichtteilchen durch eine Quantelung des elektromagnetischen Feldes. Dies ist tatsächlich möglich, und den Bemühungen von Jordan, Pauli, Klein, Wigner, Dirac und Heisenberg gelang es, auf dieser Grundlage eine konsequente Mehrteilchentheorie zu entwickeln1). Der Gedanke ist der, daß man die der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung genügende Wellenfunktion Ψ ganz analog den Feldstärken der elektromagnetischen Wellentheorie als Matrix einführt. Man türmt also zwei Quantelungen aufeinander: erstens indem man beim Einkörperproblem von der klassischen Hamilton-Jacobischen Gleichung zur Schrödinger-Gleichung übergeht und zweitens indem man dann die Schrödinger-Gleichung ihrerseits als klassische Gleichung auffaßt, aus der man erst durch eine weitere Quante-lung, d. h. Einführung von Matrizen, zur endgültigen Mehrteilchentheorie gelangt. Dem entspricht die Bezeichnung Wellenquantelung, zweite Quantelung oder Supraquantelung.
Für lokale Wechselwirkungen zwischen asymptotisch freien Teilchen bietet die QED eine äußerst exakte Beschreibung. Anders sieht es jedoch für gebundene Teilchen aus, wo die Teilchen "kontinuierlich" wechselwirken. Für zwei Teilchen existiert zwar die Bethe-Salpeter-Gleichung, die jedoch diverse Interpretationsprobleme aufwirft; für mehr als zwei gebundene Teilchen gibt es noch keine ausgereiften Ansätze. Für gebundene Mehrteilchenprobleme werden deshalb Energiewerte gewöhnlich zuerst semiklassisch berechnet und dann die entsprechenden QED-Korrekturen hinzu addiert. In der vorliegenden Dissertation werden gebundene Mehrteilchenprobleme auf der Grundlage der Relativistischen Schrödinger Theorie (RST) untersucht. Hierbei handelt es sich um einen alternativen fluiddynamischen Ansatz, der auf einer grundlegend anderen Struktur als die konventionelle Quantenmechanik basiert, indem nämlich zur Beschreibung von Mehrteilchenzuständen keine Produktstruktur sondern eine Summenstruktur (Whitney-Summe) verwendet wird. Zudem wird im Rahmen der RST von einer erweiterten Strukturgruppe Gebrauch gemacht, die es ermöglicht, die Austauschwechselwirkungen zwischen identischen Teilchen und die elektromagnetischen Wechselwirkungen auf dieselbe Weise zu behandeln. Dieser Ansatz ermöglicht es auch, QED-analoge Korrekturen, wie z.B. der Selbstwechselwirkung, auf nicht-störungstheoretische Weise in die Theorie zu integrieren. In der hier vorliegenden Arbeit wird nun der allgemeine RST-Ansatz auf den Fall heliumähnlicher Ionen spezialisiert. Es zeigt sich dabei, dass für den semiklassischen Fall ohne Selbstwechselwirkungskorrekturen die mithilfe der RST gewonnenen Wechselwirkungs- und Ionisierungsenergien in derselben Größenordnung liegen wie konventionelle Rechnungen. Die Einbeziehung von Selbstwechselwirkungskorrekturen erfolgt im konventionellen Fall durch Addition dieser Korrekturen zu den semiklassischen Berechnungen, wohingegen bei der RST die Theorie selbst eine Möglichkeit bietet, die Selbstwechselwirkungen exakt zu behandeln, indem man den RST-Selbstwechselwirkungsparameter ungleich Null wählt. Vergleicht man nun die konventionellen Berechnungen und die analogen RST-Ergebnisse mit den experimentellen Daten, so zeigt es sich, dass die RST-Voraussagen für die Ionisierungs-, bzw. Wechselwirkungsenergien näher an den experimentellen Daten liegen als die konventionellen Berechnungen. Die Übereinstimmung mit den experimentellen Daten wird bei wachsender Kernladungszahl (Z>30) immer besser, wenn man den Selbstwechselwirkungsparameter der RST bei einer möglichst hohen Kernladungszahl festlegt (z.B. Wismuth, Z=83).
Die vorliegende Diplomarbeit für das Lehramt Physik beschäftigt sich mit den Inhalten, die im Rahmen der Quantentheorie an der Schule unterrichtet werden sollten. Das Anliegen der vorliegenden Diplomarbeit ist es, Lehrern einen tieferen Einblick in die mathematischen Grundlagen einfacher Probleme der Quantentheorie zu vermitteln sowie Animationen für einen anschaulicheren und mit einfachen mathematischen Rechenregeln auch fachübergreifend umsetzbaren Unterricht zu bewerten. Um diese Aufgabe zu bearbeiten, wird im Kapitel (1) eine Übersicht des derzeitigen Standes aus Informationen bezüglich • des Lehrplanes für Physik, • der Bildungsstandards für das Fach Mathematik an Allgemeinbildenden Höheren Schulen (AHS), • einigen Lehrbuchbeispielen für das Fach Physik und • drei Unterrichtskonzepten gegeben werden. Im Kapitel (2) werden übersichtsweise die Prinzipien sowohl der konventionellen Betrachtung der Quantentheorie als auch der Feynmansche Ansatz vorgestellt. Dann erfolgt im Kapitel (3) eine ausführliche Beschreibung der konventionellen Sichtweise anhand folgender Beispiele der Quantentheorie: • die Wechselwirkung eines Teilchens mit einem Dirac-Potential, • die Wechselwirkung eines Teilchens mit zwei Dirac-Potentialen, • die Wechselwirkung eines Teilchens mit einer Potentialbarriere und • die Rutherfordstreuung. Die Feynmansche Betrachtung dieser Probleme wird im Kapitel (4) vorgestellt und um die Reflexion und Brechung eines Photons an einer dünnen Glasschicht erweitert. Die Inhalte der Kapitel (3) und (4) sind als Hintergrundinformation für den Lehrer gedacht und nicht für den Einsatz in der Schule bestimmt. Jedoch sind diese beiden Kapitel aus hochschuldidaktischer Sicht interessant, weil diese Inhalte als Teil einer Hochschulveranstaltung zur Einführung der Quantentheorie verwendet werden können. Abschließend erfolgt im Kapitel (5) eine Evaluierung von Animationen für den Einsatz im Physikunterricht, um die Prinzipien Feynmanschen Darstellung der Quantentheorie zu illustrieren.
Der Begriff Quantenlogik geht auf Von Neumann und Birkhoff zurück, welche darunter den Verband der abgeschlossenen Unterräume eines separablen Hilbertraumes verstanden haben. In Verallgemeinerung davon werden verschiedene Klassen von Halbordnungen als Quantenlogiken bezeichnet.Ist eine Quantenlogik nicht von vornherein bekannt, so kann man versuchen, mit Hilfe von Messungen, welche zu sog. numerischen Ereignissen führen, diese zu charakterisieren. Insbesondere ist von Interesse, ob man es dann mit einem klassischen oder quantenmechanischen Phänomen zu tun hat.Sei S eine Menge von Zuständen eines physikalischen Systems und p(s) die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses, wenn sich das System im Zustand sausS befindet. Dann definiert p(s) eine Funktion von S nach [0, 1], welche als numerisches Ereignis, genauer, als S-Wahrscheinlichkeit, bezeichnet wird. Ordnet man eine Menge P von S-Wahrscheinlichkeiten bezüglich der Ordnung von reellen Funktionen, schließt die konstanten Funktionen 0 und 1 mit ein und verlangt, dass mit jedem pausP auch 1-p zu P gehört, so erhält man eine halbgeordnete Menge, welche als Quantenlogik interpretiert werden kann. Nach einer Einführung in benötigte physikalische Grundlagen werden verschiedene Klassen von solchen Quantenlogiken hinsichtlich ihrer Struktur untersucht, wobei insbesondere der Frage nachgegangen wird, wann diese Boolesche Algebren bilden, was charakteristisch für das Vorliegen eines klassischen physikalischen Systems ist. Ferner werden Zusammenhänge zwischen verschiedenen Klassen von numerischen Ereignissen studiert, algebraische Repräsentationen angegeben und auf verschiedene Weisen die für die Erkennung eines klassischen Systems so wesentliche Eigenschaft charakterisiert, dass zwei S-Wahrscheinlichkeiten miteinander kommutieren. Darüber hinaus werden Familien von aus Korrelationswahrscheinlichkeiten zusammengesetzten Ungleichungen behandelt, welche die aus der Physik bekannten Bellschen-Ungleichungen verallgemeinern.
Aus dem Korrespondenzprinzip folgt, daß es in Analogie zur relativistischen Mechanik auch eine relativistische Quantenmechanik geben muß. Interessanterweise hat E. Schrödinger noch vor der Schrödinger-Gleichung als erstes eine relativistische “Wellengleichung“ aufgestellt. Er publizierte diese jedoch nicht, weil sie nicht die richtige Feinstruktur der Energieniveaus des Wasserstoffatoms lieferte. Erst, nachdem er bemerkt hatte, daß sie einen brauchbaren nicht-relativistischen Limes liefert, wollte er das nachholen, doch da waren ihm bereits O. Klein und W. Gordon zuvorgekommen. Aus diesem Grund wird die auch von ihm entdeckte Gleichung heute meist als Klein-Gordon-Gleichung bezeichnet. Sie hat sich als korrekte relativistische Gleichung für Spin-0-Teilchen erwiesen und wird daher ausführlich in Kapitel 4 untersucht. Dabei soll der frühere Usus, sie als Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung zu bezeichnen, wieder aufleben. Anders als die Schrödinger-Gleichung enthält die Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung Zeitableitungen zweiter Ordnung. Sie paßt daher zunächst nicht nicht in das in Kapitel Q6 entwickelte allgemeine Schema der Quantenmechanik, kann jedoch durch eine geeignete Umformulierung in dieses eingepaßt werden.
Die Quantentheorie und die Theorie der quantenmechanischen Messung ermoglichen es, Aussagen uber quantenphysikalische Systeme (Atome, Kerne, Elementarteilchen) zu machen, die an diesen Systemen experimentell nachgepruft werden konnen.Beispiele fur solche Aussagen sind z.B. ,,das Elektron hat den Impuls p" oder ,,der Atomkern hat einen Drehimpuls J".Wie fur die Aussagen aller Wissensgebiete wird man zunachst auch fur diese Aussagen erwarten, daR sie den Regeln der Logik gehorchen.Tatsachlich ist das aber nicht der Fall.Es hat sich namlich gezeigt, daB von den Regeln der Aussagenlogik, die zuerst von den Stoikern aufgestellt wurden, spater im Mittelalter und in der modernen mathematischen Logik wieder aufgegriffen wurden, nur noch ein Teil fur Aussagen uber Quantenphanomene richtig bleibtl).2)3 9, 4).Einige dieser Regeln verlieren ihre Gultigkeit.Derjenige Teil der logischen Regeln, der auch noch in der Quantenphysik gilt, wird gewohnlich als Quantenlogik bezeichnet.Es handelt sich also bei der Quantenlogik nicht um eine ,,neue" Logik, die im Bereich des Atomaren gilt, sondern um eine restriktive Logik, die weniger enthalt als die uns bekannte klassische Aussagenlogik.Der heutige Physiker ist im allgemeinen leicht geneigt zu glauben, daR irgendeine Disziplin, die in der Philosophie vergangener Jahrhunderte fur wahr gehalten wurde, durch die moderne Physik widerlegt sei.Das kommt einerseits daher, daR viele Physiker empiristisch denken, d. h. in diesem Falle, daB sie geneigt sind zu glauben, man konne alle auf die Erfahrung bezogenen Behauptungen auch durch Erfahrungen -z.B. der Atomphysikwiderlegen. Anderseits sprechen fur eine solche Einstellung die schlechten Erfahrungen, die die Physik mit Begriffen und Satzen gemacht hat, die in der philosophischen Tradition uberliefert wurden.Die Verknupfung von Raum und Zeit in der Relativitatstheorie oder das Versagen des Kausalgesetzes in der Quantentheorie gehoren zu diesem Problemkreis.Man wird deshalb versucht sein, auch eine Restriktion der Aussagenlogik in der modernen Atomphysik einfach als eine neue Erfahrung hinzunehmen.Dies ist jedoch nicht ohne weiteres moglich.Die groRte Schwierigkeit, die sich einer solchen Einstellung entgegenstellt, ist die Tatsache, daB die klassische Aussagenlogik wahr ist.Und zwar ist die Aussagenlogik keineswegs in einem empirischen Sinne wahr, sondern sie ist wahr durch das unmittelbare Einleuchten (die Evidenz) ihrer Satze, deren Gultigkeit somit auf keinen bestimmten Gegenstandsbereich eingeschrankt ist.Wie das im Einzelnen 2x1 verstehen ist, sol1 im ersten Teil auseinandergesetzt werden.Nehmen wir zunachst einmal die Evidenz der klassischen Logik als gegeben an, so entsteht die Frage, wie es moglich sein kann, daR fur die Aussagen der Quantenphysik nur eine restriktive Logik, die Quantenlogik, gilt.