Bu çalışmada PT Simetrik/ PT Simetrik Hermityen Olmayan q-deformasyonlu Trigonometrik Scarf Potansiyelinin enerji spektrumu ve karşılık gelen dalga fonksiyonu Path İntegral yöntemi kullanılarak elde edildi. Öncelikle bu potansiyelin kerneli parametrik zaman kullanılarak enerji spektrumu ve dalga fonksiyonu cinsinden türetildi. Kernelden elde edilen Green fonksiyonu ile enerji spektrumu ve dalga fonksiyonu gösterildi.
Bu çalışmada PT Simetrik/ PT Simetrik Hermityen Olmayan q-deformasyonlu Trigonometrik Scarf Potansiyelinin enerji spektrumu ve karşılık gelen dalga fonksiyonu Path İntegral yöntemi kullanılarak elde edildi. Öncelikle bu potansiyelin kerneli parametrik zaman kullanılarak enerji spektrumu ve dalga fonksiyonu cinsinden türetildi. Kernelden elde edilen Green fonksiyonu ile enerji spektrumu ve dalga fonksiyonu gösterildi.
Kuantum Mekaniğinde analitik olarak çözülebilen potansiyellerin sayısı sınırlıdır. Analitik çözümleri arttırmak için bilim insanları değişik metotlar önermiştir. Bunlardan bir tanesi de Nikiforov-Uvarov metodudur. Bu tez çalışmasının birinci bölümünde analitik metotlar hakkında genel bir bilgi verildikten sonra, ikinci bölümde, Nikiforov-Uvarov (NU) metodu detaylı bir biçimde ele alınmıştır. Üçüncü bölümde atom ve molekül fiziğinde sıklıkla karşılaşılan harmonik titreşici, Coulomb, Kratzer ve Morse potansiyelleri için relativistik olmayan Schrödinger dalga denkleminin çözümleri NU metodu yardımıyla verildi. Söz konusu potansiyellere karşılık gelen enerji özdeğerleri ve dalga fonksiyonları yeniden elde edildi. Böylece söz konusu metodun değişik potansiyellere uygulanabildiği bir kez daha vurgulandı. Dördüncü bölümde, NU metodu yardımıyla Coulomb ve Ters Kare potansiyellerinden oluşan -A/r+B/r2 biçimindeki küresel simetrik potansiyel için, üç boyutlu Schrödinger dalga denkleminin analitik çözümü yapıldı. Söz konusu potansiyele karşılık gelen dalga fonksiyonu ve enerji özdeğeri ifadesi elde edildi. A ve B potansiyel parametrelerinin değişik değerleri için 1s, 2s, 2p, 3s ve 3p, 3d, 4d,4f, 5d ve 5f durumlarına ait bazı enerji özdeğerleri hesaplandı. Daha sonra metot, bir atomdaki tüm elektronlar ve çekirdek arasındaki karmaşık etkileşimleri, basitleştirilmiş bir model potansiyel ile değiştirme düşüncesine dayanan Atomik Fues potansiyeline uygulandı. Tek değerlik elektronuna sahip bazı atomların iyonlaşma enerjileri başarılı bir biçimde hesaplandı ve deneysel değerlerle karşılaştırıldı.
Bu çalışmada, hidrojen atomunun enerji düzeyleri, Schrödinger denklemi kullanılarak belirlenmiştir. Buna ek olarak, hidrojen atomunda enerji kaymaları, pertürbasyon teorisi kullanılarak, dejenere ve dejenere olmayan durumlar için hesaplanmıştır. Bunun için ilk olarak Schrödinger denklemi, hidrojen atomu için kuantum mekaniksel olarak çözülmüş ve daha sonra radyal olasılık yoğunluğu grafikleri çizilmiştir. Bununla birlikte pertürbe potansiyeli uygulanmış hidrojen atomu için enerji kaymaları, zamandan bağımsız pertürbasyon teorisi kullanılarak hesaplanmıştır.
Bu tezde simetri kavramı vurgulanmış ve grup teorisi metodu yardımıyla bazı özel Lie grupları ile bağlantılı kuantum sistemler incelenmiştir. Tezin ilk bölümünde, simetri kavramı, Lie grupları ve bu gruplar ile ilişkili bazı kuantum sistemler hakkında ön bilgi verilmiştir. İkinci bölümde, SL(2, R) Lie grubunun homojen uzayında Gram ve genelleştirilmiş Cartan ayrışımları kullanılarak Laplace-Beltrami operatörleri elde edilmiştir. Bu Laplace-Beltrami operatörleri yardımıyla elde edilen kuantum sistemler verilmiş ve bu sistemlerin bağlı ve saçılma durumları elde edilmiştir. Bağlı durumlara karşılık gelen analitik çözümlerin grafikleri verilmiştir. Üçüncü bölümde, SO(3, 2) Lie grubunun SO(3, 2)/SO(3, 1) simetrik uzayının küresel ve horiküresel koordinatlardaki parametrizasyonları kullanılarak Casimir operatörleri elde edilmiştir. Bu Casimir operatörler yardımıyla elde edilen kuantum sistemler verilmiş ve sistemlerin analitik çözümleri elde edilmiştir. Dördüncü bölümde, SU(3) Lie grubu ile ilişkili bir kuantum kontrol problemi ele alınmıştır. Bir simetri indirgeme tekniği geliştirilerek G = S grubu yardımıyla ilgili problem, boyutu or?inal durum uzayının boyutunun yarısı olan bir reel uzayda tanımlı bir probleme indirgenmiştir. Çözümün nümerik olarak hesaplanması için bir yöntem sunulmuş ve yöntem bir örnekle desteklenmiştir.
Bu çalışmada öncelikle kuantum özdeş parçacık sistemlerinden bozonların genel \nkuantum mekaniksel özellikleri ele alındı. Özel olarak, bir-boyutlu standart bozon \nsalınıcıları sistemini tanımlayan operatör bağıntıları ve sistemin Hamiltoniyeni \nincelendi. Daha sonra Bose sistemlerinin istatistiksel dağılım fonksiyonunun nasıl elde \nedilebileceği araştırıldı. \nİkinci olarak, ideal Bose gazının genel istatistik mekaniksel özellikleri incelendi. \nÖzellikle ideal Bose gazının hal denklemi, öz ısısı, entropisi gibi fonksiyonlarının düşük \nve yüksek sıcaklıklarda değişimlerine yoğunlaşıldı. Buradan standart Bose \nsistemlerinde, Bose-Einstein yoğunlaşmasının hangi koşullarda gerçekleşebileceği \nteorik olarak araştırıldı. \nÜçüncü olarak, bu çalışmanın orijinal kısmını oluşturan ve Bose sistemlerine de \nbir örnek uygulama olabilecek genelleştirilmiş bir bozon gazı modeli ele alındı. Tamm- \nDancoff (TD) bozon gazı modeli olarak adlandırılan bu sistemi tanımlayan bazı \nkuantum mekaniksel özellikler incelenerek, modelin bazı istatistik mekaniksel yönleri \nüzerinde çalışıldı. Özel olarak, bu genelleştirilmiş bozon gazı modelinin deformasyon \nparametresinin sistemin genelleştirilmiş dağılım fonksiyonu, iç enerjisi, entropisi gibi \nfonksiyonlarına etkileri araştırıldı. Ayrıca bu yolla, sistemin genelleştirilmiş Bose- \nEinstein fonksiyonları (g (z,q)) n elde edilerek, 0 z 1 ve q 1 bölgelerinde bu \nfonksiyonların değişimleri incelendi. Bu bağlamda elde edilen önemli sonuçlardan \nbirisi, düşük sıcaklıklarda sistemin entropisinin deformasyon parametresi q arttıkça \nazalış göstermesidir. Son olarak, elde edilen diğer sonuçların yanı sıra TD-bozon gazı \nmodeline uygulama alanı teşkil edebilecek fiziksel problemlerden bazıları tartışıldı.
Kuantum hesaplama, son yıllarda bilgi işlem teknolojilerinde devrim yaratma potansiyeli ile dikkat çeken bir alan olarak öne çıkmaktadır. Geleneksel bilgisayarların sınırlarını aşan bu teknoloji, özellikle karmaşık problemlerin çözümünde benzersiz avantajlar sunmaktadır. Ancak, kuantum devrelerinin tasarımı ve optimizasyonu, bu alanda çalışan araştırmacılar için önemli zorluklar oluşturmaktadır. Bu tez çalışması, kuantum hesaplama modellerinde tersine bilir kuantum devrelerinin optimizasyonu için yapay zekâ tabanlı yenilikçi yöntemler geliştirmeyi amaçlamaktadır. Çalışma üç temel bileşen üzerine inşa edilmiş olup, kuantum devrelerinin analizinden optimizasyonuna ve klasik devrelere dönüşümüne kadar kapsamlı bir yaklaşım sunmaktadır. Birinci aşamada, kuantum devrelerinin otomatik tanınması ve sınıflandırılması için piksel tabanlı bir görüntü işleme yöntemi geliştirilmiştir. MATLAB Simulink ortamında 3-7 girişli ve 1-8 kapılı 9.250 devreden oluşan kapsamlı bir veri seti üzerinde KNN algoritması uygulanmış ve %99.94 gibi olağanüstü bir doğruluk oranı elde edilmiştir. Bu yöntem, kuantum devrelerinin hızlı ve yüksek doğrulukla analiz edilmesinde etkili bir çözüm sunmuştur. İkinci bileşende, kuantum devrelerin klasik lojik devrelere dönüşümüne yönelik iki farklı metodoloji geliştirilmiştir. Quine-McCluskey algoritması kullanılarak kuantum durum tablolarından türetilen Boolean fonksiyonları, MATLAB Simulink'te gerçekleştirilen klasik devrelerle %100 uyumlu sonuçlar vermiştir. Paralel olarak, Karnaugh haritalama yöntemiyle 2-4 girişli kuantum devrelerin lojik devrelere dönüşümü sağlanmış ve bu yöntemin pratik uygulanabilirliği kanıtlanmıştır. Üçüncü ve son bileşende ise kuantum devre optimizasyonu için gelişmiş meta-sezgisel algoritmalar karşılaştırılmıştır. Geliştirilen adaptif genetik algoritma, 24 farklı karşılaştırma devresinde kapı sayısını %26.76 ve kuantum maliyetini %12.88 oranında azaltarak önemli bir başarı elde etmiştir. Ayrıca, ACO, PSO, ABC ve GA yöntemlerinin kapsamlı karşılaştırması sonucunda, ACO'nun 2.39 standart sapma ile en istikrarlı ve yüksek performanslı algoritma olduğu tespit edilmiştir. Bu tez çalışması, görüntü işleme tabanlı yüksek doğruluklu devre tanıma sistemi, kuantum-klasik devre dönüşümü için Quine-McCluskey ve Karnaugh tabanlı metodolojiler ile meta-sezgisel algoritmalarla kanıtlanmış optimizasyon teknikleri gibi özgün katkılar sunmaktadır. Elde edilen sonuçlar, kuantum hesaplamanın pratik uygulamalarına yönelik önemli bir altyapı sağlamakta ve gelecekteki araştırmalar için yol gösterici nitelik taşımaktadır. Bu çalışma, TÜBİTAK tarafından 121E439 numaralı 1001 projesi ve Fırat Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Birimi tarafından TEKF.24.03 numaralı FUBAP projesi kapsamında desteklenmiştir.
Bu tez çalışmasında ilk olarak, kuantum özdeş parçacık sistemlerinden olan fermiyonların genel kuantum mekaniksel özellikleri ele alınmıştır. Daha sonra, ideal Fermi gazının iki ve üç-boyutlu uzaylarda genel termodinamik ve istatistiksel özellikleri incelenmiştir. \nİkinci olarak, özel bir deforme Fermi sistemini oluşturan VPJC-tipli q-deforme fermiyon gaz modelinin kuantum cebirsel özelliklerinin yanı sıra, modele ait fermiyonik Jackson türev operatörünün bazı matematiksel fonksiyonlara etkileri de çalışılmıştır. \nTez çalışmasının ilk özgün kısmı olarak; üç-boyutlu uzayda, VPJC-tipli q-deforme fermiyon gaz modelinin düşük sıcaklıklardaki istatistiksel mekanik davranışı üzerine yoğunlaşılmıştır. Özel olarak, modelin deforme kimyasal potansiyeli ve deforme ısı kapasitesinin hem sıcaklık ile hem de 0 < q < 1 aralığında tanımlı deformasyon parametresi q ile değişimleri incelenmiştir. VPJC-fermiyon gaz modelinin fiziksel bir uygulaması olarak deforme ısı kapasitesi fonksiyonu; Niobyum, Demir ve Kurşun metallerinin elektronik ısı kapasitelerinin sıcaklıkla değişimlerinin incelenmesine uygulanmıştır. \nTez çalışmasının diğer bir özgün kısmında ise, VPJC-fermiyon gaz modelinin iki-boyutlu uzayda termodinamik ve istatistiksel özellikleri incelenmiştir. Yine iki-boyutta, modelin hal denkleminin virial açılımı yapılarak, ilk beş deforme virial katsayısı bulunmuştur. \nSonuç olarak, VPJC-fermiyon gaz modelinin deformasyon parametresi q’nun termodinamik ve istatistiksel fonksiyonlara etkileri araştırılmıştır. Bulunan sonuçların, ideal Fermi gazının istatistiksel mekanik sonuçlarıyla kıyaslamaları yapılmıştır. Özellikle düşük sıcaklıklarda, VPJC-tipli q-deforme fermiyon gaz modelinden elde edilen ısı kapasitesi faktörü olan q-deforme Sommerfeld parametresinin incelenen metaller için deneysel sonuçlarla, serbest-elektron teorisi sonuçlarından daha uyumlu olduğu gösterilmiştir. Son olarak, VPJC-fermiyon gaz modelinin diğer muhtemel uygulama alanlarının neler olabileceği tartışılmıştır.