Cette habilitation est consacrée aux structures algébriques intervenant dans les systèmes uni- et bi-dimensionnels étudiés en physique. Nous y montrons comment ces structures peuvent être utilisées pour obtenir une meilleure compréhension des systèmes physiques qu'elles sous-tendent. Nous y décrivons aussi certains de leurs aspects mathématiques. Quatre parties composent cette présentation. Elles décrivent différents domaines de la physique que j'ai étudiés, et dans lesquels les cadres algébriques peuvent s'appliquer, à savoir: - Les théories conformes à deux dimensions, en particulier les algèbres W. Nous présentons la classification de ces dernières et leur quantification en cohomologie BRS. - Les algèbres W finies et leur application en physique (anyons et leurs généralisations) et en mathématique (représentations des algèbres de Lie). - Les structures d'algèbres de Hopf et leur généralisation dynamique, cadre mathématique utilisé dans la partie suivante. - Les systèmes intégrables, avec deux éclairages différents. D'une part, les chaînes de spins, qui décrivent des modèles unidimensionnels de spins en interaction. Nous parlerons des systèmes périodiques, et des systèmes avec bords. D'autre part, les systèmes intégrables en théorie des champs, avec une attention particulière aux systèmes avec bord ou avec impureté.
Cette habilitation est consacrée aux structures algébriques intervenant dans les systèmes uni- et bi-dimensionnels étudiés en physique. Nous y montrons comment ces structures peuvent être utilisées pour obtenir une meilleure compréhension des systèmes physiques qu'elles sous-tendent. Nous y décrivons aussi certains de leurs aspects mathématiques. Quatre parties composent cette présentation. Elles décrivent différents domaines de la physique que j'ai étudiés, et dans lesquels les cadres algébriques peuvent s'appliquer, à savoir: - Les théories conformes à deux dimensions, en particulier les algèbres W. Nous présentons la classification de ces dernières et leur quantification en cohomologie BRS. - Les algèbres W finies et leur application en physique (anyons et leurs généralisations) et en mathématique (représentations des algèbres de Lie). - Les structures d'algèbres de Hopf et leur généralisation dynamique, cadre mathématique utilisé dans la partie suivante. - Les systèmes intégrables, avec deux éclairages différents. D'une part, les chaînes de spins, qui décrivent des modèles unidimensionnels de spins en interaction. Nous parlerons des systèmes périodiques, et des systèmes avec bords. D'autre part, les systèmes intégrables en théorie des champs, avec une attention particulière aux systèmes avec bord ou avec impureté.
Cette thèse s'inscrit dans le cadre général de la théorie des systèmes intégrables avec bords et le développement des structures algébriques associées. D'une part, nous nous attaquons au problème de la diagonalisation de l'hamiltonien du modèle XXZ avec bords non diagonaux. Nous exhibons les deux ensembles d'états propres et valeurs propres du modèle si les paramètres de bords satisfont deux conditions. D'autre part, nous introduisons un modèle de physique statistique que nous appelons le modèle face avec un bord réfléchissant. Nous calculons exactement sa fonction de partition et nous montrons que cette dernière se représente simplement sous la forme d'un unique déterminant matriciel. Nous montrons que ces deux problèmes sont reliés par la transformation vertex-face et exhibent une structure algébrique commune, l'algèbre de réflexion dynamique. Nous nous intéressons aux aspects mathématiques de cette algèbre dans le cas elliptique général, et nous introduisons deux classes de ces représentations, la représentation de co-module d'évaluation et sa duale. Nous pensons que cette algèbre est la structure clef pour l'analyse des modèles faces avec bords. En particulier, nous montrons à l'aide de twists de Drinfel'd que leur fonction de partition se représente simplement dans le cas général.
Les travaux reunis dans cette these comportent deux parties. La premiere partie est dediee a l'etude de la solution exacte des modeles de type calogero-sutherland. Ces modeles decrivent des particules en une dimension, en interaction proportionnelle a l'inverse de la distance qui les separe au carre, et sont les exemples les plus simples de systemes a statistique fractionnaire. Ils jouent un role important dans la modelisation des phenomenes physiques en basse dimension, decrivant les excitations de bord dans l'effet hall ou la distribution des niveaux d'energie pour des grains metalliques desordonnes. Deux types de conditions aux bords compatibles avec l'integralite ont ete consideres: les conditions periodiques et les bords reflechissants. La connaissance de la solution exacte permet, dans le cas periodique, de calculer les fonctions de correlation. La structure integrale de ces systemes est retrouvee dans le cadre de la theorie conforme. Cela permet de decomposer l'espace de fock de la theorie conforme selon le contenu en quasi-particules de statistique fractionnaire. Dans la deuxieme partie de la these, les methodes de la theorie conforme sont adaptes a l'etude des systemes desordonnes. Le phenomene etudie est la transition entre plateaux dans l'effet hall entier, a travers un modele de fermions en deux dimensions en potentiel aleatoire. Sous certaines hypotheses, le point critique de ce systeme est decrit par une theorie conforme ayant comme symetrie une super-algebre de courants. Cette theorie est etudiee en detail et le calcul des fonctions de correlation des champs primaires met en evidence l'apparition d'une dependance logarithmique, phenomene inhabituel pour une theorie conforme. Cependant, cette theorie ne fournit pas l'exposant critique attendu pour la transition localisation/delocalisation
Analyse et techniques avancées d'intégrabilité pour l'étude de chaînes quantiques de spins Dans cette thèse sont principalement étudiés des systèmes quantiques intégrables critiques avec l’ansatz de Bethe qui ont la propriété particulière d’être non-unitaires ou non-compacts. Ceci concerne des modèles de physique statistique non-locaux tels que la percolation, mais aussi par exemple les systèmes désordonnés. Ce manuscrit présente à la fois des études détaillées de la limite continue de modèles intégrables sur réseau, et développe de nouvelles techniques pour étudier cette correspondance. Dans une première partie nous étudions en détail la limite continue de chaînes de superspins non-unitaires (et parfois non-compactes) qui ont une symétrie orthosymplectique. Nous montrons qu’il s’agit de modèles sigma sur supersphère en calculant leur spectre avec la théorie des champs, avec l’ansatz de Bethe, et numériquement. Leur non-unitarité autorise une brisure spontanée de symétrie habituellement interdite par le théorème de Mermin-Wagner. Leur caractère de perturbation marginale d’une théorie conforme des champs logarithmique est particulièrement étudié. Nous établissons également une correspondance précise entre le spectre et des configurations de boucles avec intersections, et obtenons de nouveaux exposants critiques pour les chemins non-recouvrants compacts ainsi que leurs corrections logarithmiques multiplicatives. Cette étude fut par ailleurs l’occasion de développer une nouvelle méthode pour calculer le spectre d’excitation d’une chaîne de spin quantique critique à partir de l’ansatz de Bethe, incluant les corrections logarithmiques, également en présence de racines de Bethe dites ’en chaînes’, et qui évite les méthodes de Wiener-Hopf et les équations intégrales non-linéaires. Dans une deuxième partie nous abordons l’influence d’un champ magnétique sur une chaîne de spin quantique et montrons que des séries convergentes peuvent être obtenues pour plusieurs quantités physiques telles que l’aimantation acquise ou les exposants critiques, dont les coefficients peuvent être calculés efficacement par récurrence. La structure de ces relations de récurrence permet d’étudier génériquement le spectre d’excitation, et elles sont applicables y compris dans certains cas où les racines de Bethe sont sur une courbe dans le plan complexe. Nous espérons que l’étude de la continuation analytique de ces séries puisse être utile pour les chaînes non-compactes. Par ailleurs, nous montrons que les fluctuations à l’intérieur de la courbe arctique du modèle à six vertex avec conditions aux bords de type mur sont décrites par un champ Gaussien libre avec une constante de couplage dépendant de la position, qui peut être calculée à partir de l’énergie libre de la chaîne XXZ avec une torsion imaginaire dans un champ magnétique.
Le domaine des problèmes quantiques à N-corps à l'équilibre et hors d'équilibre sont des sujets majeurs de la Physique et de la Physique de la matière condensée en particulier. Les propriétés d'équilibre de nombreux systèmes unidimensionnels en interaction sont bien comprises d'un point de vue théorique, des chaînes de spins aux théories quantiques des champs dans le continue. Ces progrès ont été rendus possibles par le développement de nombreuses techniques puissantes, comme, par exemple, l'ansatz de Bethe, le groupe de renormalisation, la bosonisation, les états produits de matrices ou la théorie des champs invariante conforme. Même si les propriétés à l'équilibre de nombreux modèles soient connues, ceci n'est en général pas suffisant pour décrire leurs comportements hors d'équilibre, et ces derniers restent moins explorés et beaucoup moins bien compris. Les modèles d'impuretés quantiques représentent certains des modèles à N-corps les plus simples. Mais malgré leur apparente simplicité ils peuvent capturer plusieurs phénomènes expérimentaux importants, de l'effet Kondo dans les métaux aux propriétés de transports dans les nanostructures, comme les points quantiques. Dans ce travail nous considérons un modèle d'impureté appelé "modèle de niveau résonnant en interaction" (IRLM). Ce modèle décrit des fermions sans spin se propageant dans deux fils semi-infinis qui sont couplés à un niveau résonant -- appelé point ou impureté quantique -- via un terme de saut et une répulsion Coulombienne. Nous nous intéressons aux situations hors d'équilibre où un courant de particules s'écoule à travers le point quantique, et étudions les propriétés de transport telles que le courant stationnaire (en fonction du voltage), la conductance différentielle, le courant réfléchi, le bruit du courant ou encore l'entropie d'intrication. Nous réalisons des simulations numériques de la dynamique du modèle avec la méthode du groupe de renormalisation de la matrice densité dépendent du temps (tDMRG), qui est basée sur une description des fonctions d'onde en terme d'états produits de matrices. Nous obtenons des résultats de grande précision concernant les courbes courant-voltage ou bruit-voltage de l'IRLM, dans un grand domaine de paramètres du modèle (voltage, force de l'interaction, amplitude de saut vers le dot, etc.). Ces résultats numériques sont analysés à la lumière de résultats exacts de théorie des champs hors d'équilibre qui ont été obtenus pour un modèle similaire à l'IRLM, le modèle de Sine-Gordon avec bord (BSG). Cette analyse est en particulier basée sur l'identification d'une échelle d'énergie Kondo et d'exposants décrivant les régimes de petit et grand voltage. Aux deux points particuliers où les modèles sont connus comme étant équivalents, nos résultats sont en accord parfait avec la solution exacte. En dehors de ces deux points particuliers nous trouvons que les courbes de transport de l'IRLM et du modèle BSG demeurent très proches, ce qui était inattendu et qui reste dans une certaine mesure inexpliqué.
A la poursuite de l’individuation : description mathématique des systèmes physiques Résumé: Ce travail se veut une analyse conceptuelle de certains développements récents dans les fondements mathématiques de la Mécanique Classique et de la Mécanique Quantique qui ont permis de formuler ces deux théories dans un même langage. Du point de vue algébrique, l’ensemble des observables d’un système physique, soit-il classique ou quantique, est décrit par une algèbre de Jordan-Lie. Du point de vue géométrique, l’espace des états de tout système est décrit par un espace uniforme de Poisson avec transition de probabilité. Ces deux structures mathématiques sont ici interprétées comme une manifestation du double rôle constitutif des propriétés en physique : elles sont à la fois des quantités et des transformations. Il s’agit alors de comprendre l’articulation précise entre ces deux rôles. Au cours de l’analyse, il apparaîtra que la Mécanique Quantique peut être vue comme se distinguant de la Mécanique Classique par une condition de compatibilité entres les quantités et les transformations.D’autre part, cette thèse met en évidence l’existence d’une tension fondamentale entre une certaine façon abstraite de concevoir les structures mathématiques, présente dans la pratique de la physique mathématique, et la nécessité de spécifier des états ou des observables particulières. Il devient alors important de comprendre comment, dans le formalisme, se construit un schéma d’indexation. La “poursuite de l’individuation” est l’analyse de différentes techniques mathématiques vues comme tentatives de résolution ce problème. En particulier,nous discuterons comment la théorie des groupes permet d’y apporter une solution partielle.
Dans cette thèse, nous discuterons des systèmes intégrables quantiques et des chaînes de spins. Nous présenterons la notion d'intégrabilité quantique ainsi que des structures mathématiques, les groupes quantiques, reliées à cette dernière. Cela nous permettra d'introduire les chaînes de spins " universelles " étudiées par le groupe d'Annecy depuis plusieurs années. Ces chaînes " universelles " ont la particularité d'englober l'ensemble des chaînes de spins préalablement étudiées dans la littérature. La question posée pour cette thèse était d'utiliser l'ansatz de Bethe algébrique pour déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de ces chaînes de spins " universelles ". Nous discuterons donc cette méthode pour les chaînes de spins périodiques et avec bords. Cette étude mettra en évidence les limites de l'ansatz de Bethe algébrique pour certaines chaînes avec bords et nous présenterons un nouveau cadre mathématique qui permettrait d'obtenir le spectre dans ces cas. Nous discuterons aussi le problème du produit scalaire des vecteurs propres obtenus grâce à l'ansatz de Bethe algébrique.