1 Breve nota sobre a complementaridade Em linhas gerais, no plano teórico da Física clássica, imperam duas imagens dissimilares, a onda e o corpúsculo.Uma onda pode ser definida como uma flutuação num meio e associadas a ela estão noções como o comprimento de onda, frequência de vibração e interferência.Por outro lado, na Física clássica, um corpúsculo pode ser reduzido a um ponto, correspondendo ao seu centro de massa, sobre o qual se associam noções como as de posição, momento linear e trajetória.À onda, liga-se a noção do contínuo; ao corpúsculo, a do discreto.Um exemplo de objeto físico estudado a partir da concepção ondulatória seria a luz visível.No caso corpuscular, pode-se referir às bolas de uma mesa de bilhar.Enquanto os fenômenos ondulatórios são descritos eficazmente pelo Eletromagnetismo de Maxwell, os fenômenos corpusculares são descritos eficazmente pela Mecânica Newtoniana.Assim, no contexto acima descrito, a partir do momento em que se estuda um determinado sistema físico, geralmente tem-se em mente essas distinções e identifica-se o plano teórico a ser utilizado na abordagem do problema.No caso de se estar envolvido com o estudo de corpúsculos, por exemplo, pode-se modificar o sistema das maneiras mais variadas possíveis, sem que nada ponha João Araújo / João Cordovil / José Ramalho Croca / Rui Nobre Moreira / Amaro Rica da Silva em dúvida o plano teórico a ser utilizado 1 .Isso significa que, classicamente, um objeto físico comporta-se como uma onda ou como um corpúsculo, nunca como ambos, simultaneamente.Além disso, após a identificação de uma das concepções, não se faz necessário considerar a outra ao se estudar, futuramente, os fenômenos envolvendo aquele mesmo objeto físico.Entretanto, no nível dos fenômenos da Física Quântica 2 , o panorama clássico acima delineado se altera radicalmente 3 .É bem sabido que o edifício da Teoria Quântica ortodoxa, ou Escola de Copenhague, está fundamentado, sobretudo no pensamento de Niels Bohr, expresso pelo princípio da complementaridade.(JAMMER, 1974) No tipo de complementaridade onda/corpúsculo, a descrição de um sistema envolvendo uma mesma entidade quântica invoca as duas imagens clássicas de forma excludente, porém complementar.Ou seja, as imagens onda e corpúsculo são necessárias quando se estuda os mesmos objetos quânticos em situações distintas.Assim, diferentemente da Física Clássica, onde geralmente pode-se sugerir que um objeto físico tenha uma essência de onda ou de corpúsculo, quanto ao objeto quântico somos confrontados com um dilema: a dualidade onda/corpúsculo.Matematicamente, estas noções conceituais encontraram uma correspondência com a Análise de Fourier, cujo formalismo incorpora resultados fundamentais para a Teoria Quântica Ortodoxa, nomeadamente as conhecidas Relações de Heisenberg.
1 Breve nota sobre a complementaridade Em linhas gerais, no plano teórico da Física clássica, imperam duas imagens dissimilares, a onda e o corpúsculo.Uma onda pode ser definida como uma flutuação num meio e associadas a ela estão noções como o comprimento de onda, frequência de vibração e interferência.Por outro lado, na Física clássica, um corpúsculo pode ser reduzido a um ponto, correspondendo ao seu centro de massa, sobre o qual se associam noções como as de posição, momento linear e trajetória.À onda, liga-se a noção do contínuo; ao corpúsculo, a do discreto.Um exemplo de objeto físico estudado a partir da concepção ondulatória seria a luz visível.No caso corpuscular, pode-se referir às bolas de uma mesa de bilhar.Enquanto os fenômenos ondulatórios são descritos eficazmente pelo Eletromagnetismo de Maxwell, os fenômenos corpusculares são descritos eficazmente pela Mecânica Newtoniana.Assim, no contexto acima descrito, a partir do momento em que se estuda um determinado sistema físico, geralmente tem-se em mente essas distinções e identifica-se o plano teórico a ser utilizado na abordagem do problema.No caso de se estar envolvido com o estudo de corpúsculos, por exemplo, pode-se modificar o sistema das maneiras mais variadas possíveis, sem que nada ponha João Araújo / João Cordovil / José Ramalho Croca / Rui Nobre Moreira / Amaro Rica da Silva em dúvida o plano teórico a ser utilizado 1 .Isso significa que, classicamente, um objeto físico comporta-se como uma onda ou como um corpúsculo, nunca como ambos, simultaneamente.Além disso, após a identificação de uma das concepções, não se faz necessário considerar a outra ao se estudar, futuramente, os fenômenos envolvendo aquele mesmo objeto físico.Entretanto, no nível dos fenômenos da Física Quântica 2 , o panorama clássico acima delineado se altera radicalmente 3 .É bem sabido que o edifício da Teoria Quântica ortodoxa, ou Escola de Copenhague, está fundamentado, sobretudo no pensamento de Niels Bohr, expresso pelo princípio da complementaridade.(JAMMER, 1974) No tipo de complementaridade onda/corpúsculo, a descrição de um sistema envolvendo uma mesma entidade quântica invoca as duas imagens clássicas de forma excludente, porém complementar.Ou seja, as imagens onda e corpúsculo são necessárias quando se estuda os mesmos objetos quânticos em situações distintas.Assim, diferentemente da Física Clássica, onde geralmente pode-se sugerir que um objeto físico tenha uma essência de onda ou de corpúsculo, quanto ao objeto quântico somos confrontados com um dilema: a dualidade onda/corpúsculo.Matematicamente, estas noções conceituais encontraram uma correspondência com a Análise de Fourier, cujo formalismo incorpora resultados fundamentais para a Teoria Quântica Ortodoxa, nomeadamente as conhecidas Relações de Heisenberg.
Nessa investigacao cientifica, a proposta tem fundamentacao teorica nos campos conceituais de Gerard Vergnaud. Segundo o autor, o conhecimento so ocorre ao longo de um periodo de tempo, atraves de experiencias, maturidade e aprendizagem, vivenciados pelo proprio sujeito e, por isso, organizado em campos conceituais. De acordo com esse referencial, o aprendizado ocorre quando se adquirem, de forma integrada, representacoes, invariantes operatorios e situacoes onde se apliquem o conceito. Por isso, o nosso objetivo de investigar principalmente a aquisicao simultânea de representacoes e invariantes operatorios, durante o uso de simulacoes sobre o fenomeno da dualidade onda-particula no experimento da dupla fenda. Desta forma, destacamos quatro delas: a) Interpretacao Ondulatoria; b) Interpretacao de coletivos estatisticos (corpuscular); c) Interpretacao da duplasolucao; e d) Interpretacao da complementaridade. Desse modo, os experimentos produzem resultados intrinsecamente diferentes se o seu “setup” se altera. Quando ha a possibilidade de dois caminhos para o objeto quântico, ha o surgimento de um padrao de interferencia e a necessidade de se atribuir caracteristicas ondulatorias ao objeto quântico. Quando o setup se altera, para, por exemplo, permitir a deteccao do “caminho” percorrido pelo objeto quântico, nao ocorre a interferencia e o objeto quântico se porta de forma corpuscular. Estes experimentos contemporâneos permitem que o estudante tenha contato com situacoes que sao estudadas na area da mecânica quântica de forma bastante intuitiva. As simulacoes supracitadas irao, portanto, serem utilizadas como experimentos virtuais por estudantes de nivel medio e expondo-lhes as situacoes em que, de acordo com a interpretacao de Bohr, como um objeto quântico pode ser interpretado, e, portanto determinar a formacao do conceito de dualidade onda-particula. Durante todo o desenvolvimento da pesquisa, teremos tres focos: a) foco na representacao (ondas ou corpusculos); b) foco nos invariantes (a simulacao); e c) foco na situacao (experimentos quânticos). O metodo a ser utilizado sera uma combinacao de questoes compostas de questoes abertas sobre situacoes-problemas (pre e pos-testes) utilizando-se o protocolo Think aloud. Esperamos assim, com essa pesquisa, investigar o aprendizado nos moldes de conceitos cientificos e tornar a ferramenta um instrumento potencial na formacao dos estudantes, tanto do ensino medio ou universitario.
IntroduçãoA pesquisa em torno de alternativas teóricas que tentam interpretar resultados experimentais em sistemas físicos que apresentam fenômenos não-lineares tem se intensificado nas últimas décadas e criado, além de expectativa, certa perplexidade.Por outro lado, apesar de ser um tópico que incite muitas controvérsias, em vista da seriedade com que tem sido debatido, torna-se de grande interesse a busca de certo roteiro histórico, em torno das contribuições mais discutidas e debatidas na literatura recente.A denominada Física não-linear tem sido discutida fortemente na atualidade, graças aos avanços conseguidos em distintos ramos da Matemática (não-linear), a exemplo de sistemas de equações diferenciais não-lineares, sistemas solitônicos ou ondas solitárias, sistemas fractais, ondas cnoidais, transformadas de Fourier generalizadas (que podem ser não-linearizadas em espaços de uma e duas dimensões), ondaletas, álgebras de operadores não-lineares e outros tópicos.(CROCA, 2003;FOKAS; SING, 2005;LIMA, 2006) Tais objetos matemáticos têm dado grande ajuda para a resolução de vários problemas na Teoria da Relatividade Geral, Eletromagnetismo clássico, Mecânica de Newton, Óptica quântica, Mecânica dos fluidos, sistemas incomensuráveis, Física estatística, teoria de campos clássicos e quânticos, e outros ramos da Física.
Tem sido reconhecido como razoável assumir que, uma vez que pensemos nos objetos que estariam por trás do desenvolvimento formal das teorias físicas, a física quântica nos comprometeria com entidades que podem ser assumidas como absolutamente indistinguíveis e, de certa forma, como sendo desprovidos de individualidade. Neste artigo, discutiremos primeiramente, de modo breve e geral, a natureza desse compromisso, como ele pode ser compreendido em termos metafísicos, bem como sua relação com os sistemas de lógica utilizados para falar sobre os objetos com os quais supostamente nos comprometemos. Apresentamos então alguns dos principais aspectos da mecânica quântica ortodoxa, aos quais usualmente se recorre quando se deseja fornecer argumentos que possam sustentar uma ontologia de objetos com essas características, ou seja, de objetos indistinguíveis e sem individualidade. Por fim, exibimos um sistema de teoria de conjuntos, a teoria de quase conjuntos, que busca captar formalmente e de modo natural essas características e, assim, pode ser utilizada como lógica subjacente para fundamentar uma metafísica de não indivíduos.
Inicialmente, os conceitos fundamentais e a problemática básica subjacentes ao Controle de Sistemas Quânticos são apresentados, destacando-se, por exemplo, as questões físicas e dinâmicas envolvidas, os principais tipos e metodologias de controle no contexto quântico, bem como aplicações existentes e potenciais de Controle Quântico, muitas das quais situando-se na vanguarda da Ciência e da Tecnologia. Segue-se uma exposição do arcabouço teórico básico e do formalismo padrão da Mecânica Quântica, tendo em vista prover os elementos necessários à compreensão de sistemas quânticos, sua dinâmica e seu controle. O conceito de Controlabilidade é, então, apresentado no contexto de Sistemas Quânticos. Em seqüência, os fundamentos do Controle Quântico Ótimo são desenvolvidos como uma extensão da Teoria Clássica de Controle Ótimo, apresentando-se exemplos de aplicações. Ao problema da transferência de estados quânticos para um estado-alvo em tempo mínimo é devotada especial atenção, dada sua grande relevância em aplicações tecnológicas de ponta, como em Computação Quântica e Processamento de Informação Quântica. A partir de limitações físicas que são inerentes a qualquer sistema quântico, no tocante ao tempo mínimo necessário para que ocorra uma transição de estados, propõem-se Fatores de Mérito para quantificar a eficiência dos controles quânticos ótimos que minimizam o tempo de transferência de estados. Exemplos de aplicação, estudos teóricos e estudos de casos são levados a cabo para a definição dos Fatores de Mérito associados. Este trabalho termina com estudos relativos a uma possível formulação da Teoria de Controle Quântico Ótimo em termos de Integrais de Trajetória para o tratamento de sistemas quânticos contínuos, em especial, o controle espaço-temporal de partículas quânticas. Um possível emprego do Efeito Aharonov-Bohm é também discutido como estratégia de Controle Quântico.
Nesta tese discutimos alguns aspectos fundamentais da teoria quântica de um ponto de vista mais contemporâneo, onde tambem pudemos desenvolver tres trabalhos. No primeiro analisamos teoricamente um interferometro de fenda dupla para atomos. Mostramos que se os autoestados de energia do atomo estao correlacionados com os comportamentos de particula e de onda do mesmo, fenomenos complementares podem ser medidos simultaneamente, indicando uma reinterpretacao do principio da complementaridade. O mesmo aparato tambem apresentou propriedades de apagador quântico. No segundo apresentamos um interferometro de duas particulas e a maneira como a decoerencia afeta o grau de interferencia. Mostramos como os constituintes do ambiente, aqui considerados como fotons, podem destruir a oscilacao na taxa de coincidencia de deteccao das particulas. Devido a sua caracteristica temporal, chamamos este processo de decoerencia temporal quântica. No ultimo trabalho estudamos a existencia de uma nova familia de solucoes ortogonais da equacao paraxial da luz. A amplitude complexa desses feixes sao proporcionais as funcoes hipergeometricas confluentes, que denominamos modos hipergeometricos do segundo tipo (HyG-II). Demonstramos formalmente que um meio com um perfil hiperbolico de indice de refracao pode gerar e suportar essa classe de feixes. Uma vez que esses modos sao autofuncoes do momento angular orbital do foton, concluimos que uma fibra otica com este perfil de indice, em certas situacoes, poderia levar vantagem em relacao a outras fibras com indice variavel na capacidade de transmissao de dados.
Nosso trabalho analisa o experimento virtual da dupla fenda e está dividido em duas partes: a Parte I (publicada) que tratou da análise clássica do comportamento (corpuscular e ondulatório) e a Parte II (o presente artigo) que aborda o comportamento quântico da luz (fótons). Nosso processo metodológico se dividiu em 3 (três) etapas: (i) analisamos, primeiramente, com o auxílio de experimentos virtuais, o comportamento de um feixe de luz que atravessou uma parede com duas fendas. Neste caso, percebe-se que a luz sofre interferência. (ii) Em seguida, utilizamos o mesmo experimento, mas agora com fótons individuais. Os fótons se comportam como ondas e sofrem interferência, como antes. (iii) Finalmente, para descobrir o que estava acontecendo, colocamos um detector próximo às fendas. Nesta situação, estranhamente, os fótons se comportaram como partículas (corpúsculos). Com o objetivo de explicar estes resultados, utilizamos a notação de brackets proposta por Paul Dirac (1902-1984) que nos permite representar os vetores de estado, os quais nos propiciam mostrar, matematicamente, o que ocorre no experimento da dupla fenda com objetos quânticos. Devido à complexidade matemática (para o ensino médio) intrínseca à notação de Dirac fizemos uma espécie de “tradução” deste recurso matemático para este nível de ensino. Acreditamos que este artifício poderá ser útil para a compreensão de outros conceitos da mecânica quântica, tais como spin 1/2 e sistemas de dois níveis.