Aufgrund von Arbeiten von Garrett Birkhoff zur algebraischen Verbandstheorie und Untersuchungen von John von Neumann zur Anwendung von Hilberträumen und Projektoren in der Quantenmechanik ergab sich die Motivation für einen gemeinsamen Aufsatz "The Logic of Quantum Mechanics". Dieser ist im Oktober 1936 in den Annals of Mathematics erschienen und ist auch heute noch eine wichtige Quelle zum mathematischen und philosophischen Verständnis der Quantenmechanik. Seit den 1990er Jahren liefert die aus dem Aufsatz entstandene Quantenlogik mathematische Modelle zur Erklärung von Sachverhalten aus Linguistik und kognitiver Psychologie.
Aufgrund von Arbeiten von Garrett Birkhoff zur algebraischen Verbandstheorie und Untersuchungen von John von Neumann zur Anwendung von Hilberträumen und Projektoren in der Quantenmechanik ergab sich die Motivation für einen gemeinsamen Aufsatz "The Logic of Quantum Mechanics". Dieser ist im Oktober 1936 in den Annals of Mathematics erschienen und ist auch heute noch eine wichtige Quelle zum mathematischen und philosophischen Verständnis der Quantenmechanik. Seit den 1990er Jahren liefert die aus dem Aufsatz entstandene Quantenlogik mathematische Modelle zur Erklärung von Sachverhalten aus Linguistik und kognitiver Psychologie.
Die Quantentheorie und die Theorie der quantenmechanischen Messung ermoglichen es, Aussagen uber quantenphysikalische Systeme (Atome, Kerne, Elementarteilchen) zu machen, die an diesen Systemen experimentell nachgepruft werden konnen.Beispiele fur solche Aussagen sind z.B. ,,das Elektron hat den Impuls p" oder ,,der Atomkern hat einen Drehimpuls J".Wie fur die Aussagen aller Wissensgebiete wird man zunachst auch fur diese Aussagen erwarten, daR sie den Regeln der Logik gehorchen.Tatsachlich ist das aber nicht der Fall.Es hat sich namlich gezeigt, daB von den Regeln der Aussagenlogik, die zuerst von den Stoikern aufgestellt wurden, spater im Mittelalter und in der modernen mathematischen Logik wieder aufgegriffen wurden, nur noch ein Teil fur Aussagen uber Quantenphanomene richtig bleibtl).2)3 9, 4).Einige dieser Regeln verlieren ihre Gultigkeit.Derjenige Teil der logischen Regeln, der auch noch in der Quantenphysik gilt, wird gewohnlich als Quantenlogik bezeichnet.Es handelt sich also bei der Quantenlogik nicht um eine ,,neue" Logik, die im Bereich des Atomaren gilt, sondern um eine restriktive Logik, die weniger enthalt als die uns bekannte klassische Aussagenlogik.Der heutige Physiker ist im allgemeinen leicht geneigt zu glauben, daR irgendeine Disziplin, die in der Philosophie vergangener Jahrhunderte fur wahr gehalten wurde, durch die moderne Physik widerlegt sei.Das kommt einerseits daher, daR viele Physiker empiristisch denken, d. h. in diesem Falle, daB sie geneigt sind zu glauben, man konne alle auf die Erfahrung bezogenen Behauptungen auch durch Erfahrungen -z.B. der Atomphysikwiderlegen. Anderseits sprechen fur eine solche Einstellung die schlechten Erfahrungen, die die Physik mit Begriffen und Satzen gemacht hat, die in der philosophischen Tradition uberliefert wurden.Die Verknupfung von Raum und Zeit in der Relativitatstheorie oder das Versagen des Kausalgesetzes in der Quantentheorie gehoren zu diesem Problemkreis.Man wird deshalb versucht sein, auch eine Restriktion der Aussagenlogik in der modernen Atomphysik einfach als eine neue Erfahrung hinzunehmen.Dies ist jedoch nicht ohne weiteres moglich.Die groRte Schwierigkeit, die sich einer solchen Einstellung entgegenstellt, ist die Tatsache, daB die klassische Aussagenlogik wahr ist.Und zwar ist die Aussagenlogik keineswegs in einem empirischen Sinne wahr, sondern sie ist wahr durch das unmittelbare Einleuchten (die Evidenz) ihrer Satze, deren Gultigkeit somit auf keinen bestimmten Gegenstandsbereich eingeschrankt ist.Wie das im Einzelnen 2x1 verstehen ist, sol1 im ersten Teil auseinandergesetzt werden.Nehmen wir zunachst einmal die Evidenz der klassischen Logik als gegeben an, so entsteht die Frage, wie es moglich sein kann, daR fur die Aussagen der Quantenphysik nur eine restriktive Logik, die Quantenlogik, gilt.
Dieses Skript ist auf der Grundlage der beiden Vorlesungen entstanden, die ich im Herbsttrimester 2001 in Amsterdam und im Wintersemester 2002/2003 in Hamburg gehalten habe. Das eine oder andere wurde korrigiert, erganzt oder weggelassen. Dieser Kurs erganzt die einfuhrenden Vorlesungen zur Quantenmechanik und das Studium der grundstandigen Lehrbucher, wo erste Grundlagen, Rechentechniken und Rechnungen erlernt werden. Das Motivieren von Rechnungen und das Auswerten von Rechenresultaten erfordert jedoch Vertrautheit mit dem allgemeinen mathematischen Rahmen und seinen Fallstricken, und die werden hier erganzt. Es wird hier im Gegensatz zu den Kursvorlesungen nicht historisch vorgegangen, sondern gleich mit dem mathematischen Formalismus begonnen.
Das Ziel dieser Masterarbeit ist es, die mathematischen Grundlagen der Schrödingergleichung und ihre Anwendungen in der Quantenmechanik zu untersuchen. Die Arbeit beleuchtet den historischen Kontext von Erwin Schrödinger und seinen Weg zur Herleitung seiner Gleichung. Es folgt eine detaillierte mathematische Analyse, mit der die Schrödingergleichung im Allgemeinen erklärt und gelöst wird. Schließlich werden zwei Arbeitsblätter für höhere technische Schulen entwickelt, die sich auf gewöhnliche Differentialgleichungen und partielle Ableitungen konzentrieren, mit dem Ziel, mathematische Konzepte durch interdisziplinäre und historische Elemente zugänglich zu machen.
Die Quantenmechanik ist eine der wichtigsten Theorien der modernen Physik.Mit ihr lassen sich nicht nur grundlegende Phänomene wie z.B. das Emissionsspektrum von Atomen oder die Stabilität von Materie erklären, sondern sie steckt auch in vielen technischen Anwendungen vom MP3-Player bis zum Tunnelmikroskop, und in Zukunft werden wir vermutlich Technologien wie Quantenkryptographie oder Quantencomputer mit großer Selbstverständlichkeit einsetzen.Die Kenntnis der Quantenmechanik ist daher nicht nur ein Schlüssel für das Verständnis unserer Welt, sondern unabdingbar für die Entwicklung moderner Technologien.Folgerichtig wird die Quantenmechanik heute oft schon in der Schule gelehrt; in jedem Fall jedoch an Universitäten, wo sie in den meisten Naturwissenschaften und auch in vielen Ingenieurwissenschaften zum Curriculum gehört.Eine große Hürde bei der Vermittlung und damit auch auf dem Weg zum Verständnis der Quantenmechanik ist nun nicht, wie man etwa vermuten könnte, die Mathematik, auch wenn diese an der einen oder anderen Stelle sicherlich einige Herausforderungen beinhaltet, sondern die Sprache.Der Grund dafür liegt darin, dass Sprache kein gegebenes Konstrukt ist, welches unabhängig vom Menschen und dessen Wissen über die Welt existiert, sondern sich vielmehr im Laufe der Menschheitsgeschichte durch die Auseinandersetzung des Menschen mit seiner Umwelt entwickelt hat.Sprache ist damit auch immer ein Abbild der Welt, so wie sie der Mensch wahrnimmt.Und dass diese Wahrnehmung gelegentlich trügt, wissen wir spätestens seit Einstein, der uns gezeigt hat, dass unsere Vorstellung von Raum und Zeit nicht der physikalischen Wirklichkeit entspricht.Die Quantenmechanik führt uns nun, mehr noch als die Relativitätstheorie, weg von den uns vertrauten Vorstellungen von der physikalischen Wirklichkeit.Damit verliert aber auch die Sprache ihre Legitimation als ein Werkzeug zur Beschreibung der Quantenmechanik.Streng genommen verbleibt als einzig legitimer Zugang zur Quantenmechanik daher die Mathematik.Mit ihr lassen sich, aufbauend auf einer Handvoll Axiome, alle Gesetze der Quantenmechanik ableiten und damit alle physikalischen Beobachtungen korrekt und widerspruchsfrei beschreiben.Allerdings sind diese Axiome, im Gegensatz zu z.B. denen der Newton'schen Mechanik, alles andere als unmittelbar einsichtig.Um daher auch solchen Leserinnen und Lesern den Zugang zur Quantenmechanik zu ermöglichen, welche die Quantenmechanik nicht als Teildisziplin der Mathematik oder der theoretischen Physik betreiben wollen, werden wir in diesem Buch trotz aller Gefahren den Weg der Sprache und der Bilder beschreiten.Dabei gehen wir von wenigen einfachen Schlüsselexperimenten aus, mit denen sich die Grundgleichungen der Quantenmechanik anschaulich begründen lassen.Im Gegensatz zu vielen anderen Lehrbüchern greifen wir jedoch nicht auf das berühmte Doppelspaltexperiment mit Elektronen oder das Experiment von Stern-Gerlach zurück, sondern wir arbeiten in den ersten Kapiteln ausschließlich mit einem Interferometer und Polarisationsfiltern
Abstract Die in den Jahren 1925/26 in ihrer definitiven Gestalt vorliegende Quantenmechanik war in ihren wesentlichen Punkten nicht mit den Grundsätzen der klassischen Physik zu vereinbaren, weshalb es im Verlaufe ihrer 25‐jährigen Entwicklung auch nicht an Versuchen fehlte, eine Überbrückung zwischen den älteren und neuen Auffassungen herzustellen. In dem vorliegenden Aufsatz soll die Rolle der zwei bedeutendsten Leitfäden dargestellt werden, welche besonders in der letzten Entwicklungsphase den entscheidenden Durchbruch vorbereiteten: auf der einen Seite das Korrespondenzprinzip; auf der anderen die besonders bei den deutschsprachigen Physikern ausgeprägte Vorliebe für regelmäßige Zahlenverhältnisse und mathematische Struktureigenschaften. Die entscheidenden innovativen Impulse gingen dabei besonders von einigen jungen unbefangenen Nachwuchskräften aus, die sich keiner dieser beiden Richtungen rückhaltlos verpflichtet fühlten.