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Revista Thema

Menores Principais de Matrizes Hermitianas: a negatividade para estados puros de n qubits

João de Oliveira

Published Mar 1, 2018• 0 citations
Publisher

Abstract

Quando se estuda entrelaçamento de estados quânticos, há uma preocupação em fornecer critérios para saber se um dado estado quântico é ou não entrelaçado, bem como quantificar esse entrelaçamento. Diante disso, serão propostas, neste trabalho, duas expressões algébricas para a negatividade de um estado puro de n qubits. As duas serão utilizadas no cálculo da negatividade desse estado, sendo que uma delas está relacionada com a soma dos menores principais de ordem 3 da transposta parcial da matriz densidade do tal estado, e a outra, depende das amplitudes do referido estado. Com essas expressões é possível calcular, , com , obtendo-se uma generalização do cálculo da negatividade para estados de dois qubits A e B, , com .

DOI
10.15536/thema.15.2018.63-78.572

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Ferramentas algébricas para o estudo do entrelaçamento quântico

João Luzeilton de Oliveira

Esta tese apresenta alguns resultados sobre dois temas importantes para a teoria da informacao quântica: entrelacamento quântico e algoritmos quânticos. Com respeito ao entrelacamento, e estabelecida uma relacao entre a negatividade e os menores principais de matrizes Hermitianas, o que permite analisar o entrelacamento para estados de dois qubits e estados puros de tres e quatro qubits, usando os menores principais. Foi proposta tambem uma nova medida para o calculo do entrelacamento de estados puros de seis qubits, usando a negatividade. Para ambos os casos, o calculo da variacao do entrelacamento de estados parametrizados foi realizado atraves de formulas analiticas e simulacoes numericas. Por fim, com relacao aos algoritmos quânticos e proposto um algoritmo de busca capaz de achar o minimo de uma funcao realizando apenas uma medicao ao final do algoritmo. O algoritmo e descrito e um exemplo de utilizacao do mesmo no calculo do periodo de uma funcao periodica e apresentado.

•Jan 1, 2012•0 citations

Emaranhando um qubit remoto com um par de Bell através da interação com um campo comprimido de dois modos

Reis, Paulo José dos

Resumo: O emaranhamento entre sistemas não locais, vem gerando grande interesses nas pesquisas pois esse recurso pode ser utilizado na comunicação quântica e computação quântica distribuída Nesse trabalho propomos a geração de emaranhamento entre dois átomos (A1A2) aprisionados em uma cavidade possuída por Alice, e um único átomo (B) aprisionado em uma cavidade que está com Bob, através da interação com um campo eletromagnético no estado comprimido de dois modos injetado nas cavidades com uso de um divisor de feixe Analisamos a evolução do emaranhamento dos três átomos, devido à interação átomo campo, fazendo um traço sobre os graus de liberdade do campo Deste modo obtivemos expressões analíticas para o estado dos átomos, estado do campo, negatividade, extensão "convex-roof"da negatividade e entropia linear, como função do tempo de interação, intensidade de interação e parâmetro de compressão Esses resultados foram utilizados para o estudo da dinâmica do emaranhamento do átomo (B) com o par (A1A2) Também calculamos o emaranhamento dos átomos individuais através da "twoway" negatividade Verificamos que a quantidade de transferência de emaranhamento das variáveis contínuas do campo para os átomos depende do parâmetro de compressão, assim obtivemos o valor de parâmetro de compressão e o parâmetro de interação, que gera maior emaranhamento do átomo (B) como par (A1A2) Além disso, comparamos a entropia de Von Neumann do campo, com a entropia de Von Neumann dos átomos para verificar a transferência de emaranhamento do campo para o sitema de três átomos

•May 1, 2024•0 citations

Otimização de circuitos para a inicialização de estados quânticos

Israel F. Araujo

A teoria dos algoritmos quânticos promete benefícios sem precedentes ao utilizar as leis da mecânica quântica para resolver certos problemas computacionais. Entretanto, alguns desafios impedem que tais vantagens se apliquem a todos os algoritmos quânticos. Entre esses desafios está o desenvolvimento de uma codificação eficiente de dados clássicos em um estado quântico. Em aplicações práticas, o custo para carregar a informação clássica em um dispositivo quân- tico pode dominar o custo computacional assintótico do algoritmo. Foram propostos diversos métodos baseados em circuitos para codificar dados clássicos nas amplitudes de probabilidade de um estado quântico. Entretanto, esses métodos produzem circuitos com complexidade que cresce linearmente com o tamanho do dado, anulando o benefício da aplicação quântica. O objetivo principal deste trabalho é reduzir a complexidade computacional dos circuitos para a inicialização de estados quânticos. As duas estratégias utilizadas para alcançar tal objetivo exploram a troca de complexidade temporal por espacial ou a transferência de complexidade computacional para um computador clássico. A primeira estratégia reinterpreta métodos al- gébricos para a decomposição de estados quânticos como caminhadas ao longo de árvores binárias. A segunda investiga o grau de emaranhamento de bipartições do estado quântico através da decomposição de Schmidt. Os métodos baseados em árvore alcançam uma redução exponencial na profundidade dos circuitos, em comparação às abordagens existentes. Os base- ados na decomposição de Schmidt produzem circuitos de complexidade variável, proporcional ao emaranhamento do estado. A perspectiva é que o resultado desta tese auxilie os profissionais da computação quântica durante a era dos dispositivos ruidosos de escala intermediária.

•Sep 1, 2022•0 citations

Exploring quantum walks: weighted paths and quotient graphs unveiled

Frederico Cançado

Esta dissertação explora o problema da Transferência Perfeita de Estado (PST) em grafos, que tem implicações significativas na computação quântica. O objetivo é determinar quais grafos permitem transferir perfeitamente o estado de um qubit (ou vértice) para outro qubit em um determinado tempo. O texto apresenta uma introdução ao tema utilizando técnicas de álgebra linear, discutindo condições necessárias e suficientes para alcançar o PST e enfatizando a transferência de longa distância entre qubits. O objetivo da otimização ´e minimizar o número de componentes quânticos necessários para alcançar a transferência perfeita de estado. Uma classe importante de grafos que admite PST são os caminhos com pesos. Para o PST entre vértices nos extremos, o problema foi completamente resolvido explorando a conexão desses grafos com polinômios ortogonais. No entanto, o problema se torna consideravelmente mais complexo para vértices em outras posições, levando a novos resultados e conexões explorados neste documento. Entre esses resultados, podemos citar uma fórmula que relaciona, de maneira inédita, o polinômio extremo com outro polinômio arbitrário em uma sequência de polinômios ortogonais; como criar uma sequência de polinômios ortogonais que contenha outros dois dados; e como o PST em caminhos com pesos se relaciona com o problema de Prouhet-Tarry-Escott, um problema em aberto na área de teoria dos números. Por fim, o documento apresenta uma abordagem para a construção de grafos com PST, explorando caminhos ponderados e partições equitativas. Também são apresentados novos teoremas nessa ´área, que têm relevância geral para a teoria dos grafos. Entre esses teoremas, destaca-se um critério para dois grafos possuírem um quociente simetrizado em comum; como as matrizes de partições equitativas se relacionam com matrizes projetivas; e como o conjunto de partições equitativas se transforma quando o grafo original é quocientado.

•Aug 9, 2023•0 citations

Estados emaranhados quânticos tri-partidos com um qubit

Marcio F. Cornelio

ResumoEstudamos o emaranhamento quântico de estados puros emaranhados tri-partidos quando uma das partes é um qubit.Apresentamos um método para encontrar as decomposições do estado tri-partido mais simples do que sucessivas decomposições de Schmidt.Esse método permite encontrar uma grande quantidade de diferentes famílias de estados emaranhados tri-partidos.Essas famílias são classicadas de acordo com dimensão dos blocos de Jordan de uma matriz obtida do estado emaranhado.Além disso, também demonstramos que estados pertencentes a famílias distintas não podem ser convertidos um no outro por operações locais estocásticas com comunicação clássica (SLOCC).No caso de dois estados pertencentes à mesma família, obtemos condições necessárias e sucientes para sabermos se estes podem ser convertidos um no outro por SLOCC.No caso de serão, também podemos obter a operação do tipo SLOCC que realiza a conversão.

•May 27, 2008•0 citations

Reconstrução de estados de sistemas quânticos compostos e caracterização de emaranhamento por operações locais e comunicação clássica

Frank E. S. Steinhoff

Propomos um metodo para obtencao de propriedades de sistemas quânticos compostos utilizando apenas medicoes estritamente locais e comunicacao classica. Isso difere dos esquemas usualmente utilizados em protocolos de informacao quântica, que se utilizam em sua maioria de operacoes globais e/ou operacoes locais conjuntas. Nosso tratamento consiste em analisar o efeito de medicoes em um subsistema sobre as submatrizes da matriz densidade do sistema composto. Analisamos entao como outros subsistemas podem ser expressos em termos dessas submatrizes, obtendo assim o efeito das medicoes feitas em um subsistema sobre os outros. Aplicamos esse resultado - valido para sistemas com espacos de Hilbert discretos de dimensao arbitraria - a dois problemas centrais em protocolos de informacao quântica: a reconstrucao de estados de sistemas compostos e a caracterizacao de emaranhamento. Para a tarefa de reconstrucao, mostramos como determinar um estado de um sistema composto de dimensao finita arbitraria utilizando apenas medicoes locais e comunicacao classica de uma via. A vantagem de nossa proposta esta em eliminar a necessidade de medicoes conjuntas, o que se traduz, no contexto de otica linear, em eliminar medicoes de coincidencia. Analisamos a caracterizacao de emaranhamento considerando classes especiais de estados. Para estados com alta simetria - estados isotropicos, de Werner e de simetria rotacional constituidos por um qubit e um qudit - mostramos uma relacao entre o grau de emaranhamento e a diferenca de populacao medida por um subsistema condicionada a medicoes de paridade do outro subsistema, relacao essa ja evidenciada em estados gaussianos simetricos. Alem disso, propomos uma nova familia de estados cujo emaranhamento pode ser caracterizado com muito menos recursos do que os utilizados para a reconstrucao, sendo esses recursos estritamente locais. Abstract

•Mar 23, 2009•0 citations
Quando se estuda entrelaçamento de estados quânticos, há uma preocupação em fornecer critérios para saber se um dado estado quântico é ou não entrelaçado, bem como quantificar esse entrelaçamento. Diante disso, serão propostas, neste trabalho, duas expressões algébricas para a negatividade de um estado puro de n qubits. As duas serão utilizadas no cálculo da negatividade desse estado, sendo que uma delas está relacionada com a soma dos menores principais de ordem 3 da transposta parcial da matriz densidade do tal estado, e a outra, depende das amplitudes do referido estado. Com essas expressões é possível calcular, , com , obtendo-se uma generalização do cálculo da negatividade para estados de dois qubits A e B, , com .
Esta tese apresenta alguns resultados sobre dois temas importantes para a teoria da informacao quântica: entrelacamento quântico e algoritmos quânticos. Com respeito ao entrelacamento, e estabelecida uma relacao entre a negatividade e os menores principais de matrizes Hermitianas, o que permite analisar o entrelacamento para estados de dois qubits e estados puros de tres e quatro qubits, usando os menores principais. Foi proposta tambem uma nova medida para o calculo do entrelacamento de estados puros de seis qubits, usando a negatividade. Para ambos os casos, o calculo da variacao do entrelacamento de estados parametrizados foi realizado atraves de formulas analiticas e simulacoes numericas. Por fim, com relacao aos algoritmos quânticos e proposto um algoritmo de busca capaz de achar o minimo de uma funcao realizando apenas uma medicao ao final do algoritmo. O algoritmo e descrito e um exemplo de utilizacao do mesmo no calculo do periodo de uma funcao periodica e apresentado.
Resumo: O emaranhamento entre sistemas não locais, vem gerando grande interesses nas pesquisas pois esse recurso pode ser utilizado na comunicação quântica e computação quântica distribuída Nesse trabalho propomos a geração de emaranhamento entre dois átomos (A1A2) aprisionados em uma cavidade possuída por Alice, e um único átomo (B) aprisionado em uma cavidade que está com Bob, através da interação com um campo eletromagnético no estado comprimido de dois modos injetado nas cavidades com uso de um divisor de feixe Analisamos a evolução do emaranhamento dos três átomos, devido à interação átomo campo, fazendo um traço sobre os graus de liberdade do campo Deste modo obtivemos expressões analíticas para o estado dos átomos, estado do campo, negatividade, extensão "convex-roof"da negatividade e entropia linear, como função do tempo de interação, intensidade de interação e parâmetro de compressão Esses resultados foram utilizados para o estudo da dinâmica do emaranhamento do átomo (B) com o par (A1A2) Também calculamos o emaranhamento dos átomos individuais através da "twoway" negatividade Verificamos que a quantidade de transferência de emaranhamento das variáveis contínuas do campo para os átomos depende do parâmetro de compressão, assim obtivemos o valor de parâmetro de compressão e o parâmetro de interação, que gera maior emaranhamento do átomo (B) como par (A1A2) Além disso, comparamos a entropia de Von Neumann do campo, com a entropia de Von Neumann dos átomos para verificar a transferência de emaranhamento do campo para o sitema de três átomos
A teoria dos algoritmos quânticos promete benefícios sem precedentes ao utilizar as leis da mecânica quântica para resolver certos problemas computacionais. Entretanto, alguns desafios impedem que tais vantagens se apliquem a todos os algoritmos quânticos. Entre esses desafios está o desenvolvimento de uma codificação eficiente de dados clássicos em um estado quântico. Em aplicações práticas, o custo para carregar a informação clássica em um dispositivo quân- tico pode dominar o custo computacional assintótico do algoritmo. Foram propostos diversos métodos baseados em circuitos para codificar dados clássicos nas amplitudes de probabilidade de um estado quântico. Entretanto, esses métodos produzem circuitos com complexidade que cresce linearmente com o tamanho do dado, anulando o benefício da aplicação quântica. O objetivo principal deste trabalho é reduzir a complexidade computacional dos circuitos para a inicialização de estados quânticos. As duas estratégias utilizadas para alcançar tal objetivo exploram a troca de complexidade temporal por espacial ou a transferência de complexidade computacional para um computador clássico. A primeira estratégia reinterpreta métodos al- gébricos para a decomposição de estados quânticos como caminhadas ao longo de árvores binárias. A segunda investiga o grau de emaranhamento de bipartições do estado quântico através da decomposição de Schmidt. Os métodos baseados em árvore alcançam uma redução exponencial na profundidade dos circuitos, em comparação às abordagens existentes. Os base- ados na decomposição de Schmidt produzem circuitos de complexidade variável, proporcional ao emaranhamento do estado. A perspectiva é que o resultado desta tese auxilie os profissionais da computação quântica durante a era dos dispositivos ruidosos de escala intermediária.
Esta dissertação explora o problema da Transferência Perfeita de Estado (PST) em grafos, que tem implicações significativas na computação quântica. O objetivo é determinar quais grafos permitem transferir perfeitamente o estado de um qubit (ou vértice) para outro qubit em um determinado tempo. O texto apresenta uma introdução ao tema utilizando técnicas de álgebra linear, discutindo condições necessárias e suficientes para alcançar o PST e enfatizando a transferência de longa distância entre qubits. O objetivo da otimização ´e minimizar o número de componentes quânticos necessários para alcançar a transferência perfeita de estado. Uma classe importante de grafos que admite PST são os caminhos com pesos. Para o PST entre vértices nos extremos, o problema foi completamente resolvido explorando a conexão desses grafos com polinômios ortogonais. No entanto, o problema se torna consideravelmente mais complexo para vértices em outras posições, levando a novos resultados e conexões explorados neste documento. Entre esses resultados, podemos citar uma fórmula que relaciona, de maneira inédita, o polinômio extremo com outro polinômio arbitrário em uma sequência de polinômios ortogonais; como criar uma sequência de polinômios ortogonais que contenha outros dois dados; e como o PST em caminhos com pesos se relaciona com o problema de Prouhet-Tarry-Escott, um problema em aberto na área de teoria dos números. Por fim, o documento apresenta uma abordagem para a construção de grafos com PST, explorando caminhos ponderados e partições equitativas. Também são apresentados novos teoremas nessa ´área, que têm relevância geral para a teoria dos grafos. Entre esses teoremas, destaca-se um critério para dois grafos possuírem um quociente simetrizado em comum; como as matrizes de partições equitativas se relacionam com matrizes projetivas; e como o conjunto de partições equitativas se transforma quando o grafo original é quocientado.
ResumoEstudamos o emaranhamento quântico de estados puros emaranhados tri-partidos quando uma das partes é um qubit.Apresentamos um método para encontrar as decomposições do estado tri-partido mais simples do que sucessivas decomposições de Schmidt.Esse método permite encontrar uma grande quantidade de diferentes famílias de estados emaranhados tri-partidos.Essas famílias são classicadas de acordo com dimensão dos blocos de Jordan de uma matriz obtida do estado emaranhado.Além disso, também demonstramos que estados pertencentes a famílias distintas não podem ser convertidos um no outro por operações locais estocásticas com comunicação clássica (SLOCC).No caso de dois estados pertencentes à mesma família, obtemos condições necessárias e sucientes para sabermos se estes podem ser convertidos um no outro por SLOCC.No caso de serão, também podemos obter a operação do tipo SLOCC que realiza a conversão.
Propomos um metodo para obtencao de propriedades de sistemas quânticos compostos utilizando apenas medicoes estritamente locais e comunicacao classica. Isso difere dos esquemas usualmente utilizados em protocolos de informacao quântica, que se utilizam em sua maioria de operacoes globais e/ou operacoes locais conjuntas. Nosso tratamento consiste em analisar o efeito de medicoes em um subsistema sobre as submatrizes da matriz densidade do sistema composto. Analisamos entao como outros subsistemas podem ser expressos em termos dessas submatrizes, obtendo assim o efeito das medicoes feitas em um subsistema sobre os outros. Aplicamos esse resultado - valido para sistemas com espacos de Hilbert discretos de dimensao arbitraria - a dois problemas centrais em protocolos de informacao quântica: a reconstrucao de estados de sistemas compostos e a caracterizacao de emaranhamento. Para a tarefa de reconstrucao, mostramos como determinar um estado de um sistema composto de dimensao finita arbitraria utilizando apenas medicoes locais e comunicacao classica de uma via. A vantagem de nossa proposta esta em eliminar a necessidade de medicoes conjuntas, o que se traduz, no contexto de otica linear, em eliminar medicoes de coincidencia. Analisamos a caracterizacao de emaranhamento considerando classes especiais de estados. Para estados com alta simetria - estados isotropicos, de Werner e de simetria rotacional constituidos por um qubit e um qudit - mostramos uma relacao entre o grau de emaranhamento e a diferenca de populacao medida por um subsistema condicionada a medicoes de paridade do outro subsistema, relacao essa ja evidenciada em estados gaussianos simetricos. Alem disso, propomos uma nova familia de estados cujo emaranhamento pode ser caracterizado com muito menos recursos do que os utilizados para a reconstrucao, sendo esses recursos estritamente locais. Abstract