A emergência de fenômenos coletivos e correlações de longo alcance impossibilitam a inferência de propriedades de sistemas como um todo a partir de suas partes componentes. A modelagem destes sistemas frequentemente ocorre mediante emprego de operadores de spin localizados em grafos com topologias não-triviais. Aqui, mostramos que o operador de momento angular de muitos corpos une o estudo de diversos sistemas complexos, desde a sistemas epidêmicos até cadeias magnéticas de spin. Para o modelo epidêmico SIS, determinamos a matriz de transição do processo estocástico correspondente e mostramos suas soluções para grafos regulares e aleatórios, por meio de técnicas geralmente empregadas em sistemas fortemente correlacionados. Já no modelo de Dicke, identificamos o vínculo que explica a relevância e o efeito finito de operadores anti-girantes para duas espécies atômicas confinadas numa cavidade óptica que interagem com radiação eletromagnética. Por fim, o papel do momento angular também é identificado para duas cadeias quânticas de spin 1/2 acopladas, as quais modelam nanoestruturas magnéticas heterogêneas. A estrutura de bandas é calculada, enquanto efeitos espúrios de superfície são removidos pela introdução de quasipartículas dotadas de grau de liberdade de spin adicional
A emergência de fenômenos coletivos e correlações de longo alcance impossibilitam a inferência de propriedades de sistemas como um todo a partir de suas partes componentes. A modelagem destes sistemas frequentemente ocorre mediante emprego de operadores de spin localizados em grafos com topologias não-triviais. Aqui, mostramos que o operador de momento angular de muitos corpos une o estudo de diversos sistemas complexos, desde a sistemas epidêmicos até cadeias magnéticas de spin. Para o modelo epidêmico SIS, determinamos a matriz de transição do processo estocástico correspondente e mostramos suas soluções para grafos regulares e aleatórios, por meio de técnicas geralmente empregadas em sistemas fortemente correlacionados. Já no modelo de Dicke, identificamos o vínculo que explica a relevância e o efeito finito de operadores anti-girantes para duas espécies atômicas confinadas numa cavidade óptica que interagem com radiação eletromagnética. Por fim, o papel do momento angular também é identificado para duas cadeias quânticas de spin 1/2 acopladas, as quais modelam nanoestruturas magnéticas heterogêneas. A estrutura de bandas é calculada, enquanto efeitos espúrios de superfície são removidos pela introdução de quasipartículas dotadas de grau de liberdade de spin adicional
A emergência de fenômenos coletivos e correlações de longo alcance impossibilitam a inferência de propriedades de sistemas como um todo a partir de suas partes componentes. A modelagem destes sistemas frequentemente ocorre mediante emprego de operadores de spin localizados em grafos com topologias não-triviais. Aqui, mostramos que o operador de momento angular de muitos corpos une o estudo de diversos sistemas complexos, desde a sistemas epidêmicos até cadeias magnéticas de spin. Para o modelo epidêmico SIS, determinamos a matriz de transição do processo estocástico correspondente e mostramos suas soluções para grafos regulares e aleatórios, por meio de técnicas geralmente empregadas em sistemas fortemente correlacionados. Já no modelo de Dicke, identificamos o vínculo que explica a relevância e o efeito finito de operadores anti-girantes para duas espécies atômicas confinadas numa cavidade óptica que interagem com radiação eletromagnética. Por fim, o papel do momento angular também é identificado para duas cadeias quânticas de spin 1/2 acopladas, as quais modelam nanoestruturas magnéticas heterogêneas. A estrutura de bandas é calculada, enquanto efeitos espúrios de superfície são removidos pela introdução de quasipartículas dotadas de grau de liberdade de spin adicional
Sistemas unidimensionais desordenados destacam-se por apresentar fenomenos sem analogos nos casos sem desordem ou em dimensoes maiores. Fenomenos inerentes a sistemas com desordem incluem antiferromagneticas de sistemas de spins, onde o estado fundamental e formado por colecoes de singletos de pares de spins, e localizacao de Anderson, onde a funcao de onda apresenta decaimento exponencial. Nesta Tese, estudamos alguns casos onde a fisica de baixas energias e dramaticamente alterada quando o sistema e desordenado, incluindo os exemplos citados anteriormente. Alem de sistemas que apresentam as propriedades fisicas anteriores, elucidamos ainda um mecanismo generico que leva ao aumento de simetria de baixas energias em sistemas de spins desordenados, um tema nao explorado previamente. Investigamos os efeitos de desordem em cadeias de spin genericos em uma dimensao, sendo as interacoes invariantes por rotacao do sistema de coordenadas e por reversao temporal. Para tanto, consideramos todos os termos possiveis que preservam estas simetrias. Tais termos vao alem do habitual termo de Heisenberg, em cadeias de spin S>1/2. Em cadeias de spin 1, encontramos distintas antiferromagneticas onde o estado fundamental e composto de uma colecao de singletos de spins cujas posicoes sao aleatorias. Em baixas energias, a desordem efetiva nestas cresce sem limites; tais sao chamadas, portanto, de fases de desordem infinita. Mais surpreendentemente, verificamos que nas antiferromagneticas a simetria de baixas energias e aumentada, de SU(2) para SU(3). Tal verificacao e feita a partir do mapeamento de operadores de spin monopolares, dipolares e quadrupolares para geradores de representacoes de SU(3), e a posterior constatacao de que a fisica de baixas energias e invariante por rotacoes com tal grupo de geradores. Em analogia com a fisica de particulas, uma das e do tipo barionica, onde o estado fundamental e composto de singletos de colecoes de tres spins (ou quarks formando um singleto de cor, pela analogia com altas energias), enquanto outra fase e do tipo mesonica, sendo o estado fundamental uma sopa de pares de spins (ou pares quark-antiquark, pela analogia). Alem das antiferromagneticas, mapeamos o diagrama de completo da cadeia de spin 1 bilinear e biquadratica (nos operadores de spin) no regime de desordem finita, incluindo ferromagneticas e de spin alto. Nestas, o ferromagnetismo e o antiferomagnetismo competem, o que se reflete no crescimento de spin efetivos, que sao os graus de liberdade efetivos em baixas energias, ser mais lento que no caso ferromagnetico. Ao contrario das antiferromagneticas, nestas de spin alto, a desordem efetiva satura em um valor finito. Estendemos o estudo para spins S>1 atraves do uso de tensores esfericos irredutiveis, que se mostram a linguagem natural para construcao das regras de dizimacao e analise do fluxo do grupo de renormalizacao para desordem forte. Novamente, incluimos todos os termos possiveis que respeitam invariância por rotacao SU(2) e reversao temporal. Descobrimos que ha tambem simetria aumentada nas antiferromagneticas em baixas energias, agora para o grupo SU(2S+1), simetria esta herdada de um ponto no espaco de parâmetros onde o mapeamento para SU(2S+1) e exato em todas as escalas de energia. Esta e uma generalizacao da fase mesonica SU(3) de cadeias de spin 1. Nos tambem discutimos o porque da fase barionica ser muito mais restritiva e, portanto, especial da cadeia de spins 1. Outro objeto de nosso estudo foram sistemas de fermions nao-interagentes em uma dimensao. Os hoppings de longo alcance sao escolhidos tendo um desvio padrao com decaimento em funcao da distância entre sitios, em forma de lei de potencia. Para tal estudo, estendemos o metodo de Equacoes de Fluxo, pioneiramente proposto por Wegner, para sistemas desordenados. Acoplado a esta extensao do metodo, propusemos uma tecnica de grupo de renormalizacao. A combinacao do uso direto das Equacoes de Fluxo, mais o metodo de grupo de renormalizacao, permitiu o mapeamento completo do diagrama de fases, com uma fase estendida (nao-localizada) para expoentes de decaimento menores que um, e uma fase localizada para expoentes maiores que um. O carater localizado ou delocalizado de determinada fase e determinado tanto pela evolucao da distribuicao de acoplamentos, quanto pelos autovalores do Hamiltoniano, atraves da medida de sua repulsao mutua entre niveis
Ab
Após a descoberta de fases que não são descritas por quebra espontânea de simetrias usuais, uma nova classificação para o conceito de ordens da matéria foi necessária para englobar um novo conjunto de estados físicos que dependem da topologia do sistema. As “ordens quânticas” configuram um frutífero campo de estudo onde é possível observar propriedades exóticas como a emergência de quasipartículas com estatística e carga fracionada (ânyons) e com restrição de mobilidade (fráctons) em modelos de rede com propriedades topológicas. Além disso, a degenerescência do estado fundamental, que outrora, em descrições clássicas, dependia exclusivamente da existência de simetrias, agora são determinadas por invariantes topológicos medidos por operadores que descrevem curvas não triviais em modelos com condições periódicas de contorno. As excitações desses sistemas, as quais são identificadas como quasipartículas, e podem ser interpretadas como defeitos topológicos na rede, exigem um custo energético para serem criadas, porém podem ser mover, desde que não criem ou aniquilem outras excitações sem energia adicional. O estudo atual de modelos com ordens quânticas está fortemente associado a avanços tecnológicos em áreas como computação quânticas e supercondutores pois descrevem, respectivamente, modelos tolerantes a erros e interações efetivas em sistemas de muitos corpos
Propriedades dinâmicas de sistemas quânticos de muitos corpos é um tópico de grande interesse em física da matéria condensada. Estas propriedades nos dão informação sobre a propagação de excitações elementares e de mecanismos de relaxação em sistemas interagentes. Neste contexto, as funções de correlação tem se tornado ainda mais relevantes devido a experimentos em sistemas de átomos frios e íons armadilhados que medem diretamente no domínio temporal os comportamentos assintóticos no tempo. No entanto, até o momento a maioria dos estudos em cadeias de spin quânticas focaram-se em correlações de um único spin. Utilizando a cadeia de spin XX unidimensional, nós estudamos métodos exatos para calcular as funções de correlação das componentes do tensor de dois spins, Tabi,j = SaiSbj. Estes operadores aparecem, por exemplo, como a resposta da seção de choque de espalhamento inelástico de raios X. Baseados no teorema de Wick, nós mostramos que algumas funções de correlação das componentes locais do tensor de dois operadores de spins de sítios vizinhos, na representação de férmions, podem ser escritas como uma combinação de funções de Green de uma única partícula. Utilizamos diagramas de Feynman para organizar esta combinação e calcular as funções de correlação. Em seguida, considerando esses propagadores para tempos longos e grandes distâncias ao longo do cone de luz, encontramos o comportamento dessas funções de correlação como leis de potência oscilatórias que decaem com o tempo e distância. Uma aplicação direta das funções de correlação é para o estudo de quantidades conservadas e não conservadas, uma análise sobre algumas dessas quantidades foi feita. Discutimos também as funções de correlação das componentes do tensor que não são locais na representação fermiônica. Nesse caso os cálculos foram mais desafiadores, mas usamos o fato que funções de correlação dependente do tempo podem ser expressadas em termos dos determinantes de Fredholm.
Nesta tese abordamos o tema das transi c~oes de fases qu^anticas no contexto de l quidos de spins usando dois modelos e duas abordagens te oricas diferentes. A area das transi c~oes de fases qu^anticas e bastante vasta e, por esse motivo, escolhemos dois exemplos espec cos, que tem solu c~ao exata. O primeiro exemplo e descrito por excita c~oes elementares denominadas modos de majorana de energia zero que est~ao relacionadas as propriedades topol ogicas, enquanto que o segundo exemplo e descrito por spinons livres que obedecem a estat sticas fracion arias. Nos dois casos, estas excita c~oes elementares v^em da sistemas interagentes de muitos corpos, as quais s~ao fundamentalmente diferentes dos f ermions e b osons. Portanto, as regras de segunda quantiza c~ao usuais n~ao est~ao dispon veis para esses sistemas, abrindo espa co para desenvolver novas teorias e t ecnicas. Nesta tese temos a oportunidade, em termos gerais, de reunir aspectos b asicos das propriedades topol ogicas de sistemas de baixa dimensionalidade, por um lado, e colocar em opera c~ao alguns detalhes da estrutura da ^algebra Yangiana para lidar com a f sica de spinons livres, por outro lado. Primeiramente come camos por estudar o efeito da inomogeneidade espacial na cadeia de Kitaev. Este modelo unidimensional descreve um supercondutor de onda p caracterizado por fases topol ogicas/n~ao-topol ogicas. Usando o m etodo de c elula unit aria ampliada, estudamos um invariante topol ogico apropriado para descrever os efeitos das modula c~oes espaciais nos par^ametros do modelo Encontramos o surgimento de regi~oes n~ao-topol ogicas compactas, as que chamamos de bolhas, as quais s~ao descritas por estados topol ogicos protegidos no caso homog^eneo. Para caracterizar estas fases, desenvolvemos uma descri c~ao polinomial do invariante topol ogico, o que nos levou a uma explica c~ao do surgimento destas bolhas na regi~ao topol ogica, assim como a identi car uma estrutura interna do invariante topol ogico, tendo este um comportamento notoriamente semelhante a fun c~ao de correla c~ao de spins do modelo XY de spin-1=2. Ambos modelos exibem a mesma regi~ao de oscila c~oes nos seus diagramas de fase. Isto e um efeito da dualidade, j a que ambos modelos est~ao ligados por uma transforma c~ao de Jordan-Wigner. Como uma aplica c~ao do nosso m etodo, utilizamos ele para caracterizar um modelo efetivo correspondente a um modelo de ligaduras-fortes de f ermions sem spin, com uma intera c~ao de carga a primeiros vizinhos que e modulada periodicamente. Usando o formalismo de Floquet, achamos um Hamiltoniano efetivo o qual e levado a cadeia de Kitaev inomog^enea descrita por um emparelhamento a primeiros vizinhos dimerizado e um emparelhamento a segundos vizinhos. Aplicando o nosso formalismo, conseguimos descrever os efeitos da depend^encia temporal deste modelo efetivo. Na segunda parte da tese, estudamos o modelo unidimensional de Haldane- Shastry, mais uma intera c~ao quiral dada pelo componente-z do operador de rapidez O modelo de Haldane-Shastry consiste numa cadeia homog^enea com condi c~oes de borda peri odicas de spins 1=2, com uma intera c~ao de troca entre os spins que decai com o inverso da dist^ancia ao quadrado. Este modelo e integr avel, exatamente sol uvel atrav es da ^algebra Yangiana, e as suas simetrias descrevem as excita c~oes elementares, dadas por spinons livres que satisfazem estat sticas fracion arias. Uma vez que a intera c~ao quiral e tomada como o operador de rapidez, da Yangiana, a simetria do novo modelo n~ao muda, o que nos permite utilizar o formalismo das Tabelas de Young Modi cadas para descrever seus autoestados. Descobrimos que o espectro do modelo original e separado quando a intera c~ao quiral e ligada. A ^algebra Yangiana e respons avel por esta separa c~ao, resultando em regras de quantiza c~ao n~aotriviais que foram estudadas pela teoria de representa c~ao da ^algebra. Ap os nossa descri c~ao num erica para sistemas nitos, ampliamos nossos resultados para o limite termodin^amico, achando uma descri c~ao geral das transi c~oes do estado fundamental para baixas energias, que e v alida at e para a cadeia in nita. Para nalizar, e como uma aplica c~ao, utilizamos o modelo de Haldane-Shastry com intera c~ao quiral para introduzir uma fam lia de modelos de spins com intera c~oes a mais vizinhos, cujas constantes de acoplamento s~ao extra das deste modelo. Descrevemos como a solu c~ao desses modelos pode ser achada por meio da nossa abordagem, o que nos permite formular a quest~ao sobre o v nculo que t^em entre eles.
Através da nova técnica de Busca Automática de parâmetros de ordem e propriedades críticas, estudamos vários sistemas físicos conhecidos, com o intuito de testar a eficiência desta técnica, a fim de aplicá-la para. sistemas complexos em geral.\nO Método de Busca Automática (MBA) é desenvolvido em combinação com o Método de Simulação de Monte Carlo e este por sua vez se utiliza de uma determinada dinâmica para. fazer o sistema evoluir com o tempo. Nos problemas que tratamos, utilizamos as dinâmicas de Metropolis e de Gláuber, que produzem resultados essencialmente equiva¬lentes.\nFazemos uma breve revisão das transições de fase e fenômenos críticos. Descrevemos o MBA e comentamos alguns trabalhos onde a. aplicação deste método já obteve sucesso.\nAplicamos o MBA para o modelo de Ising ferromagnético. Calculamos as fronteiras críticas e o expoente fl da magnetização em várias redes geométricas e várias dimensões espaciais.\nAplicamos também o MBA para o modelo de Ising ferromagnético em uma rede quadrada com diluição de sítios. Calculamos as fronteiras críticas, o expoente 0 e o expoente 7 da susceptibilidade. O MBA calcula simultaneamente os expoentes (5 e 7. Verificamos que a. classe de universalidade do sistema não é alterada quando se introduz diluição.\nEstudamos o problema, da. percolação de ligações de longo alcance na cadeia linear diluída. Discutimos questões de extensividade e não extensividade inerentes à sistemas com interações de longo alcance.\nFinalmente, apresentamos nossas conclusões e possíveis extensões deste trabalho