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Teoria esatta delle perturbazioni

Riccardo Ciccone

Published Jul 1, 2017• 0 citations
OpenAlex

Abstract

Nello studio dei modelli quantomeccanici si incontrano sistematicamente serie perturbative asintotiche con raggio di convergenza nullo. In alcuni casi tali serie sono risommabili al risultato esatto, tuttavia cio non e sempre garantito a causa di contributi non perturbativi. Questa tesi discutera come, nonostante la presenza di questi effetti, per tutte le osservabili di un'ampia classe di modelli si possano ottenere serie asintotiche risommabili al risultato esatto. La procedura sara poi applicata allo studio di alcuni modelli particolari.

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L. Accardi

Agli inizi dell'800 ebbe inizio una rivoluzione scientifica che, relegata \ninizialmente al ristretto ambiente dei matematici, doveva trovare, circa un \nsecolo dopo, spettacolari applicazioni nelle teorie di Einstein. Ci\\`o che \naccadde in quel secolo fu il superamento di uno dei pi\\`u radicati \npregiudizi della storia dell'uomo: l'unicit\\`a delle categorie spaziali. In \nquel secolo si comprese che gli assiomi sui quali \\`e costruita la geometria \neuclidea non sono una lista di propriet\\`a dello spazio, ma la definizione \ndi un modello di spazio. L'aspetto profondo di questa conquista fu che furono \nforgiati strumenti che permettevano di distinguere tra i vari modelli di \nspazio mediante misure effettuate all'interno dello spazio stesso (questo \\`e \nil contenuto del famoso ``theorema egregium'' di Gauss). Da quel momento \nla geometria cess\\`o di essere lo studio delle propriet\\`a di un singolo \nmodello di spazio (quello di Euclide), per diventare lo studio dei possibili \nmodelli di spazio. Circa un secolo dopo Einstein forn{\\i} una interpretazione \nfisica di questo nuovo quadro concettuale aggiungendo a questo schema un \nnuovo elemento, e cio\\`e una ipotesi sul modo un cui la fisica \n(pi\\`u specificamente la distribuzione della materia) determina la \nstruttura dello spazio. Su questa ipotesi, che \\`e alla base della teoria \ndella relativit\\`a generale, si basa la moderna cosmologia -- una \naffascinante sintesi di fisica e geometria.

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Il concetto di trasformazione tra sistemi di riferimento e racchiuso nell'idea di simmetria. Definiti, nel primo capitolo, i concetti di simmetria fisica e algebrica, si osserva come in meccanica quantistica ogni simmetria algebrica possa essere estesa ad una simmetria fisica. Usando alcuni risultati della teoria delle rappresentazioni, brevemente esposti nel secondo capitolo, verra affrontato l'argomento principale del lavoro di tesi: la ricerca di una descrizione quanto-meccanica della fisica in sistemi di riferimento non inerziali. Nel terzo capitolo si propone un'analisi della generalizzazione del gruppo delle rototraslazioni: un gruppo di dimensione infinita ad un parametro, chiamato gruppo lineare euclideo. Trovati i generatori del gruppo ad un parametro si costruiscono gli operatori unitari associati: essi, agendo sull'hamiltoniana, danno luogo a termini analoghi alle forze fittizie nell'equazione di Schroedinger. Viene infine proposta una discussione dei termini aggiuntivi che appaiono nell'hamiltoniana e della loro relazione con la presenza di un potenziale gravitazionale. Dall'analisi risulta che il prinipio di equivalenza, illustrato nell'introduzione, viene generalmente violato in meccanica quantistica.

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È stato studiato un problema di scattering tra due particelle che interagiscono tramite un potenziale puntuale in tre dimensioni nel limite in cui una particella ha massa molto minore dell’altra. I risultati ottenuti hanno permesso di stimare gli effetti di decoerenza dinamicamente indotta su uno stato entangled della particella “pesante” che si ottengono quando la particella “leggera” viene utilizzata come misuratore per la posizione della particella “pesante”. Utilizzando la teoria delle estensioni autoaggiunte è stato modellizzato un sistema in cui una particella quantistica (senza spin) interagisce con uno spin posto in un punto fissato dello spazio mediante un potenziale singolare dipendente dallo spin. È stata discussa la caratterizzazione di tutte le possibili hamiltoniane di interazione ottenibili come perturbazioni puntuali dell’hamiltoniana libera. In alcuni casi particolari è stato possibile ottenere espressioni esplicite per il propagatore. La conoscenza della dinamica esatta del sistema ha permesso di valutare esplicitamente l’attenuazione dei termini di interferenza quantistica in uno stato entangled dello spin, dovuta all’interazione con la particella. È stato studiato un problema di interazione in una dimensione di un numero finito e infinito di sorgenti con il campo acustico. Lo scopo era quello di dimostrare che, in assenza di meccanismi di riflessione delle onde acustiche, il moto delle sorgenti risulta smorzato a causa dell’interazione con il proprio campo. Utilizzando la teoria delle estensioni autoaggiunte di operatori simmetrici è stata realizzata una formulazione del tutto nuova di tale problema. Tale formulazione ha permesso di ottenere risultati molto generali sullo smorzamento delle oscillazioni delle sorgenti.

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asintotiche con raggio di convergenza nullo. In alcuni casi tali serie sono risommabili al
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esatto. La procedura sara poi applicata allo studio di alcuni modelli particolari.
Agli inizi dell'800 ebbe inizio una rivoluzione scientifica che, relegata \ninizialmente al ristretto ambiente dei matematici, doveva trovare, circa un \nsecolo dopo, spettacolari applicazioni nelle teorie di Einstein. Ci\\`o che \naccadde in quel secolo fu il superamento di uno dei pi\\`u radicati \npregiudizi della storia dell'uomo: l'unicit\\`a delle categorie spaziali. In \nquel secolo si comprese che gli assiomi sui quali \\`e costruita la geometria \neuclidea non sono una lista di propriet\\`a dello spazio, ma la definizione \ndi un modello di spazio. L'aspetto profondo di questa conquista fu che furono \nforgiati strumenti che permettevano di distinguere tra i vari modelli di \nspazio mediante misure effettuate all'interno dello spazio stesso (questo \\`e \nil contenuto del famoso ``theorema egregium'' di Gauss). Da quel momento \nla geometria cess\\`o di essere lo studio delle propriet\\`a di un singolo \nmodello di spazio (quello di Euclide), per diventare lo studio dei possibili \nmodelli di spazio. Circa un secolo dopo Einstein forn{\\i} una interpretazione \nfisica di questo nuovo quadro concettuale aggiungendo a questo schema un \nnuovo elemento, e cio\\`e una ipotesi sul modo un cui la fisica \n(pi\\`u specificamente la distribuzione della materia) determina la \nstruttura dello spazio. Su questa ipotesi, che \\`e alla base della teoria \ndella relativit\\`a generale, si basa la moderna cosmologia -- una \naffascinante sintesi di fisica e geometria.
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