L'axomatisation quantique ou "∇^{γ}-quantification" est un procédé de quantification des fibrés vectoriels réels ou complexes. On veut réprésenter les états d'un système physique comme les sections d'un fibré hermitien. On est ainsi amené à adapter les postulats de la physique quantique à la théorie des fibrés vectoriels. Le principe de quantification se fait en définissant sur chaque fibre une observable qui varie de façon C^{∞}. En dimension finie, on construit un opérateur, équivalent à l'opérateur hamiltonien, à partir d'une connexion ∇ sur le fibré et d'une section de Dirac γ. L'équation d'état ou équation de Dirac-Einstein est décrite par une équation des sections propres du fibré considéré. Les équations d'évolution du système se font le long d'un champ chronologique. L'espace de base du fibré est, en général, une carte W de l'univers W ou l'univers lui-même. L'espace total est une variété qui peut être de dimension infinie si la fibre est un espace de banach ou de hilbert de dimension infinie.
L'axomatisation quantique ou "∇^{γ}-quantification" est un procédé de quantification des fibrés vectoriels réels ou complexes. On veut réprésenter les états d'un système physique comme les sections d'un fibré hermitien. On est ainsi amené à adapter les postulats de la physique quantique à la théorie des fibrés vectoriels. Le principe de quantification se fait en définissant sur chaque fibre une observable qui varie de façon C^{∞}. En dimension finie, on construit un opérateur, équivalent à l'opérateur hamiltonien, à partir d'une connexion ∇ sur le fibré et d'une section de Dirac γ. L'équation d'état ou équation de Dirac-Einstein est décrite par une équation des sections propres du fibré considéré. Les équations d'évolution du système se font le long d'un champ chronologique. L'espace de base du fibré est, en général, une carte W de l'univers W ou l'univers lui-même. L'espace total est une variété qui peut être de dimension infinie si la fibre est un espace de banach ou de hilbert de dimension infinie.
On se propose de quantifier les fibrés hermitiens à fibre séparable. On s'intéresse à la quantification d'un état de l'univers Ω en généralisant l'axiomatique de quantification aux sections du fibré. Ensuite, on propose de donner un procédé de quantification, en faisant intervenir l'espace de Bose-Fermi-Fock. On définit deux types de quantification. Le premier procédé se fait fibre à fibre en s'appuyant sur le travail de Monsieur Arai. Pour le second procédé, on fait intervenir une forme volume induite par une métrique riemannienne. On introduit la notion d'espace de Sobolev et la notion d'opérateur diagonalisable pour décrire ce dernier procédé. Cela permet de quantifier l'équation d'évolution définie sur le fibré d'état qui correspond à l'équation de Schrödinger sur les fibrés.
Le but de cet article n'est pas de donner une representation fidele de la realite physique de l'univers. On propose de construire des outils permettant de donner une approche geometrique de cet univers. Par exemple, les sections de Dirac donnent un sens a la notion de metrique universelle. On generalise l'integrale de Feynman et on etend cette integrale aux fibres d'etat de l'univers. La quantification de ces fibres d'etat permet de construire les operateurs de Dirac et de Laplace-Beltrami sur l'espace de Bose-Fermi-Fock. L'idee de representer l'univers de Dirac-Einstein comme une singularite d'un multivers, nous amene a definir la notion de densite d'action et, a partir d'une densite, de decouper l'univers par chirurgie de Milnor-Smale. Cette representation definie la notion de passe, present et futur qui est liee a un etat de l'univers. L'axiomatisation quantique des obervables complete cette presentation geometrique.
Quantification de variables conjuguées par états cohérents Dans ce travail on se concentre sur une méthode alternative de quantification a travers des états cohérents. La méthode canonique associe un pair de variables conjuguées classiques et identifie leur crochet de Poisson au commutateur quantique de ses observables quantiques correspondantes. Les observables sont définies comme des opérateurs auto-adjoints agissant sur un espace de Hilbert particulier. Leurs valeurs physiques se trouvent dans leur résolution spectrale, et pourtant sont liés à une mesure à valeur projection (PV). Néanmoins, il existe un empêchement lorsqu’on impose des bornes sur les ces spectres. Cette restriction sur la définition des opérateurs est décrite par un théorème de W. Pauli et ouvre la voie vers la définition de méthodes alternatives de quantification. La quantification par états cohérents propose une définition d’observable quantique qui prend des valeurs à travers la valeur moyenne sur une famille « cohérente » non-orthogonale et surcomplète de vecteurs dans l’espace de Hilbert. Les états cohérents définis à cet effet partagent avec ceux de oscillateur harmonique la propriété d’être des résolutions de l’identité et d’être parametrisés par un indice discret et une variable complexe. Ceci les rend particulièrement utiles pour « traduire » des variables classiques en opérateurs quantiques bien définis. On a étudié trois cas particuliers ou la définition d’opérateurs auto-adjoints est compromise. En premier on propose une définition de l’opérateur de phase, correspondant à l’angle conjugué à l’action classique. En deuxième place on étudie la quantification du mouvement dans un puits infini de potentiel, notamment, l’opérateur d’impulsion problématique est défini proprement. Finalement ont propose un opérateur temps, conjugué au Hamiltonien, pour une particule libre en utilisant des états cohérents de type SU(1,1) sur des demi plans de Poincaré
Dans ce travail on se concentre sur une méthode alternative de quantification a travers des états cohérents. La méthode canonique associe un pair de variables conjuguées classiques et identifie leur crochet de Poisson au commutateur quantique de ses observables quantiques correspondantes. Les observables sont définies comme des opérateurs auto-adjoints agissant sur un espace de Hilbert particulier. Leurs valeurs physiques se trouvent dans leur résolution spectrale, et pourtant sont liés à une mesure à valeur projection (PV). Néanmoins, il existe un empêchement lorsqu’on impose des bornes sur les ces spectres. Cette restriction sur la définition des opérateurs est décrite par un théorème de W. Pauli et ouvre la voie vers la définition de méthodes alternatives de quantification. La quantification par états cohérents propose une définition d’observable quantique qui prend des valeurs à travers la valeur moyenne sur une famille « cohérente » non-orthogonale et surcomplète de vecteurs dans l’espace de Hilbert. Les états cohérents définis à cet effet partagent avec ceux de oscillateur harmonique la propriété d’être des résolutions de l’identité et d’être parametrisés par un indice discret et une variable complexe. Ceci les rend particulièrement utiles pour « traduire » des variables classiques en opérateurs quantiques bien définis. On a étudié trois cas particuliers ou la définition d’opérateurs auto-adjoints est compromise. En premier on propose une définition de l’opérateur de phase, correspondant à l’angle conjugué à l’action classique. En deuxième place on étudie la quantification du mouvement dans un puits infini de potentiel, notamment, l’opérateur d’impulsion problématique est défini proprement. Finalement ont propose un opérateur temps, conjugué au Hamiltonien, pour une particule libre en utilisant des états cohérents de type SU(1,1) sur des demi plans de Poincaré
Dans ce travail on se concentre sur une methode alternative de quantification a travers des etats coherents. La methode canonique associe un pair de variables conjuguees classiques et identifie leur crochet de Poisson au commutateur quantique de ses observables quantiques correspondantes. Les observables sont definies comme des operateurs auto-adjoints agissant sur un espace de Hilbert particulier. Leurs valeurs physiques se trouvent dans leur resolution spectrale, et pourtant sont lies a une mesure a valeur projection (PV). Neanmoins, il existe un empechement lorsqu’on impose des bornes sur les ces spectres. Cette restriction sur la definition des operateurs est decrite par un theoreme de W. Pauli et ouvre la voie vers la definition de methodes alternatives de quantification. La quantification par etats coherents propose une definition d’observable quantique qui prend des valeurs a travers la valeur moyenne sur une famille « coherente » non-orthogonale et surcomplete de vecteurs dans l’espace de Hilbert. Les etats coherents definis a cet effet partagent avec ceux de oscillateur harmonique la propriete d’etre des resolutions de l’identite et d’etre parametrises par un indice discret et une variable complexe. Ceci les rend particulierement utiles pour « traduire » des variables classiques en operateurs quantiques bien definis. On a etudie trois cas particuliers ou la definition d’operateurs auto-adjoints est compromise. En premier on propose une definition de l’operateur de phase, correspondant a l’angle conjugue a l’action classique. En deuxieme place on etudie la quantification du mouvement dans un puits infini de potentiel, notamment, l’operateur d’impulsion problematique est defini proprement. Finalement ont propose un operateur temps, conjugue au Hamiltonien, pour une particule libre en utilisant des etats coherents de type SU(1,1) sur des demi plans de Poincare
On révise les prérequis de géométrie différentielle nécessaires à une première approche de la théorie de la quantification géométrique, c'est-à-dire des notions de base en géométrie symplectique, des notions de groupes et d'algèbres de Lie, d'action d'un groupe de Lie, de G-fibré principal, de connexion, de fibré associé et de structure presque-complexe. Ceci mène à une étude plus approfondie des fibrés en droites hermitiens, dont une condition d'existence de fibré préquantique sur une variété symplectique. Avec ces outils en main, nous commençons ensuite l'étude de la quantification géométrique, étape par étape. Nous introduisons la théorie de la préquantification, i.e. la construction des opérateurs associés à des observables classiques et la construction d'un espace de Hilbert. Des problèmes majeurs font surface lors de l'application concrète de la préquantification : les opérateurs ne sont pas ceux attendus par la première quantification et l'espace de Hilbert formé est trop gros. Une première correction, la polarisation, élimine quelques problèmes, mais limite grandement l'ensemble des observables classiques que l'on peut quantifier. Ce mémoire n'est pas un survol complet de la quantification géométrique, et cela n'est pas son but. Il ne couvre ni la correction métaplectique, ni le noyau BKS. Il est un à-côté de lecture pour ceux qui s'introduisent à la quantification géométrique. D'une part, il introduit des concepts de géométrie différentielle pris pour acquis dans (Woodhouse [21]) et (Sniatycki [18]), i.e. G-fibrés principaux et fibrés associés. Enfin, il rajoute des détails à quelques preuves rapides données dans ces deux dernières références.