En 1926, Max Born [1] intentaba por primera vez realizar una descripción cuántica \nde una colisión atómica en la formulación de \\ondas piloto", opinando que la misma \npodría proveer un marco más satisfactorio para el estudio de dicho problema. Pero el \nprograma de investigación de Born nunca llegó a concretarse. Recientemente se ha revalorizado \nla propuesta original de Born, considerando que puede representar opciones \nventajosas para estudiar problemas de colisión. Por otro lado, experimentos novedosos \n[2, 3] han mostrado que, el resultado de una colisión atómica no es necesariamente \nindependiente de la preparación del haz de proyectiles. Esto se debe a que la sección \neficaz de colisión suele depender del estado de coherencia del haz incidente. Además, \ndesde un punto de vista práctico se puede mencionar la aplicación del método de cálculo \nde Trayectorias Cuánticas [4, 5] a diversos problemas de colisión y reacción en Física \ny Química. Es en este contexto que el presente trabajo desarrolla una descripción \nalternativa en el marco de la formulación cuántica de onda piloto, aplicándola a la \n\\descripción de un Proceso de Colisión Elástica". En particular se calcula el campo \nde velocidades con sus respectivas trayectorias, al igual que los nodos de la función de \nonda (vórtices irrotacionales) y por úlltimo la sección eficaz, correspondiente a un paquete \nde onda gaussiana con un impulso bien definido que es dispersado por un centro \nde fuerza. Para nalizar se hace una interpretación de los resultados obtenidos.
En 1926, Max Born [1] intentaba por primera vez realizar una descripción cuántica \nde una colisión atómica en la formulación de \ondas piloto", opinando que la misma \npodría proveer un marco más satisfactorio para el estudio de dicho problema. Pero el \nprograma de investigación de Born nunca llegó a concretarse. Recientemente se ha revalorizado \nla propuesta original de Born, considerando que puede representar opciones \nventajosas para estudiar problemas de colisión. Por otro lado, experimentos novedosos \n[2, 3] han mostrado que, el resultado de una colisión atómica no es necesariamente \nindependiente de la preparación del haz de proyectiles. Esto se debe a que la sección \neficaz de colisión suele depender del estado de coherencia del haz incidente. Además, \ndesde un punto de vista práctico se puede mencionar la aplicación del método de cálculo \nde Trayectorias Cuánticas [4, 5] a diversos problemas de colisión y reacción en Física \ny Química. Es en este contexto que el presente trabajo desarrolla una descripción \nalternativa en el marco de la formulación cuántica de onda piloto, aplicándola a la \n\descripción de un Proceso de Colisión Elástica". En particular se calcula el campo \nde velocidades con sus respectivas trayectorias, al igual que los nodos de la función de \nonda (vórtices irrotacionales) y por úlltimo la sección eficaz, correspondiente a un paquete \nde onda gaussiana con un impulso bien definido que es dispersado por un centro \nde fuerza. Para nalizar se hace una interpretación de los resultados obtenidos.
Es pensado que la Mecánica Cuántica es una de las teorías fundamentales en la física. Esta teoría no solo ha permitido el estudio detenido de las propiedades de la naturaleza a una escala atómica, sino que también ha logrado una asombrosa convergencia con gran parte de las teorías clásicas. Un rasgo distintivo de la Mecánica Cuántica es su naturaleza probabilística, lo que implica que no puede prever con absoluta certeza el resultado de un experimento, sino tan solo asignar una probabilidad específica a su ocurrencia. En virtud de esta característica, la Mecánica Cuántica introduce un contexto donde llevar a cabo una medición se convierte en un proceso intrínseco. A pesar de ello, ninguno de sus fundamentos aborda explícitamente la definición de lo que constituye una medición cuántica. Aunque este procedimiento evidencia tanto la naturaleza probabilística a pequeña escala como el carácter determinista del ámbito macroscópico, surge de manera pertinente la pregunta: ¿qué se entiende por medición? O, al menos, ¿cómo llevar a cabo una medición? Diversos esfuerzos han sido realizados con el fin de construir un marco conceptual riguroso que describa el proceso de medición cuántica. En este estudio, se examinará detenidamente el esquema de medición propuesto por von Neumann interpretado a partir de la interacción entre el sistema principal y su entorno, así como los posibles tipos de mediciones que pueden surgir en estos sistemas. Sin embargo, al adentrarnos en el ámbito de la Teoría Cuántica de Campos y buscar realizar mediciones en este contexto, es imperativo ampliar la noción de medición de acuerdo con los principios de localidad y causalidad. Por ende, al establecer un marco claramente definido para las mediciones, también se delinean ciertas operaciones que son físicamente permitidas. Este trabajo se propone examinar los protocolos de medición en campos relativistas con el objetivo de comprender el protocolo propuesto por Fewster y Verch como una generalización de la teoría de medición cuántica no relativista.
Usualmente se demuestra que, bajo condiciones muy generales, el resultado de un \nexperimento de colisiones atómicas no depende de las propiedades del haz incidente \n[1]. Sin embargo, la evidencia aportada recientemente por una serie de experimentos de \nionización [2] apunta a una ruptura de estas condiciones, con resultados que parecen \ndepender del estado de coherencia del haz incidente. Estos hechos dejan abierta la \npregunta de como afecta la preparacion del haz de proyectiles al resultado de una \ncolisión. \nEn este trabajo se presenta un estudio de este problema analizando las inconsistencias \nde la formulación estacionaria estandar de la teoría de colisiones [1], y como estas \npueden afectar la interpretación de los efectos de la preparación del proyectil en experimentos \nde colisión por impacto de iones. Para realizar esto, se utiliza la formulación \ncuántica de De Broglie-Bohm [3, 4] que ha recobrado recientemente notoriedad, principalmente \ngracias a su capacidad para tratar resultados innovadores en experimentos \nde mediciones debiles [5, 6]. Además, esta formulación resulta una opción ventajosa \npara describir una serie de problemas físicos de interés actual, como ser el método de \ncálculo de trayectorias cuánticas desarrollado por Robert E. Wyatt [7], o el estudio de \nefectos como la aparición de vórtices en procesos multicanales [8]. \n
La tecnologia actual esta empezando a permitir la medida y el control de distintos pasos en la evolucion de colisiones cuanticas en escalas de tiempos de femto- y atto-segundos. De hecho, muchos trabajos teoricos se orientan en la actualidad hacia la descripcion de procesos y fenomenos que ocurren durante la colision, a diferencia del punto de vista mas tradicional, en que solo los instantes inicial y final de una colision eran relevantes y accesibles experimentalmente.
En este trabajo se describe y caracteriza un nuevo efecto cuantico de interferencia, colisional y transitorio, por el que determinados valores del momento lineal, y en particular el momento central del paquete de ondas inicial, se convierten transitoriamente en momentos prohibidos de la distribucion de momentos durante la colision. El hueco formado en el centro de la distribucion produce desplazamientos de la norma que dan lugar a la formacion de maximos de probabilidad en torno al momento central. El maximo correspondiente a momentos mas altos conduce a que se produzca una notable acumulacion de norma en regiones prohibidas clasicamente.
Para la observacion experimental de este efecto se propone y discute la utilizacion de atomos ultrafrios en colision con campos producidos por laseres que pueden ser desconectados subitamente en comparacion con los tiempos asociados con el movimiento traslacional atomico.
Este efecto ha sido analizado para un sistema fisico modelo con diferentes potenciales (barrera cuadrada, barrera Gausiana, doble barrera cuadrada, etc.). Asi mismo, se han estudiado sus caracteristicas en presencia de la fuerza gravitatoria.
Por ultimo, el estudio se ha generalizado al caso en que se describe el sistema atomico con estructura interna en interaccion con campos laser fuera de resonancia, en primer lugar, y en resonancia, en segundo lugar, y en presencia de una combinacion de ambos.
En la actualidad las caminatas aleatorias han sido empleadas como herramientas
para el desarrollo de numerosos algoritmos. Sin embargo, una carencia
importante para la solucion de problemas radica en la falta de algoritmos que
exploten a su favor los fenomenos que la naturaleza a escalas atomicas presenta.
En este trabajo de tesis se estudia el analogo cuantico que presenta un
caminante al azar, conocido como caminata cuantica. Desde su propuesta, el
paradigma de las caminatas cuanticas ha despertado un considerable interes en
su estudio durante los ultimos anos, ya que, debido a los fenomenos de superposicion,
este grupo de caminata al azar se propagan con mayor rapidez que una
caminata clasica y por lo tanto se puede dar un recorrido espacial en un menor
numero de iteraciones que su contraparte clasica. Por lo anterior, del estudio
de caminatas cuanticas se espera un desempeno superior para el desarrollo de
algoritmos mas veloces.
La hipotesis que en este trabajo se plantea es que a traves del cambio y la
manipulacion en el uso de operadores y los estados iniciales, se generaran cambios
radicales en las distribuciones de los caminantes. Se esperan que al realizar
estos cambios en la densidad probabilidad de un caminante tengan aplicaciones
algoritmica en futuras investigaciones.
Debido a lo anterior esta tesis plantea como objetivo central el analisis de las
caminatas cuanticas, mostrando los cambios radicales que presentan las caminata
cuanticas en sus distribuciones de probabilidad, ademas de presentar una
idea basica de las posible forma de implementacion algoritmica de estas distribuciones.
Ademas reportamos nuevos resultados, hasta donde hemos investigado, en
relacion a la evolucion de las caminatas cuanticas para monedas en altas dimensiones
considerando estados maximamente enlazados y el operador de Grover.
Otros objetivos que se establecen, es dar una motivacion para realizar estudios
en el sentido de la computacion cuantica. Ademas de explicar los fenomenos
que se presentan a escalas atomicas, que son los que ayudan a potencializar el
desempeno de los algoritmos y la caminata cuanticas.
El trabajo se estructura en 6 capitulos. El capitulo 1 posee fundamentalmente un caracter de introduccion teorica a las herramientas de campo medio que se usan en los diferentes modelos que se presentan, ademas de introducirse otros conceptos que apareceran a lo largo del trabajo. El capitulo 2 tambien constituye una introduccion teorica en la que se realiza un breve analisis del concepto de la decoherencia y sus implicaciones en la Mecanica Cuantica, poniendo especial enfasis en el problema de la medida y como la introduccion del ambiente permite una posible solucion a dicho problema. En este capitulo se presentara la matriz densidad como herramienta basica de trabajo para estudiar el factor de decoherencia.El capitulo 3 se puede dividir en dos bloques. Un primer bloque dedicado la modelo vibronico U(4) y un segundo bloque dedicado a su limite 2D, el modelo U(3). En ambos bloques se expondran las propiedades algebraicas de los dos modelos asi como las diferentes cadenas de simetria que se obtienen. Estos modelos presentan una QPT y usando el formalismo de estados intrinsecos se estudiara la transicion de fase entre la fase simetrica y la fase no simetrica. Sin embargo, se sabe que este metodo es correcto unicamente en el orden mas alto en el desarrollo en potencias de N, donde N es el numero de bosones. Nosotros nos basaremos en el metodo desarrollado en [15] para ir mas alla de este orden y calcular correcciones de tamano finito a varios observables espectroscopicos. Para ello, se introducira la transformacion de Holstein-Primako_ que proporcionara un hamiltoniano en serie de potencias de N donde unicamente se consideraran los terminos en orden mas alto: N, N1/2 y N0. Despues, mediante el uso de una transformacion de Bogoliubov se conseguira la diagonalizacion del hamiltoniano, con lo que se obtendran expresiones analiticas para el estudio del sistema tanto en la fase simetrica como en la no simetrica. Dichas expresiones analiticas se compararan posteriormente con los calculos numericos obtenidos de resolver el problema exactamente en una base adecuada. Ademas, se llevara a cabo un estudio de escalado del sistema por tamano finito que nos permitira extraer los exponentes criticos de los observables espectroscopicos analizados.El capitulo 4 esta dedicado a otro sistema de dos niveles, el modelo de Lipkin. Este modelo guarda una estrecha relacion con el modelo vibronico tal y como se vera en el capitulo 3. Dicha relacion quedara mas patente con la eleccion que se realizara del estado intrinseco para estudiar el diagrama de fases del modelo vibronico. De hecho podemos afirmar que un modelo vibronico con simetria axial se comporta como un modelo de Lipkin. Por este motivo, todo el estudio que se realice en campo medio para el modelo vibronico sera aplicable al modelo de Lipkin, ya que las expresiones que se obtendran son formalmente analogas. Asi pues, en este capitulo nos centraremos en la influencia que tiene una transicion de fase cuantica sobre el fenomeno de la decoherencia. Ahora bien, se sabe que el citado modelo presenta tanto una QPT como una ESQPT, y dependiendo del valor de los parametros concretos del sistema, la ESQPT puede ser de primer o segundo orden. De modo que el analisis se realizara para ambos tipos de transicion. Para tal proposito, se presenta un sistema constituido por un qubit interactuando con un bano bosonico que vendra descrito por el modelo de Lipkin. El estudio de la decoherencia se realizara tanto empleando las tecnicas mas alla de campo medio desarrolladas en el modelo vibronico, como usando la aproximacion de Tamm-Dancoff (TDA) [28] y TDA a segundo orden. Todos los resultados se compararan una vez mas con la solucion exacta del problema y se analizara la relacion entre la transicion de fase que experimenta dicho sistema con la decoherencia. Ademas se incluira un estudio de escalado por tamano finito del factor de decoherencia.En el capitulo 5 se estudiaran tres modelos que describen un campo bosonico de un unico modo interactuando con un subsistema algebraico basado o bien en el algebra SU(1; 1) o en el SU(2). El modelo SU(1; 1) es un modelo de juguete util para la descripcion de la formacion y disociacion de moleculas diatomicas y atomos independientes [16]. El hamiltoniano SU(2) representa al modelo de Dicke [27] o al modelo de Jaynes-Cummings (JC) [17] (tambien conocido como modelo de Tavis-Cummings [29]). Estos dos ultimos modelos poseen interes en Optica Cuantica y describen a un sistema de atomos susceptibles a ocupar dos niveles interactuando con un campo de radiacion. Mientras que el modelo SU(1; 1) y el modelo de Jaynes-Cummings son integrables, el modelo de Dicke no lo es. Todos ellos son sistemas de dos niveles que presentan tanto una QPT como una ESQPT. Asi pues, en primer lugar se analizaran las transiciones de fase con una aproximacion semiclasica, en particular las relacionadas con las transiciones de fase de estados excitados. Despues se introducira el concepto de quantum quench, analizandose la influencia que tiene una ESQPT sobre este. Por ultimo, relacionaremos la presencia de caos cuantico en el modelo no integrable de Dicke con los precursores de la ESQPT en el mismo.En el ultimo capitulo se presentara un resumen y las conclusiones de los principales resultados de este trabajo.
Desde su origen, la teoria de la informacion ha tenido fuertes conexiones con la mecanica estadistica. El mismo termino entropia de la informacion fue elegido por Shannon a partir del termino usado en termodinamica, bajo sugerencia de Von Neumann. La misma relacion se ha desarrollado recientemente entre las correspondientes generalizaciones cuanticas de ambas teorias, que son la informacion cuantica, que estudia el almacenamiento y la manipulacion de la informacion en sistemas cuanticos, y la fisica de muchos cuerpos. Las conexiones entre los dos campos aumentan cada dia y van en las dos direcciones. Las herramientas e ideas de la informacion cuantica ayudan a solucionar problemas abiertos en teoria de la materia condensada, y nuevos modelos de muchos cuerpos se desarrollan para aplicaciones de la informacion cuantica. Al mismo tiempo la implementacion y el control experimental de pequenos sistemas cuanticos ha mejorado de forma espectacular, aumentando la posibilidad de que estos experimentos se puedan llevar a cabo a escala mas grande, abriendo la posibilidad de aplicaciones practicas.
Es reciente el interes de la comunidad de investigadores en informacion cuantica por estos modelos, y se ha empezado a ver este tipo de evoluciones no solamente como un problema que resolver, sino como un recurso que explotar. Este fundamental cambio de perspectiva ha abierto una nueva linea de investigacion en el campo, incorporando ideas sobre como construir evoluciones artificiales en las cuales la disipacion trabaja en nuestro favor en vez de en nuestra contra, incluso protegiendo el sistema de otros ruidos incontrolados. De esta manera se han planteado nuevos problemas interesantes, como cual es el poder computacional de estos modelos y que condiciones pueden garantizar la resistencia contra el ruido externo.
Esta tesis es parte del esfuerzo para mejorar nuestro conocimiento de estos modelos.
Nos hemos centrado en el estudio de las propiedades de evoluciones disipativas de sistemas cuanticos de espines en un reticulo, bajo una hipotesis que llamamos equilibracion rapida. Consideramos evoluciones disipativas con un unico punto fijo, y que comprimen todo el espacios de estados iniciales en un entorno decreciente del punto fijo. La escala temporal a la cual se tiene esta compresion, es decir el tiempo que tenemos que esperar para que cualquier estado inicial se encuentre arbitrariamente cercano al punto fijo, se llama tiempo de equilibracion del proceso. La condicion de equilibracion rapida pide que este tiempo sea logaritmico en el tamano del sistema.
La contribucion principal de esta tesis es demostrar que la equilibracion rapida tiene importantes consecuencias en las propiedades del sistema. Este sera estable bajo perturbaciones externas y sus puntos fijos satisfaran una ley de area para la informacion mutua.
La parte mas tecnica de este trabajo se basa en las llamadas cotas de Lieb Robinson. Muy conocidas en el caso de sistemas cerrados, pero igualmente validas para sistemas abiertos, las cotas de Lieb Robinson formalizan la idea que la informacion en un sistema de muchos cuerpos solo puede moverse con una velocidad finita, dado que su propagacion esta mediada por las interacciones locales. Por lo tanto, controlar la escala temporal con la cual la evolucion converge permite a su vez controlar la escala espacial a la cual se pueden crear correlaciones.