Die vorliegende Dissertation liefert einen Beitrag zum Verständnis von stark korrelierten Quantenvielteilchensystemen innerhalb und außerhalb des Gleichgewichtszustands, insbesondere die dynamischen Spinstrukturfaktoren von chiralen GAPPED Spin Flüssigkeiten auf dem Kagome Gitter mit antiferromagnetischer Heisenberg-Spinkopplung und nichtgleichgewichts Kritikalität in Systemen nach einem Quench.Der dynamische Spinstrukturfaktor wird für chirale Schwinger-Boson Molekularfeldansätze hergeleitet und berechnet, wobei die Brechung der Zeitumkehrsymmetrie zum Vorschein kommt, ausgedrückt durch die Verringerung der üblichen sechsfachen Rotationssymmetrie des dynamischen Strukturfaktors auf eine dreifache Symmetrie.Andere interessante Eigenschaften werden hervorgehoben, wie der flache Beginn des Spinon-Kontinuums für den chiralen cuboc1 Ansatz.Diese Arbeit bietet eine hilfreiche Verbindung zu inelastischen Neutronenstreuungsexperimenten, welche versuchen die Beschaffenheit möglicher spinflüssiger Grundzustände von Kandidatenmaterialen, wie etwa Herbertsmithite, aufzudecken.Bezüglich Nichtgleichgewichtsdynamik bietet diese Dissertation eine numerische Untersuchung der zwei Hauptarten dynamischer Phasenübergänge: Einen Landau-artigen, welcher auf die Relaxation zu einem stationären Zustand angewiesen ist, von welchem ein Ordnungsparameter als Funktion des Quenchkontrollparameters (DPT-I) extrahiert werden kann und eine zweite Art, welche als Nichtanalytizität in der Loschmidt-Echo Rückgaberate als Funktion der Entwicklungszeit (DPT-II) entsteht.Mit dem paradigmatischen langreichweitigen Ising-Modell mit transversalem Feld arbeitend, stellen wir einen nicht trivialen Zusammenhang zwischen beiden Übergängen her, zeigen, dass DPT-I qualitativ und grundlegend verschieden von dem zugrundeliegenden Gleichgewichtsphasenübergang ist und entdecken eine neue anormale dynamische Phase, welche in Beziehung steht zu DPT-II für hinreichend langreichweitige Wechselwirkungen.Zusätzlich zur dynamischen Kritikalität bietet diese Dissertation Ergebnisse der zeitabhängigen Dichtematrixrenormalisierungsgruppe (t-DMRG) für globale Quenche in dem Bose-Hubbard-Modell mit ein oder zwei Arten von Teilchen im eindimensionalen Raum für zwei Hauptzwecke; zum einen um Auswirkungen von Defekten im anfänglichen (präparierten) Zustand zu untersuchen und zu charakterisieren, zum anderen als Versuch die Erreichbarkeit längerer Entwicklungszeiten in t-DMRG zu verbessern durch Ausdruck der Zeitentwicklungsoperatoren mittels Chebyshev Polynomen.Die in dieser Dissertation dargestellten Ergebnisse sind experimentell überprüfbar, erweitern das Verständnis für die beteiligten Phänomene und öffnen die Tür für weiter-viii Zusammenfassung führende Forschung und Untersuchung der entsprechenden neuen Entdeckungen.
Die vorliegende Dissertation liefert einen Beitrag zum Verständnis von stark korrelierten Quantenvielteilchensystemen innerhalb und außerhalb des Gleichgewichtszustands, insbesondere die dynamischen Spinstrukturfaktoren von chiralen GAPPED Spin Flüssigkeiten auf dem Kagome Gitter mit antiferromagnetischer Heisenberg-Spinkopplung und nichtgleichgewichts Kritikalität in Systemen nach einem Quench.Der dynamische Spinstrukturfaktor wird für chirale Schwinger-Boson Molekularfeldansätze hergeleitet und berechnet, wobei die Brechung der Zeitumkehrsymmetrie zum Vorschein kommt, ausgedrückt durch die Verringerung der üblichen sechsfachen Rotationssymmetrie des dynamischen Strukturfaktors auf eine dreifache Symmetrie.Andere interessante Eigenschaften werden hervorgehoben, wie der flache Beginn des Spinon-Kontinuums für den chiralen cuboc1 Ansatz.Diese Arbeit bietet eine hilfreiche Verbindung zu inelastischen Neutronenstreuungsexperimenten, welche versuchen die Beschaffenheit möglicher spinflüssiger Grundzustände von Kandidatenmaterialen, wie etwa Herbertsmithite, aufzudecken.Bezüglich Nichtgleichgewichtsdynamik bietet diese Dissertation eine numerische Untersuchung der zwei Hauptarten dynamischer Phasenübergänge: Einen Landau-artigen, welcher auf die Relaxation zu einem stationären Zustand angewiesen ist, von welchem ein Ordnungsparameter als Funktion des Quenchkontrollparameters (DPT-I) extrahiert werden kann und eine zweite Art, welche als Nichtanalytizität in der Loschmidt-Echo Rückgaberate als Funktion der Entwicklungszeit (DPT-II) entsteht.Mit dem paradigmatischen langreichweitigen Ising-Modell mit transversalem Feld arbeitend, stellen wir einen nicht trivialen Zusammenhang zwischen beiden Übergängen her, zeigen, dass DPT-I qualitativ und grundlegend verschieden von dem zugrundeliegenden Gleichgewichtsphasenübergang ist und entdecken eine neue anormale dynamische Phase, welche in Beziehung steht zu DPT-II für hinreichend langreichweitige Wechselwirkungen.Zusätzlich zur dynamischen Kritikalität bietet diese Dissertation Ergebnisse der zeitabhängigen Dichtematrixrenormalisierungsgruppe (t-DMRG) für globale Quenche in dem Bose-Hubbard-Modell mit ein oder zwei Arten von Teilchen im eindimensionalen Raum für zwei Hauptzwecke; zum einen um Auswirkungen von Defekten im anfänglichen (präparierten) Zustand zu untersuchen und zu charakterisieren, zum anderen als Versuch die Erreichbarkeit längerer Entwicklungszeiten in t-DMRG zu verbessern durch Ausdruck der Zeitentwicklungsoperatoren mittels Chebyshev Polynomen.Die in dieser Dissertation dargestellten Ergebnisse sind experimentell überprüfbar, erweitern das Verständnis für die beteiligten Phänomene und öffnen die Tür für weiter-viii Zusammenfassung führende Forschung und Untersuchung der entsprechenden neuen Entdeckungen.
Ziel dieser Forschungsarbeit ist die Untersuchung von Phasen der Quantenmaterie, die dynamischer Natur sind, d.h. Phasen, welche durch das Treiben eines Quanten-Vielteilchensystems aus dem Gleichgewicht erzeugt werden. Die untersuchten Systeme sind offene Quanten-Vielteilchensysteme, die mit den Freiheitsgraden ihrer Umgebung gekoppelt sind. Im Gegensatz zu Quantenphasenübergängen von isolierter Quantenmaterie, welche in der Regel eng mit den Eigenschaften des Grundzustands und den entsprechenden statischen Ordnungsparametern verbunden sind, wie z. B. Transporteigenschaften, Korrelationslänge oder topologische Phänomene, kann in offenen Quantensystemen, welche effektiv durch nicht-hermitsche Dynamik beschrieben werden, kein Grundzustand definiert werden, und die Charakterisierung der dynamisch induzierten Phasen ist weniger offensichtlich. In unserer Forschung untersuchen wir zwei Fälle von dynamischen Phasen in Quanten-Vielteilchensystemen. Zunächst betrachten wir ``quantum quenches'' in getrieben-dissipativen quadratischen fermionischen Systemen. Ein quantum quench bezieht sich hier auf die abrupte Änderung eines Systemparameters und die Entwicklung eines Anfangszustandes gemäß diesen neuen Bedingungen, wodurch eine Dynamik außerhalb des Gleichgewichts entsteht. Im Gegensatz zu isolierten Quantensystemen, in denen solche Protokolle gut untersucht sind, sind quantum quenches in offenen Quantensystemen kaum erforscht. In diesem Zusammenhang finden wir eine neue Art von dynamischer Phase, die eng mit einer bestimmten verallgemeinerten Form von Thermalisierung verbunden ist. Diese Form der Thermalisierung wird durch eine kombinierte Paritäts-Zeit-Symmetrie der getrieben-dissipativen fermionischen Systeme garantiert. Ähnlich wie bei integrablen isolierten Quantensystemen, die lokal zu einem verallgemeinerten Gibbs-Ensemble relaxieren nachdem sie aus dem Gleichgewicht gebracht wurden, zeigen wir, dass paritätszeitsymmetrische quadratische fermionische Systeme zu einem statistischen Ensemble relaxieren, das wir das paritätszeitsymmetrische verallgemeinerte Gibbs-Ensemble (PTGGE) nennen. Darüber hinaus stellen wir fest, dass Nullmoden des PTGGE die Oszillationsperioden der topologischen (Un-)Ordnungsparameter bestimmen, die an dynamischen Phasengrenzen mit kritischen Skalierungsexponenten divergieren. Weiters deutet die Modifikation der langwelligen effektiven Beschreibung durch ein langreichweitig gekoppeltes Modell und die dadurch veränderten kritischen Exponenten stark auf ein universelles Verhalten hin. Messungsinduzierte Phasen und Übergänge sind ein weiteres Beispiel im Bereich der dynamisch erzeugten Phasen. In diesem Fall erzeugt das Zusammenspiel von unitärer Evolution und häufigen Messungen in einem Quanten-Vielteilchensystem eine stochastische Dynamik mit einem Übergang in der Skalierung der Verschränkung des stationären Zustands. Insbesondere in einem System, das bei rein unitärer Evolution eine volumensabhängige Skalierung der Verschränkungsentropie aufweist, unterdrücken häufige Messungen die Erzeugung von Verschränkung im Durchschnitt über viele Realisationen der stochastischen Entwicklung, was zu einer flächenabhängigen Skalierung führt. Eine gängige Erklärung für dieses Phänomen ist das Einfrieren der Dynamik aufgrund häufiger projektiver Messungen, die einen Quanten-Zeno-Effekt hervorrufen. Wir zeigen, dass die Unterdrückung der Verschränkungserzeugung nicht nur bei projektiven Messungen auftritt, sondern dass vielmehr ein verallgemeinerter Zeno-Effekt aufgrund verallgemeinerter Messungen ausreicht, um die kohärente Dynamik zu unterdrücken, was analoge Signaturen in den stationären Observablen für projektive und verallgemeinerte Messungen verursacht. Des Weiteren gehen wir auf eine aktuelle Kontroverse ein, in der die Existenz einer dynamischen Phase mit kritischer Verschränkungsskalierung für freie Fermionen unter kontinuierlicher Messung lokaler Besetzungszahlen diskutiert wird. Durch eine präzise numerische Analyse in Verbindung mit analytischen Vorhersagen, die aus einer replizierten Keldysh-Feldtheorie für verallgemeinerte Messungen abgeleitet wurden, sind wir in der Lage, starke Hinweise für das Fehlen einer ausgedehnten kritischen Phase vorzulegen und das theoretische Verständnis weiterzuentwickeln, indem wir zeigen, dass die Kritikalität auf einen gut definierten kritischen Bereich endlicher Längenskalen beschränkt ist.
In den letzten Jahren haben Quantenpunkte viel Aufmerksamkeit erhalten, da ihre magnetischen Eigenschaften für Spintronik Geräte benutzt oder ein in einem Quantenpunkt eingesperrter Spin als Qubit für einen Quantencomputer verwendet werden könnte. In dieser Arbeit untersuchen wir die Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtseigenschaften von verschiedenen Quantenstörstellensystemen (QIS). Als erstes wird das Kondo-Modell betrachtet, in dem das lokale magnetische Moment einer Störstelle über eine Heisenberg-Wechselwirkung an ein fermionisches Bad gekoppelt ist. Wir untersuchen, wie die Kondokorrelationen aufgebaut werden und wie sie sich durch das Leitungsband ausbreiten. Die Nichtgleichgewichtsergebnisse zeigen, dass die meisten Korrelationen sich innerhalb eines Lichtkegels ausbreiten, der bestimmt ist durch die Fermi-Geschwindigkeit. Interessanterweise sehen wir auch Korrelationen außerhalb des Lichtkegels. Mittels einer Störungstheorie in zweiter Ordnung in der Kopplung, können wir zeigen, dass diese Korrelationen mit den intrinsischen Korrelationen des Fermi-Sees zusammenhängen. Weiterhin stellen wir ein Experiment vor, in dem Metall-Molekül-Komplexe durch Reaktion von einem PTCDA Molekül, das auf einer Au(111) Oberfläche adsorbiert, mit einem einzelnen Au Atom gebildet werden. Dies führt zur Entstehung von Radikalen. Der beobachtete Kondoeffekt in den Rastertunnelmikroskopie (STM) Spektren ist ein eindeutiger Beweis für die Bildung eines lokalen Momentes. Die physikalisch korrekte Beschreibung der Bildung des lokalen Momentes und des Kondoeffekt ist jedoch mit der Dichtefunktionaltheorie (DFT) nicht möglich. Daher verwenden wir einen kombinierten DFT + Numerische Renormierungsgruppen (NRG) Ansatz, in dem wir die Ergebnisse der DFT als “ab initio” Eingangs-Parameter für unsere NRG verwenden. Wir zeigen, dass die Ergebnisse des Experiments und der NRG ohne Anpassungen der Modellparameter sehr gut übereinstimmen. Wenn zwei Au Atome auf benachbarten PTCDA Molekülen adsorbieren, weist das Spektrum in manchen Fällen eine Lücke um die Fermi-Energie, anstatt einer Kondoresonanz auf. Indem wir das System auf ein Zwei-Störstellen-Anderson-Modell (TIAM) abbilden, können wir zeigen, dass diese Lücke durch die starke nichtmagnetische chemische Wechselwirkung zwischen den beiden Komplexen entsteht. Mittels unserer NRG Ergebnisse liefern wir eine ausführliche Analyse des auftretenden Quantenphasenübergangs (QPT). Am Schluss betrachten wir die Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtseigenschaften des Zwei-Störstellen-Kondo-Modells (TIKM), welches einen QPT aufweist, wenn man die Energieabhängigkeit der Kopplungen an das Leitungsband vernachlässigt. Wir zeigen, dass es möglich ist, diesen QPT in dem voll energieabhängigen Modell mittels passenden Potentialstreutermen wiederherzustellen. Danach wird die Zeitdynamik nach einem Quench in der direkten Spin-Spin-Wechselwirkung zwischen den beiden Störstellenspins untersucht. Es wird gezeigt, dass eine ausreichend große antiferromagnetische Wechselwirkung die Thermalisierung der Spin-Spin-Korrelationsfunktion verhindert, da in diesem Fall die Störstellen vom Leitungsband entkoppeln.
Die theoretische und experimentelle Untersuchung stark korrelierter Quantensysteme im und ausserhalb des Gleichgewichts ist in den letzten Jahren zu einem zentralen Forschungsschwerpunkt in der Physik der kondensierten Materie geworden. In dieser Habilitationsschrift werden anhand eigener Beiträge aktuelle Entwicklungen diskutiert und ein Ausblick auf zukünftige Entwicklungen des Feldes gegeben. Es wird dabei ein direkter Bezug von theoretischen Zugängen zu aktuellen Experimenten mit ultrakalten Gasen und mit stark korrelierten Materialien genommen. Insbesondere werden mikroskopische Modelle diskutiert, die zur Modellierung stark korrelierter Materialien (wie z.B. Quantenmagnete) herangezogen werden. Das zweite Thema der Schrift behandelt die Realisierung und Untersuchung von Quantenvielteilcheneffekten in aktuellen Experimenten mit ultrakalten Gasen durch sogenannte Quantensimulatoren. Ziel ist es, aufgrund theoretischer Überlegungen Vorhersagen zur Emulation stark korrelierter Systeme zu treffen und, basierend auf numerisch exakten Simulationen, Vorhersagen für die Experimente zu treffen. Da solche Experimente insbesondere auch ausserhalb des Gleichgewichts durchgeführt werden können, knüpft dies direkt an das dritte Thema der Schrift an, in dem die Physik von Quantenvielteilchensystemen ausserhalb des Gleichgewichts untersucht wird. Dazu gehören die Behandlung des Relaxationsverhaltens nach sogenannten Quantum Quenches und Fragestellungen zum Transport, die hier anhand von Situationen auf optischen Gittern diskutiert werden. Die drei Themenbereiche werden überspannt von der Fragestellung, wie man neuartige Quantenzustände realisieren kann, und wie man diese charakterisieren kann. Ausserhalb des Gleichgewichts erwächst die Fragestellung, ob durch das Relaxationsverhalten ungewöhnliche Zustände erzeugt werden können. Wie in dieser Arbeit diskutiert, ergeben sich in der Tat unerwartete Ergebnisse, wie die Bildung negativer Temperaturen, oder das Anwachsen der Teilchendichte verursacht durch repulsive Wechselwirkungen. Im Gleichgewicht kann das Vorhandensein starker Magnetfelder zu interessantem Verhalten führen, wie anhand verschiedener Systeme diskutiert wird. Hervorzuheben sind hier die Bildung unkonventioneller Mott-Isolatoren, von Phasen mit 'spin-nematischer' Ordnung, und unkonventionelle Quantenphasenübergänge. Eine aktuelle Entwicklung der aktuellen Forschung behandelt die Bildung sogenannter topologischer Phasen, die nicht durch einen lokalen Ordnungsparameter beschrieben werden und sich somit der Charakterisierung im Rahmen der Landau-Theorie von Phasen und Phasenübergängen entziehen. Aktuelle Fragestellungen sind die Realisierung solcher Phasen im Vorhandensein von Wechselwirkungen, auch langreichweitiger Natur, wie sie in Quantensimulatoren mit polaren Molekülen in Erscheinung treten. In dieser Schrift wird diskutiert, wie diese Fragestellungen durch einen numerischen Zugang - die Dichtematrixrenormierungsgruppe - behandelt werden können und wie diese sehr flexible Methode zu interessanten Einsichten in die facettenreiche Physik stark korrelierter Quantensysteme führt.
Diese Dissertation beschäftigt sich mit der Entwicklung und Anwendung feldtheoretischer Methoden zur Untersuchung stark korrelierter Vielteilchensysteme. In diesen stark korrelierten Systemen treten aufgrund des kollektiven Verhaltens der einzelnen Freiheitsgrade neue physikalische Effekte auf. Das theoretische Verstaändnis dieser Systeme erfordert häufig computergestützte Rechenverfahren zur Lösung von interagierenden Vielteilchenmodellen frei von jedweden Approximationen. Im ersten Teil der Arbeit verwenden wir klassische Monte-Carlo-Simulationen in Kombination mit einem Renormalisierungsgruppenansatz, um die Existenz der “scratched”-XY-Universalitätsklasse eindeutig zu beweisen. Diese Universalitätsklasse beschreibt den kontinuierlichen Phasenübergang aus einer kritischen suprafluiden Phase in Systemen, welche eine zweidimensionale hydrodynamische Beschreibung erlauben, durch einen Mechanismus grundlegend verschieden von dem Berezinskii-Kosterlitz-Thouless Scenario, welches von topologischen Defekten getrieben wird. Dazu untersuchen wir den suprafluiden Phasenübergang bei endlicher Temperatur in einem modifizierten, zweidimensionalen, klassischen XY-Modell mit eindimensionalen Störstellen deren Stärken nach einem Potenzgesetz verteilt sind. Wenn der Exponent abnimmt, nimmt die Be- deutung der Störstellen zu und der Mechanismus, welcher den Phasenübergang treibt, wechselt von der Proliferation von Vortex–Anti-Vortex Paaren zu der “scratched”-XY-Kritikalität, welche durch einen nicht universellen Sprung des suprafluiden Responsekoeffizienten gekennzeichnet ist. Die Existenz der “scratched”-XY-Kritikalität bei endlicher Temperatur und ihre Beschreibung durch eine asymptotisch exakte Semi-Renormalisierungsgruppentheorie, welche zuvor für den Suprafluid-Isolator Phasenübergang in eindimensionalen Quantensystemen mit starken Störstellen entwickelt wurde, wird numerisch in einem speziell dafür entworfenen Modell bewiesen, welches minimale Korrekturen durch endliche Systemgrößen aufweist. Im zweiten Teil der Dissertation wird ein neuer analytischer sowie rechnerischer Ansatz zur Untersuchung stark korrelierter Vielteilchensysteme entwickelt. Anstatt die Lösung von Vielteilchenmodellen ausgehend von einem funktionalem Integral aufzubauen, wie z.B. in Pfadintegral-Quantum-Monte-Carlo-Simulationen und diagrammatischen Monte-Carlo-Berechnungen, schlagen wir die Verwendung funktionaler Integro-Differentialgleichungen vor, welche ausgehend von der Dyson-Schwinger-Gleichung hergeleitet werden. Diese funktionale Integro-Differentialgleichung wird ohne jedwede Approximation mit einem Homotopie-Ansatz gelöst, insbesondere wird dabei die “homotopy analysis method” eingeführt. In diesem Ansatz gibt es die Möglichkeit, die funktionalen Ableitungen exakt zu behandeln und damit leistungsfähige Reihenentwicklungen durchzuführen, welche sich grundlegend von herkömmlichen Reihenentwicklungen in der Strörungstheorie unterscheiden, d.h., die resultierende Homotopieserie überwindet die üblichen Paradigmen störungstheoretischer Ansätze in der Quantenfeldtheorie. Auf diese Weise können wir eine vollständige Lösung der Dyson-Schwinger-Gleichung für das φ4 Modell auf einem zwei dimensionalem Gitter in seinem stark korrelierten Bereich nahe eines Phasenübergangs zweiter Ordnung erzielen. Um zu diesem Ergebnis ohne jedwede Vereinfachung zu gelangen, entwickeln wir die Expansion der “homotopy analysis method” in Form von Baumdiagrammen, welches das Speicherproblem von Korrelationsfunktionen höherer Ordnung, wie z.B. der Vier-Punkt-Vertexfunktion, löst. In Analogie zu diagrammatischen Monte-Carlo Algorithmen führen wir einen Monte-Carlo-Algorithmus ein, um alle möglichen Baumdiagramme aufzusummieren, sodass die Homotopieserie auch zu höheren Ordungen ausgewertet werden kann.
Numerische Simulationen sind ein unverzichtbares Werkzeug der modernen Physik geworden, insbesondere im Kontext stark korrelierter Quantensysteme, die häufig nicht analytisch behandelt werden können. Viele Physiker betrachten die numerische Physik mittlerweile als eigene Fachrichtung neben der experimentellen und der theoretischen Physik. In den Veröffentlichungen, aus denen diese kumulative Dissertation besteht, werden stark korrelierte Quantensysteme studiert. Dafür werden eine Vielzahl moderner numerischer Methoden verwendet, unter anderem exakte Diagonalisierung, Matrix-Produktzustände, Quanten-Monte-Carlo und neuronale Quantenzustände. In dieser Dissertation werden drei Klassen von stark korrelierten Quantensystemen betrachtet: 1) Vom Hubbard-Modell abgeleitete frustrierte Quantenmagnete, 2) Toric Codes und 3) Z2 Gittereichtheorien. Seit der Entdeckung der Hochtemperatursupraleitung in Cupraten in den 1980er-Jahren sind die Niedertemperaturphasen von Cupraten von zentralem Interesse für experimentelle und theoretische Studien. Modelle wie das Hubbard-Modell wurden eingeführt, um die effektive zweidimensionale Physik in CuO2-Schichten zu modellieren. Das Verschwinden der antiferromagnetischen Ordnung als Konsequenz von Störstellen und deren Zusammenhang mit supraleitenden Phasen ist bedeutsam, um den Bindungsmechanismus von Elektronen in supraleitenden Phasen zu entschlüsseln. Dieser Bindungsmechanismus ist bis heute Gegenstand aktueller Forschung. Mikroskopische Studien des t-J-Modells, eines Grenzfalls des Hubbard-Modells bei starken Interaktionen, legen Szenarien nahe, in denen Elektronen in zwei Partons fraktionalisieren: Ein Spinon (trägt den Spin) und ein Holon (trägt die Ladung). Mit Hilfe von Matrix-Produktzuständen wird in dieser Dissertation für einen paradigmatischen dotierten, frustrierten Quantenmagneten - das Majumdar-Ghosh-Modell - gezeigt, dass die Existenz eines gebundenen Parton-Zustands eng mit einer Feshbach-Resonanz verknüpft ist. Frustrierte Quantenmagnete werden zudem als Plattform vorgeschlagen, um Systeme weniger Teilchen zu untersuchen. Der Toric Code ist ein Grundpfeiler der modernen Physik der kondensierten Materie und ein grundlegendes Modell für die Felder Topologie und Quantum Error Correction. Der Grundzustand des Toric Codes ist eine Z2 Quantenspinflüssigkeit und ist eines der einfachsten Beispiele für eine topologische Phase. Es wurde ein C++-Softwarepaket (ParaToric) entwickelt, in dem ein Continuous-Time-Quanten-Monte-Carlo-Verfahrem implementiert wird, um den Toric Code in einem parallel angelegten Feld zu simulieren. Der Algorithmus von Wu, Deng und Prokof’ev wurde um weitere Zustandsaktualisierungen erweitert, die Simulationen in bislang unzulänglichen Parameterbereichen ermöglichen. ParaToric erlaubt bislang unerreichte Systemgrößen und bildet die Grundlage für Publikationen mit den bisher größten Systemen auf dreieckigen, quadratischen, hexagonalen und kubischen Gittern. Es werden Schnittstellen für C, C++ und Python bereitgestellt, die eine nahtlose Integration von ParaToric in Projekte Dritter ermöglichen. In dieser Dissertation werden neue geometrische Ordnungsparameter für Z2-Gittereichtheorien auf Basis von Perkolationstheorie eingeführt und getestet. Diese Ordnungsparameter können direkt aus experimentellen Messungen von Quantensimulatoren berechnet werden und sind konkurrierenden Ordnungsparametern in vielen Bereichen überlegen. Die Anwendung auf den Toric Code offenbart, dass selbst beim absoluten Nullpunkt Deconfined Phasen existieren, die nicht topologisch sind. Des Weiteren wird eine neue Netzwerkarchitektur für neuronale Quantenzustände eingeführt, die ungefähre Symmetrien in das Netzwerk kodiert. Diese Netzwerkarchitektur wird verwendet, um die Phasendiagramme nicht-stoquastischer Varianten des Toric Codes zu berechnen. Zu guter Letzt werden symmetriegeschützte topologische Phasen vorgeschlagen, die auch bei einer endlichen Temperatur existieren.
Jüngste experimentelle Fortschritte erlauben die Beobachtung von elektronischen Relaxationsprozessen in Festkörpern in Echtzeit. Nach der optischen Anregung eines Systems relaxiert dieses in einen Gleichgewichtszustand. Die Dynamik des Systems während des Relaxationsprozesses ist von den vorherrschenden mikroskopischen Wechselwirkungen zwischen den Konstituenten des Systems abhängig. Die Wechselwirkung zwischen Elektronen und Gitterschwingungen - den Phononen - ist allgegenwärtig in Festkörpern, weshalb sie einer der wichtigsten Relaxationskanäle ist. Eine analytische Beschreibung der Relaxationsdynamik ist schwierig, und nur wenige exakte Lösungen existieren, selbst für die Beschreibung von Gleichgewichtsproblemen. Prinzipiell sind numerische Methoden in der Lage, eine Lösung sowohl für Gleichgewichts- als auch für Nichtgleichgewichtssituationen zu finden. Methoden wie die exakte Diagonalisierung oder die Dichtematrix-Renormierungsgruppenmethode, die mit Wellenfunktionen arbeiten, skalieren jedoch ungünstig mit der Dimension des lokalen Hilbertraumes. Dies ist besonders problematisch bei der Studie von Elektron-Phonon gekoppelten Systemen, bei der im allgemeinen besonders große lokale Basen benötigt werden. Für Grundzustandsprobleme gibt es zwei unabhängige Vorgehensweisen, um dem entgegenzuwirken: die Ein-Gitterplatz Dichtematrix Renormierungsgruppenmethode, die linear in der lokalen Dimension skaliert, sowie die Implementierung eines Schemas, das die Dimension der lokalen Basis verringert, indem es im Eigenraum der lokalen reduzierten Dichtematrix trunkiert was auf sogenannte optimale Moden führt. In dieser Dissertation kombinieren wir diese Strategien zu einer Methode, die linear in der Dimension der optimierten lokalen Basis anstelle der vollen lokalen Dimension skaliert. Wir demonstrieren das verbesserte Skalierungsverhalten der Methode anhand des Holstein-Polaron und des halb gefüllten Hubbard-Holstein Modells. Zudem beschreiben wir die Implementierung einer optimalen Phononbasis in den Time-Evolving Block Decimation Algorithmus, um das Skalierungsverhalten dieser Methode mit der lokalen Dimension zu verbessern. Für die Simulation des Polaron-Problems auf einer unendlich langen Kette hat sich die Krylovraum Zeitentwicklung in einem limitierten funktionalen Raum, als effizient herausgestellt. Wir adaptieren diese Methode für periodische Randbedingungen und endliche Systemgröße. Außerdem betrachten wir die Eigenschaften der lokalen reduzierten Dichtematrix als Funktion der Modellparameter und in Nichtgleichgewichtssituationen in drei Modellen: dem Bose-Bose Resonanz-Modell, dem Holstein Modell und dem Hubbard-Holstein Modell. Für fermionische und Spin-Modelle weiß man, dass die lokale von Neumann Entropie ein Indikator für Phasenübergänge ist. Für das Bose-Bose Resonanzmodell finden wir, dass die beiden Größen, lokale von Neumann Entropie und Eigenzustände der lokalen Dichtematrix, besondere Eigenschaften an Phasenübergängen zeigen. Wir finden außerdem, dass die Struktur der optimalen Moden sich als Funktion der Zeit in der Nichtgleichgewichtsdynamik ändert. Desweiteren beschäftigen wir uns mit der Relaxationsdynamik eines einzigen Elektrons gekoppelt an Holstein-Phononen. Im adiabatischen Fall finden wir einen Netto-Energiefluss von dem Elektron zu den Phononen und wir leiten einen analytischen Ausdruck für die Relaxationszeit des Elektrons im schwach wechselwirkenden, adiabatischen Fall her. Ein weiteres Hauptthema dieser Dissertation ist die Thermalisierung in geschlossenen Quanten- Vielteilchensystemen. Unser erstes Beispiel ist der Zerfall der Néel Ordnung unter Zeitentwicklung im eindimensionalen Fermi-Hubbard Hamiltonian. Wir finden, dass die Relaxation spin-verwandter Observablen von Spin-Anregungen kontrolliert werden und dass die Doppelbesetzung nicht im Sinne der Eigenzustands-Thermalisierungs-Hypothese thermalisiert, da das System nicht ergodisch ist. Als zweites Beispiel behandeln wir Vielteilchenlokalisierung in einem eindimensionalen System von attraktiv wechselwirkenden Fermionen, das im Grundzustandsphasendiagramm auch mit Unordnung eine delokalisierte Phase zeigt. Wir untersuchen diesen Phasenübergang mit modernen Hilfsmitteln, die auf den Verschränkungseigenschaften und der Existenz von Quasiteilchen in lokalisierten Phasen beruhen.