Bu tez calismasi bes bolumden olusmaktadir.Birinci bolum giris kismina ayrilmistir. Bu bolumde, once tez calismasinin kapsami ve onemi ile ilgili bilgiler verilmistir. Ardindan tez calismasinda kullanilan materyal ve yontem aciklanmistir.Ikinci bolumde, pseudo-Hermitik kuantum mekaniginin temelleri bazi ispatlar da verilmekle kisaca sunulmustur. Hermitik olmayan ancak reel spektruma sahip Hamiltonyen'i Hermitik yapan ic carpimin insasi yontemi aciklanmis ve pseudo-Hermitik kuantum mekaniginde gozlenebilirlerin yapilmasi yolu belirtilmistir.Ucuncu bolumde, tez calismasinin esas problemi olan diskrit modelin spektral analizi yapilmistir. Hermitik olmayan bu modelin ozdegerlerinin reel olmasini saglayan kosullar bulunmustur. Iki boyutlu halde modelin ozdegerleri ve ozvektorleri acik sekilde hesaplanmistir.Dorduncu bolumde, iki boyutlu halde diskrit modelin Hermitik olmayip ancak reel ozdegerlere sahip oldugu durumda bu modeli Hermitik yapan ic carpim olusturulmustur. Bu yeni ic carpim metrik operator (metrik matris) denilen bir pozitif operatorun araciligi ile gerceklestirilmistir. Ardindanda bu metrik operator kullanilarak kuantum sistemin gozlenebilirleri yapilmistir.Besinci bolum, sonuc kismindan olusmaktadir.AbstractThis thesis consists of five chapters.In the first chapter being introduction, the contents of the thesis are described and the methods used in the thesis are explained.In the second chapter, basics of the pseudo-Hermitian quantum mechanics are presented briefly providing also some key proofs. For non-Hermitian Hamiltonians having a real spectrum the method for constructing a new inner product with respect to which the non-Hermitian Hamiltonian becomes Hermitian is explained. Also a way for constructing observables in the pseudo-Hermitik quantum mechanics is shown.In the third chapter, spectral analysis of a discrete model being the main subject of the thesis is provided. Conditions that ensure reality of the eigenvalues of this non-Hermitian model are found. The eigenvalues and eigenvectors are explicitly computed for the two-dimensional model.In the fourth chapter, when the two-dimensional model is non-Hermitan but has real eigenvalues a new inner product with respect to which the model becomes Hermitian is constructed. This new inner product is realized by means of a positive-definite operator (matrix) called a metric operator. Then this metric operator is used to construct the observables of the corresponding quantum system.The fifth chapter consists of conclusion.
Bu tez calismasi bes bolumden olusmaktadir.Birinci bolum giris kismina ayrilmistir. Bu bolumde, once tez calismasinin kapsami ve onemi ile ilgili bilgiler verilmistir. Ardindan tez calismasinda kullanilan materyal ve yontem aciklanmistir.Ikinci bolumde, pseudo-Hermitik kuantum mekaniginin temelleri bazi ispatlar da verilmekle kisaca sunulmustur. Hermitik olmayan ancak reel spektruma sahip Hamiltonyen'i Hermitik yapan ic carpimin insasi yontemi aciklanmis ve pseudo-Hermitik kuantum mekaniginde gozlenebilirlerin yapilmasi yolu belirtilmistir.Ucuncu bolumde, tez calismasinin esas problemi olan diskrit modelin spektral analizi yapilmistir. Hermitik olmayan bu modelin ozdegerlerinin reel olmasini saglayan kosullar bulunmustur. Iki boyutlu halde modelin ozdegerleri ve ozvektorleri acik sekilde hesaplanmistir.Dorduncu bolumde, iki boyutlu halde diskrit modelin Hermitik olmayip ancak reel ozdegerlere sahip oldugu durumda bu modeli Hermitik yapan ic carpim olusturulmustur. Bu yeni ic carpim metrik operator (metrik matris) denilen bir pozitif operatorun araciligi ile gerceklestirilmistir. Ardindanda bu metrik operator kullanilarak kuantum sistemin gozlenebilirleri yapilmistir.Besinci bolum, sonuc kismindan olusmaktadir.AbstractThis thesis consists of five chapters.In the first chapter being introduction, the contents of the thesis are described and the methods used in the thesis are explained.In the second chapter, basics of the pseudo-Hermitian quantum mechanics are presented briefly providing also some key proofs. For non-Hermitian Hamiltonians having a real spectrum the method for constructing a new inner product with respect to which the non-Hermitian Hamiltonian becomes Hermitian is explained. Also a way for constructing observables in the pseudo-Hermitik quantum mechanics is shown.In the third chapter, spectral analysis of a discrete model being the main subject of the thesis is provided. Conditions that ensure reality of the eigenvalues of this non-Hermitian model are found. The eigenvalues and eigenvectors are explicitly computed for the two-dimensional model.In the fourth chapter, when the two-dimensional model is non-Hermitan but has real eigenvalues a new inner product with respect to which the model becomes Hermitian is constructed. This new inner product is realized by means of a positive-definite operator (matrix) called a metric operator. Then this metric operator is used to construct the observables of the corresponding quantum system.The fifth chapter consists of conclusion.
Kuantum Mekaniğinde analitik olarak çözülebilen potansiyellerin sayısı sınırlıdır. Analitik çözümleri arttırmak için bilim insanları değişik metotlar önermiştir. Bunlardan bir tanesi de Nikiforov-Uvarov metodudur. Bu tez çalışmasının birinci bölümünde analitik metotlar hakkında genel bir bilgi verildikten sonra, ikinci bölümde, Nikiforov-Uvarov (NU) metodu detaylı bir biçimde ele alınmıştır. Üçüncü bölümde atom ve molekül fiziğinde sıklıkla karşılaşılan harmonik titreşici, Coulomb, Kratzer ve Morse potansiyelleri için relativistik olmayan Schrödinger dalga denkleminin çözümleri NU metodu yardımıyla verildi. Söz konusu potansiyellere karşılık gelen enerji özdeğerleri ve dalga fonksiyonları yeniden elde edildi. Böylece söz konusu metodun değişik potansiyellere uygulanabildiği bir kez daha vurgulandı. Dördüncü bölümde, NU metodu yardımıyla Coulomb ve Ters Kare potansiyellerinden oluşan -A/r+B/r2 biçimindeki küresel simetrik potansiyel için, üç boyutlu Schrödinger dalga denkleminin analitik çözümü yapıldı. Söz konusu potansiyele karşılık gelen dalga fonksiyonu ve enerji özdeğeri ifadesi elde edildi. A ve B potansiyel parametrelerinin değişik değerleri için 1s, 2s, 2p, 3s ve 3p, 3d, 4d,4f, 5d ve 5f durumlarına ait bazı enerji özdeğerleri hesaplandı. Daha sonra metot, bir atomdaki tüm elektronlar ve çekirdek arasındaki karmaşık etkileşimleri, basitleştirilmiş bir model potansiyel ile değiştirme düşüncesine dayanan Atomik Fues potansiyeline uygulandı. Tek değerlik elektronuna sahip bazı atomların iyonlaşma enerjileri başarılı bir biçimde hesaplandı ve deneysel değerlerle karşılaştırıldı.
Bu tezde simetri kavramı vurgulanmış ve grup teorisi metodu yardımıyla bazı özel Lie grupları ile bağlantılı kuantum sistemler incelenmiştir. Tezin ilk bölümünde, simetri kavramı, Lie grupları ve bu gruplar ile ilişkili bazı kuantum sistemler hakkında ön bilgi verilmiştir. İkinci bölümde, SL(2, R) Lie grubunun homojen uzayında Gram ve genelleştirilmiş Cartan ayrışımları kullanılarak Laplace-Beltrami operatörleri elde edilmiştir. Bu Laplace-Beltrami operatörleri yardımıyla elde edilen kuantum sistemler verilmiş ve bu sistemlerin bağlı ve saçılma durumları elde edilmiştir. Bağlı durumlara karşılık gelen analitik çözümlerin grafikleri verilmiştir. Üçüncü bölümde, SO(3, 2) Lie grubunun SO(3, 2)/SO(3, 1) simetrik uzayının küresel ve horiküresel koordinatlardaki parametrizasyonları kullanılarak Casimir operatörleri elde edilmiştir. Bu Casimir operatörler yardımıyla elde edilen kuantum sistemler verilmiş ve sistemlerin analitik çözümleri elde edilmiştir. Dördüncü bölümde, SU(3) Lie grubu ile ilişkili bir kuantum kontrol problemi ele alınmıştır. Bir simetri indirgeme tekniği geliştirilerek G = S grubu yardımıyla ilgili problem, boyutu or?inal durum uzayının boyutunun yarısı olan bir reel uzayda tanımlı bir probleme indirgenmiştir. Çözümün nümerik olarak hesaplanması için bir yöntem sunulmuş ve yöntem bir örnekle desteklenmiştir.
Bu tezde, kuantum mekaniğinde simetriye dayalı genellemeler yapmaya olanak sağlayan Dunkl diferansiyel operatörleri ele alınmıştır. Dunkl formalizmi, klasik türev kavramını yansıma (refleksiyon) operatörleri ile genelleştirerek, parite simetrisi gibi ayrık simetrilere sahip fiziksel sistemlerin daha doğru ve kapsayıcı biçimde modellenmesini mümkün kılar. Bu yapılar, özellikle simetrik potansiyellerin çözümünde hem analitik hem de sayısal anlamda önemli avantajlar sunar.Dunkl-Schrödinger denklemlerinin analitik olarak çözülebilmesi için bu çalışmada Nikiforov–Uvarov (NU) yöntemi kullanılmıştır. NU yöntemi, ikinci mertebeden diferansiyel denklemleri özel bir dönüşüm yoluyla hipergeometrik türden denklemlere indirger ve bu sayede özdeğer problemlerinin kapalı formda çözümünü mümkün kılar. Bu yöntem, hem enerji spektrumlarının elde edilmesinde hem de normalleştirilmiş dalga fonksiyonlarının çıkarılmasında yaygın olarak kullanılmaktadır.Çalışmada, model sistem olarak Woods-Saxon potansiyeli seçilmiş ve bu potansiyel altında tanımlı Dunkl-Schrödinger denklemi, Nikiforov–Uvarov yöntemiyle çözülerek sistemin enerji özdeğerleri ve dalga fonksiyonları analitik olarak elde edilmiştir. Elde edilen sonuçlar, deformasyon ve yansıma parametrelerinin fiziksel etkilerini ortaya koyacak şekilde incelenmiştir. Sonuçlar, Dunkl formalizmi ile Nikiforov–Uvarov yönteminin birlikte kullanılmasının, simetrik ve deforme edilmiş kuantum sistemlerinin çözümünde oldukça etkili olduğunu göstermiştir. Bu yaklaşım, yalnızca teorik modellerin değil, aynı zamanda fiziksel olarak anlamlı sistemlerin de incelenmesinde güçlü ve genişletilebilir bir yöntem çerçevesi sunmaktadır.
Bu tez çalışmasında ilk olarak, kuantum özdeş parçacık sistemlerinden olan fermiyonların genel kuantum mekaniksel özellikleri ele alınmıştır. Daha sonra, ideal Fermi gazının iki ve üç-boyutlu uzaylarda genel termodinamik ve istatistiksel özellikleri incelenmiştir. \nİkinci olarak, özel bir deforme Fermi sistemini oluşturan VPJC-tipli q-deforme fermiyon gaz modelinin kuantum cebirsel özelliklerinin yanı sıra, modele ait fermiyonik Jackson türev operatörünün bazı matematiksel fonksiyonlara etkileri de çalışılmıştır. \nTez çalışmasının ilk özgün kısmı olarak; üç-boyutlu uzayda, VPJC-tipli q-deforme fermiyon gaz modelinin düşük sıcaklıklardaki istatistiksel mekanik davranışı üzerine yoğunlaşılmıştır. Özel olarak, modelin deforme kimyasal potansiyeli ve deforme ısı kapasitesinin hem sıcaklık ile hem de 0 < q < 1 aralığında tanımlı deformasyon parametresi q ile değişimleri incelenmiştir. VPJC-fermiyon gaz modelinin fiziksel bir uygulaması olarak deforme ısı kapasitesi fonksiyonu; Niobyum, Demir ve Kurşun metallerinin elektronik ısı kapasitelerinin sıcaklıkla değişimlerinin incelenmesine uygulanmıştır. \nTez çalışmasının diğer bir özgün kısmında ise, VPJC-fermiyon gaz modelinin iki-boyutlu uzayda termodinamik ve istatistiksel özellikleri incelenmiştir. Yine iki-boyutta, modelin hal denkleminin virial açılımı yapılarak, ilk beş deforme virial katsayısı bulunmuştur. \nSonuç olarak, VPJC-fermiyon gaz modelinin deformasyon parametresi q’nun termodinamik ve istatistiksel fonksiyonlara etkileri araştırılmıştır. Bulunan sonuçların, ideal Fermi gazının istatistiksel mekanik sonuçlarıyla kıyaslamaları yapılmıştır. Özellikle düşük sıcaklıklarda, VPJC-tipli q-deforme fermiyon gaz modelinden elde edilen ısı kapasitesi faktörü olan q-deforme Sommerfeld parametresinin incelenen metaller için deneysel sonuçlarla, serbest-elektron teorisi sonuçlarından daha uyumlu olduğu gösterilmiştir. Son olarak, VPJC-fermiyon gaz modelinin diğer muhtemel uygulama alanlarının neler olabileceği tartışılmıştır.
Bu çalışmada öncelikle kuantum özdeş parçacık sistemlerinden bozonların genel \nkuantum mekaniksel özellikleri ele alındı. Özel olarak, bir-boyutlu standart bozon \nsalınıcıları sistemini tanımlayan operatör bağıntıları ve sistemin Hamiltoniyeni \nincelendi. Daha sonra Bose sistemlerinin istatistiksel dağılım fonksiyonunun nasıl elde \nedilebileceği araştırıldı. \nİkinci olarak, ideal Bose gazının genel istatistik mekaniksel özellikleri incelendi. \nÖzellikle ideal Bose gazının hal denklemi, öz ısısı, entropisi gibi fonksiyonlarının düşük \nve yüksek sıcaklıklarda değişimlerine yoğunlaşıldı. Buradan standart Bose \nsistemlerinde, Bose-Einstein yoğunlaşmasının hangi koşullarda gerçekleşebileceği \nteorik olarak araştırıldı. \nÜçüncü olarak, bu çalışmanın orijinal kısmını oluşturan ve Bose sistemlerine de \nbir örnek uygulama olabilecek genelleştirilmiş bir bozon gazı modeli ele alındı. Tamm- \nDancoff (TD) bozon gazı modeli olarak adlandırılan bu sistemi tanımlayan bazı \nkuantum mekaniksel özellikler incelenerek, modelin bazı istatistik mekaniksel yönleri \nüzerinde çalışıldı. Özel olarak, bu genelleştirilmiş bozon gazı modelinin deformasyon \nparametresinin sistemin genelleştirilmiş dağılım fonksiyonu, iç enerjisi, entropisi gibi \nfonksiyonlarına etkileri araştırıldı. Ayrıca bu yolla, sistemin genelleştirilmiş Bose- \nEinstein fonksiyonları (g (z,q)) n elde edilerek, 0 z 1 ve q 1 bölgelerinde bu \nfonksiyonların değişimleri incelendi. Bu bağlamda elde edilen önemli sonuçlardan \nbirisi, düşük sıcaklıklarda sistemin entropisinin deformasyon parametresi q arttıkça \nazalış göstermesidir. Son olarak, elde edilen diğer sonuçların yanı sıra TD-bozon gazı \nmodeline uygulama alanı teşkil edebilecek fiziksel problemlerden bazıları tartışıldı.
Bu çalışma, kuantum mekaniğinde ölçüm problemi ve gözlemci etkisi üzerine alternatif bir düşünce deneyine dayanan yeni bir kuramsal yorum önermektedir. “Gözlemci-Belirlilik Eşiği Hipotezi”, kuantum sistemlerinin belirsizlik durumundan belirli duruma geçişinin, tekil bir gözlem anından ziyade, gözlemci tarafından oluşturulan bilişsel, fiziksel ve deneysel bağlamın bütünsel eşik değerine bağlı olduğunu ileri sürmektedir. Bu yaklaşım, Schrödinger’in kedi paradoksundan farklı olarak, düşünce deneyini nesnel fiziksel sonuçlardan çok, gözlem sürecinin yapısal özelliklerine odaklanarak yeniden konumlandırmaktadır. Çalışma, hipotezin kavramsal temellerini, mevcut kuantum yorumları ile ilişkisini ve deneysel olarak dolaylı sınanabilirliğine dair bir çerçeve sunmaktadır.