Resonances are very interesting phenomena, which appear in a wide range of classical and quantum systems.The mathematical description of quantum-mechanical resonances is connected with complex eigenvalues of the Hamiltonian of a given system.This fact introduces various difficulties, especially since resonance eigenfunctions are not normalisable.This work aims at developing techniques for the treatment of quantum-mechanical resonances with variational methods.For this purpose particular similarity transformations of the Hamiltonian, such as the Zel'dovich and complex-scaling transformations, are employed.A precise mathematical description of the transformation operators and extended function spaces is given.In addition a generalisation of the Rayleigh-Ritz variational principle is derived, which can be applied to non-Hermitian eigenvalue problems.Several basis-selection criteria are proposed for adapting the stochastic variational method to the non-Hermitian case.Their efficiencies are demonstrated for a one-dimensional problem with a potential considered before in the literature.It is found that the stochastic variational method can practically be extended to quantum-mechanical resonances and complex eigenvalues.It usually outperforms alternative methods for treating non-Hermitian Hamiltonians. KurzzusammenfassungSowohl in klassischen als auch in Quantensystemen sind Resonanzen sehr interessante Phänomene.Ihre mathematische Beschreibung ist eng mit komplexen Eigenwerten des Hamilton-Operators eines Systems verknüpft, was zu einigen Schwierigkeiten in der Handhabung führt, da die zugehörigen Eigenfunktionen nicht normierbar sind.Das Ziel dieser Arbeit ist es zu beschreiben, wie Variationsmethoden zur Behandlung von quantenmechanischen Resonanzen verwendet werden können.Dafür werden Ähnlichkeitstransformationen wie die Zel'dovich-und die Complex-Scaling-Transformation angewandt, und es wird eine mathematisch präzise Beschreibung der involvierten Operatoren und erweiterten Funktionenräume gegeben.Außerdem wird eine Erweiterung des Rayleigh-Ritz-Prinzips auf nicht-hermitische Eigenwertprobleme vorgestellt, und die stochastische Variationsmethode auf den nicht-hermitischen Fall erweitert.Dafür stellen wir verschiedene mögliche Auswahlkriterien für Basisfunktionen vor und testen unsere Methoden an einem eindimensionalen Problem, das auch schon in der Literatur untersucht worden ist.Unsere Varianten der stochastischen Variationsmethode können die Resonanzpositionen erfolgreich und effizienter als andere Methoden zur Behandlung von nicht-hermitischen Problemen berechnen.
Resonances are very interesting phenomena, which appear in a wide range of classical and quantum systems.The mathematical description of quantum-mechanical resonances is connected with complex eigenvalues of the Hamiltonian of a given system.This fact introduces various difficulties, especially since resonance eigenfunctions are not normalisable.This work aims at developing techniques for the treatment of quantum-mechanical resonances with variational methods.For this purpose particular similarity transformations of the Hamiltonian, such as the Zel'dovich and complex-scaling transformations, are employed.A precise mathematical description of the transformation operators and extended function spaces is given.In addition a generalisation of the Rayleigh-Ritz variational principle is derived, which can be applied to non-Hermitian eigenvalue problems.Several basis-selection criteria are proposed for adapting the stochastic variational method to the non-Hermitian case.Their efficiencies are demonstrated for a one-dimensional problem with a potential considered before in the literature.It is found that the stochastic variational method can practically be extended to quantum-mechanical resonances and complex eigenvalues.It usually outperforms alternative methods for treating non-Hermitian Hamiltonians. KurzzusammenfassungSowohl in klassischen als auch in Quantensystemen sind Resonanzen sehr interessante Phänomene.Ihre mathematische Beschreibung ist eng mit komplexen Eigenwerten des Hamilton-Operators eines Systems verknüpft, was zu einigen Schwierigkeiten in der Handhabung führt, da die zugehörigen Eigenfunktionen nicht normierbar sind.Das Ziel dieser Arbeit ist es zu beschreiben, wie Variationsmethoden zur Behandlung von quantenmechanischen Resonanzen verwendet werden können.Dafür werden Ähnlichkeitstransformationen wie die Zel'dovich-und die Complex-Scaling-Transformation angewandt, und es wird eine mathematisch präzise Beschreibung der involvierten Operatoren und erweiterten Funktionenräume gegeben.Außerdem wird eine Erweiterung des Rayleigh-Ritz-Prinzips auf nicht-hermitische Eigenwertprobleme vorgestellt, und die stochastische Variationsmethode auf den nicht-hermitischen Fall erweitert.Dafür stellen wir verschiedene mögliche Auswahlkriterien für Basisfunktionen vor und testen unsere Methoden an einem eindimensionalen Problem, das auch schon in der Literatur untersucht worden ist.Unsere Varianten der stochastischen Variationsmethode können die Resonanzpositionen erfolgreich und effizienter als andere Methoden zur Behandlung von nicht-hermitischen Problemen berechnen.
The theory of quantum mechanical systems with a stochastic Hamiltonian which are of importance in the theory of dissipative systems and in experimental investigations of the response of physical systems by means of electronic devices is discussed. A new formal development of quantum mechanical density matrices is given that is valid even for strong stochastic perturbations. If the stochastic part of the Hamilionian has a Gaussian distribution and an almost constant spectral density the given solution reduces to an expansion in terms of Hermite functionals which are othonormal respective to the Wiener measure (Cameron-Martin development). This expansion is operationally meaningful and characterized by good convergence and simple properties. As an example of the application of the theory a new foundation of Bloch's relaxation theory is sketched. (auth)
Verschränkung ist eine faszinierende Eigenart der Quantenphysik, die diese beträchtlich von klassischen Konzepten unterscheidet. Einerseits impliziert Verschränkung überraschende philosophische Aspekte, wie die Unvereinbarkeit von lokal-realistischen Theorien mit der Quantenphysik, andererseits kann sie erfolgreich für Aufgaben der Quanteninformation und Quantenkommunikation verwendet werden, um Protokolle im Hinblick auf klassische Prozeduren zu verbessern. Es ist noch immer ein offenes mathematisches Problem, herauszufinden, ob ein Quantenzustand verschränkt ist oder nicht; für einen allgemeinen Zustand auf einem beliebig dimensionalen Hilbertraum gibt es keine operationelle Vorgangsweise. Für reine Zustände und niedrig dimensionale Zweiteilchen-Systeme, z.B. für zwei Qubits, ist dieses Problem gelöst, da berechenbare notwendige und hinreichende Bedingungen für Separabilität (d.h. für Nicht-Verschränktheit) gefunden wurden. Außerdem kann die Verschränkung für ein Zwei-Qubit-System leicht quantifiziert werden. Für höher dimensionale und/oder Mehrteilchen-Systeme wurde in Bezug auf die Bestimmung und Quantifizierung von Verschränkung schon einiges erreicht, allerdings kann das Problem noch nicht als gelöst angesehen werden, vieles ist noch zu erforschen. In dieser Dissertation werden neue Methoden zur Bestimmung und Quantifizierung von Verschränkung für Systeme, die über Zwei-Qubit-Systeme hinausgehen, präsentiert. Zustände solcher Systeme werden üblicherweise durch Dichteoperatoren beschrieben und in Matrix-Schreibweise verwendet. Für hochdimensionale und/oder Mehrteilchen-Systeme können diese Dichtematrizen allerdings sehr unpraktisch werden. Mit Hilfe von Bloch-Zerlegungen können Dichteoperatoren kompakter und einfacher dargestellt werden. In dieser Schreibweise werden Dichteoperatoren in eine vollständige und orthogonale Operatorenbasis des Operatorenraums zerlegt. Für Qubits ist diese Schreibweise geläufig und üblicherweise werden die Pauli-Spin-1/2 Operatoren für die Operatorenbasis verwendet. Für Qudits, das sind Zustände allgemein dimensionaler Systeme, gibt es allerdings keine eindeutige Verallgemeinerung der Pauli-Operatorenbasis. Daher untersuchen wir drei mögliche Operatorenbasen: Die verallgemeinerte Gell-Mann-Operatorenbasis, die Polarisationsoperatorenbasis, sowie die Weyloperatorenbasis. Weiters wird eine Methode präsentiert, mit welcher die Zerlegung eines beliebigen Operators in eine der drei Operatorenbasen mit Hilfe der Zerlegung von sogenannten Standardoperatoren gefunden werden kann. Als Beispiel zur Anwendung dieser Methode betrachten wir den maximal verschränkten Zwei-Qudit Zustand und zerlegen diesen in jede der Operatorenbasen. Im Zusammenhang mit der Bestimmung von Verschränkung sind „Entanglement Witnesses'“ ein wichtiges und oft verwendetes Hilfsmittel. Diese sind Observablen und detektieren die Verschränkung eines Zustandes, sofern sie für diesen einen negativen Erwartungswert aufweisen, und wenn gleichzeitig bekannt ist, dass der Erwartungswert für alle separablen Zustände nicht negativ werden kann. Diese letztere Bedingung ist allerdings im Allgemeinen nicht leicht zu zeigen. In diesem Zusammenhang bietet sich die Verwendung von Bloch-Zerlegungen für vereinfachte Relationen an, und somit kann die Bedingung in vielen Fällen bewiesen werden. Eine besondere Klasse von Entanglement Witnesses sind geometrische Entanglement Witnesses, welche eine direkte euklidisch-geometrische Darstellung des Operatorenraumes erlauben. Die Wichtigkeit dieser Witnesses wird durch „Shift“-Methoden verdeutlicht, welche verschränkte und im Speziellen „bound entangled“ Zustände detektieren können, und außerdem helfen, die Menge der separablen Zustände von konvexen Untermengen von Zuständen zu bestimmen. Als Beispiel betrachten wir eine Drei-Parameter-Familie von Zwei-Qutrit Zuständen. Weiters können geometrische Entanglement Witnesses auch zur geometrischen Quantifizierung von Verschränkung verwendet werden, insbesondere zur Bestimmung des Hilbert-Schmidt Verschränkungsmaßes. Dies wird an den Beispielen der isotropen Zwei-Qudit Zustände und Zwei-Parameter Familien von Zwei-Qubit und Zwei-Qutrit Zuständen gezeigt. Zuletzt widmen wir uns dem Problem der Bestimmung von Verschränkung in Mehr-Qubit Systemen. In diesem Zusammenhang bieten wir eine allgemeine Konstruktion von Entanglement Witnesses unter Verwendung von statischen Strukturfaktoren an. In der Festkörperphysik beschreiben Strukturfaktoren dynamische Eigenschaften von Festkörpern in Streuexperimenten. Die strukturellen Entanglement Witnesses detektieren echte Mehrteilchen-Verschränkung, wie z.B. Dicke-Zustände und Dicke-ähnliche Zustände mit geänderten Phasen der vorkommenden Terme. Sie beinhalten außerdem nur Zwei-Punkt-Korrelationen und sind für die experimentelle Anwendung in verschieden physikalischen Systemen geeignet.
Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die Untersuchung von quantenmechanischen und klassischen Markov-Prozessen und deren Anwendung im Bereich der stark korrelierten Vielteilchensysteme. Unter einem Markov-Prozess versteht man eine spezielle Art eines stochastischen Prozesses, dessen weitere dynamische Entwicklung unabhängig ist von der Vorgeschichte seiner Entwicklung und nur von der derzeitigen Konfiguration abhängt. Die Anwendung von Markov-Prozessen im Bereich der statistischen Mechanik von klassischen Vielteilchensystemen hat eine lange Geschichte. Markov-Prozesse dienen nicht nur der Beschreibung der Dynamik von stochastischen Systemen, sondern liefern vielmehr auch eine sehr praktische Methode, mit dereren Hilfe grundlegende Eigenschaften komplexer Vielteilchenprobleme in Form eines probabilistischen Algorithmus berechnet werden können. Ziel dieser Arbeit ist es das Verhalten von quantenmechanischen Markov Prozessen, dies sind Markov-Prozesse, welchen ein quantenmechanischer Konfigurationsraum zu Grunde liegt, zu untersuchen und mit deren Hilfe komplexe Vielteilchensysteme besser zu verstehen. Darüber hinaus formulieren wir einen Quantenalgorithmus, mit dessen Hilfe es möglich ist, die thermischen- und Grundzustandseigenschaften von quantenmechanischen Vielteilchensystemen zu berechnen. Nachdem wir eine kurze Einführung in das Feld der quantenmechanischen Markov-Prozesse gegeben haben, untersuchen wir deren Konvergenzeigenschaften. Wir finden Schranken für die Konvergenzraten der quantenmechanischen Prozesse, basierend auf einer Verallgemeinerung von geometrischen Schranken, welche für klassische Prozesse gefunden wurden. Wir verallgemeinern ein Abstandsmaß, die Chi-Quadrat Divergenz für nicht kommutative Wahrscheinlichkeitsräume, welches unseren Untersuchungen zu Grunde liegt. Diese Divergenz ermöglicht auch eine Verallgemeinerung der detaillierten Balance für quantenmechanische Prozesse. Danach konstruieren wir den Quantenalgorithmus, der als natürliche Verallgemeinerung des Metropolisalgorithmus für quantenmechanische Hamiltonoperatoren verstanden werden kann. Wir beabsichtigen damit zu zeigen, dass ein Quantencomputer in der Lage ist, als universeller Quantensimulator zu fungieren, welcher nicht nur die Dynamik eines Quantensystems beschreiben kann, sondern auch den Zugang zu statischen Berechnungen ermöglicht. Danach untersuchen wir die Korrelationseigenschaften von klassischen Nichtgleichgewichtszuständen mit Methoden der Quanteninformationstheorie. Wir konstruieren eine Klasse von Matrix-Produkt-Zuständen, deren Korrelationen anhand von klassischen Markov-Prozessen verstanden werden können. Schließlich untersuchen wir die Transporteigenschaften eines stationären Nichtgleichgewichtszustandes. Die dynamische Gleichung ist so konstruiert, dass der Transport je nach Parameterwahl entweder hauptsächlich stochastisch oder hauptsächlich kohärent stattfindet. Wir können somit die unterschiedlichen Formen des Transports innerhalb eines Modells miteinander vergleichen.
Abstract An earlier development of some results in quantum mechanics from a stochastic variational principle is extended in several directions. An outline is first given of the methods of control theory upon which the development is based, and earlier results are briefly described. Extensions are then given to relativistic systems, to Dirac’s equation, and to elementary quantum field theory. The aim thoughout is to show that results in the standard theory can be obtained in a uniform way from an extended form of Hamilton’s principle, which has the advantage of conciseness and a relatively close relationship to the classical theory. The wave function appears as a modified form of the optimal cost function, and the photon can be identified with a singularity in the electromagnetic field. Interference is explained by optimization of an expected value, the ensemble over which the expectation is taken being dependent upon the information available.
Die übliche Deutung der Quantentheorie ist selbstkonsistent, enthält aber Annahmen, die nicht experimentell überprüft werden können, wie z. B. daß die vollständigst mögliche Beschreibung eines individuellen Systems durch eine Wellenfunktion erfolgt, die nur den wahrscheinlichen Ausgang tatsächlicher Messungen festlegt. Ob diese Annahme korrekt ist, kann nur durch den Versuch überprüft werden, eine andere Interpretation der Quantentheorie durch derzeit „verborgene“ Variable zu finden, die im Prinzip das exakte Verhalten eines individuellen Systems bestimmen, aber in der Praxis bei den heute möglichen Messungen herausgemittelt werden. In dieser und einer folgenden Arbeit soll eine Deutung der Quantentheorie durch derartige „verborgene Variable“ vorgeschlagen werden. Es zeigt sich, daß die hier vorgeschlagene Deutung zu genau denselben Ergebnissen für alle physikalischen Prozesse führt wie die übliche Deutung, sofern die mathematische Theorie ihre allgemeine Form beibehält. Dennoch führt die vorgeschlagene Deutung auf ein allgemeineres Begriffssystem als die übliche Deutung, da sie eine präzise und kontinuierliche Beschreibung aller Prozesse sogar auf dem Quantenniveau erlaubt. Das erweiterte Begriffssystem ermöglicht allgemeinere mathematische Formulierungen der Theorie als die übliche Deutung. Die gebräuchliche mathematische Formulierung scheint aber auf unlösbare Schwierigkeiten zu führen, wenn sie auf kleinere Abstände als 10−13 cm extrapoliert wird [A1]. Es wäre möglich, daß die hier vorgeschlagene Deutung zur Lösung dieser Schwierigkeiten benötigt wird. In jedem Fall beweist die bloße Möglichkeit einer derartigen Interpretation, daß eine exakte, rationale und objektive Beschreibung individueller Systeme auf dem Quantenniveau nicht notwendigerweise unmöglich ist.