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Annales De L Institut Henri Poincare-physique Theorique

Classical limit of a quantum particle in an external Yang-Mills field

Ugo Moschella

Published Jan 1, 1989• 0 citations
OpenAlex

Abstract

It is studied the classical limit of a quantum particle in an external non-abelian gauge field. It is shown that the unitary group describing the quantum fluctuations around any classic phase orbit has a classical limit when h tends to zero under very general conditions on the potentials. It is also proved the self-adjointness of the Hamilton's operator of the quantum theory for a large class of potentials. Some applications of the theory are finally exposed On etudie la limite classique d'une particule quantique dans un champ exterieur non abelien. On demontre que l'existence de la limite classique du groupe unitaire qui decrit les fluctuations quantiques autour d'une orbite classique quelconque est assuree par des conditions peu restrictives sur les potentiels. On demontre que l'operateur hamiltonien de la theorie quantique est auto-adjoint pour une large classe de potentiels

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•Jul 7, 2008•0 citations

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•Jul 7, 2008•0 citations
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We study the Classical Particle Limit of Non-Relativistic Quantum Mechanics. We show that the unitary group describing the evolution of the quantum fluctuation around any classical phase orbit has a classical limit as ħ→0 in the strong operator topology for a very large class of time independent scalar and vector potentials, which in practice covers all physically interesting cases. We also show that the mean values of the quantum mechanical position and velocity operators on suitable states, obtained by time evolution of the product of a Weyl operator centred around the large coordinates and momenta ħ −1/2 ξ and ħ −1/2 π and a fixed ħ-independent wave function, converge to the solution of the classical equations with initial data ξ, π as ħ→0 for a broad class of repulsive interactions On demontre que le groupe unitaire qui decrit l'evolution des fluctuations quantiques autour d'une orbite classique quelconque a une limite classique quand ħ→0 dans la topologie forte des operateurs, pour une vaste classe de potentiels qui couvre en pratique tous les cas physiquement interessants. On demontre que les valeurs moyennes des operateurs quantiques position et vitesse, dans des etats convenables obtenus par l'evolution temporelle du produit d'un operateur de Weyl centre autour de grandes coordonnees et de grandes impulsions ħ −1/2 ξ, ħ -1/2 π et d'une fonction d'onde independante de ħ, tendent vers la solution des equations classiques avec donnees initiales ξ, π quand ħ→0 pour une grande classe d'interactions repulsives
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Dans ce travail on se concentre sur une methode alternative de quantification a travers des etats coherents. La methode canonique associe un pair de variables conjuguees classiques et identifie leur crochet de Poisson au commutateur quantique de ses observables quantiques correspondantes. Les observables sont definies comme des operateurs auto-adjoints agissant sur un espace de Hilbert particulier. Leurs valeurs physiques se trouvent dans leur resolution spectrale, et pourtant sont lies a une mesure a valeur projection (PV). Neanmoins, il existe un empechement lorsqu’on impose des bornes sur les ces spectres. Cette restriction sur la definition des operateurs est decrite par un theoreme de W. Pauli et ouvre la voie vers la definition de methodes alternatives de quantification. La quantification par etats coherents propose une definition d’observable quantique qui prend des valeurs a travers la valeur moyenne sur une famille « coherente » non-orthogonale et surcomplete de vecteurs dans l’espace de Hilbert. Les etats coherents definis a cet effet partagent avec ceux de oscillateur harmonique la propriete d’etre des resolutions de l’identite et d’etre parametrises par un indice discret et une variable complexe. Ceci les rend particulierement utiles pour « traduire » des variables classiques en operateurs quantiques bien definis. On a etudie trois cas particuliers ou la definition d’operateurs auto-adjoints est compromise. En premier on propose une definition de l’operateur de phase, correspondant a l’angle conjugue a l’action classique. En deuxieme place on etudie la quantification du mouvement dans un puits infini de potentiel, notamment, l’operateur d’impulsion problematique est defini proprement. Finalement ont propose un operateur temps, conjugue au Hamiltonien, pour une particule libre en utilisant des etats coherents de type SU(1,1) sur des demi plans de Poincare
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