This paper will introduce and discuss the method of Operators in Quantum Mechanics. This presentation will be mathematically rigorous, but also physically motivate the definitions and propositions established.
Apresentamos o método espectral de Galerkin como uma ferramenta para a quantização de sistemas hamiltonianos. Este método pode ser introduzido como um tópico em uma disciplina de introdução à mecânica quântica em um curso de graduação em física. Comparado ao método de diferenças finitas, o método espectral possibilita precisão muito maior, além de fornecer expressões analíticas aproximadas para as autofunções de energia, e é suficientemente simples para ser exposto em cerca de quatro horas-aula. No presente trabalho, apresentamos o método em detalhe, aplicando-o à equação de Schrödinger para o oscilador harmônico simples e para o oscilador harmônico quártico. A precisão dos resultados é comparada aos fornecidos pelo método de diferenças finitas.
Este trabalho tem como objetivo o estudo da formulação estocástica de Nelson da mecânica quântica, visando possíveis aplicações em áreas onde métodos híbridos oriundos da mecânica quântica e da física estocástica têm sido usados com sucesso, como econofísica, epidemiologia matemática e física de sistemas complexos hierár- quicos. Inicialmente, realizamos uma revisão direcionada dos conceitos fundamentais da mecânica estatística fora do equilíbrio e processos estocásticos. O formalismo de Nelson é introduzido através da integral de Itô, juntamente com uma breve discussão de suas particularidades em relação à integral de Riemann, além da apresentação sucinta das condições de existência e unicidade de equações diferenciais estocás- ticas (EDE) e a aplicabilidade de EDE em sua forma "backward"em problemas de otimização. A partir disso, dividindo este estudo em duas partes, primeiro utilizamos o método variacional estocástico (MVE) para compreendermos como fazer a ponte entre mecânica estocástica, quântica e clássica e, em seguida, estudarmos como se dá a solução de EDEs via métodos numéricos, especialmente tratando do método de Euler-Maruyama. Por fim, na segunda parte, estudamos a obtenção e discutimos as propriedades da fase de Berry, a fim de propôr um método para a representação es- tocástica clássica a partir das correspondentes equações de Madelung e da equação dissipativa de Schrödinger.
Resumo Tendo como um dos pilares fundamentais o princípio da incerteza de Heisenberg, a construção da Mecânica Quântica (MQ) levou Albert Einstein, Boris Podolsky e Nathan Rosen a formularem, em 1935, o famoso paradoxo EPR, que questionava a completude da teoria. Até 1964, não havia sequer em teoria um teste capaz de distinguir a MQ de hipóteses alternativas baseadas em variáveis ocultas locais. O artigo intitulado “Can Quantum Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?” apontava para a incompletude da MQ, diretamente ligada ao caráter probabilístico da teoria, ao qual Einstein se opunha frontalmente. Em 1964, John S. Bell formulou seu teorema, que tornou viáveis os testes experimentais das previsões da MQ. Na década de 1980, iniciaram-se os experimentos cruciais que confirmaram as previsões da MQ sobre o emaranhamento, inaugurando uma nova fase nos estudos sobre os fundamentos da teoria. Em 2022, John Clauser, Alain Aspect e Anton Zeilinger foram agraciados com o Prêmio Nobel de Física pela violação experimental das desigualdades de Bell. O presente trabalho consiste em uma revisão de trabalhos teórico-experimentais, tendo como foco o período de 87 anos que se inicia com a formulação do paradoxo EPR e culmina com a concessão do Prêmio Nobel de 2022. Ao longo da revisão histórica dos trabalhos, são discutidos e problematizados alguns dos tópicos de maior relevância para a teoria quântica, incluindo certas interpretações da MQ. Além dos referidos experimentos, abordaremos ao final dois trabalhos laureados com o Prêmio Nobel de 2012, num contexto de aplicações da MQ em informação e computação quânticas.