Quantenmechanische Phasenoperatoren im Zusammenhang mit orthogonalen Polynomsystemen
Thomas Appl
Der Ansatz von Susskind und Glogower für das quantenmechanische Phasenproblem\ndefiniert hermitesche Operatoren, die als Kosinus- und Sinusoperatoren interpretierbar\nsind. Deren Eigenzustände in der Fock-Darstellung sind die Chebyshev-\nPolynome zweiter Art. Auf dieser Grundlage werden allgemeinere Kosinus- und Sinusoperatoren\neingeführt, deren Eigenzustände in der Fock-Darstellung mit beliebigen\nPolynomen gebildet sind, die im Intervall [−1,+1] bezüglich einer Gewichtsfunktion\nein Orthogonalsystem bilden. Jedem Satz Polynome ist ein Paar Kosinus- und Sinusoperatoren\nzugeordnet. Je nachdem ob die Gewichtsfunktionen symmetrisch oder\nunsymmetrisch sind, wird zwischen verallgemeinerten und erweiterten Kosinus- und\nSinusoperatoren unterschieden. Es werden auch korrespondierende Arcuskosinus- und\nArcussinusoperatoren vom verallgemeinerten und erweiterten Type eingeführt. Die Eigenzustände der trigonometrischen und inversen trigonometrischen Operatoren werden\nuntersucht und dazu verwendet, um Darstellungen beliebiger Quantenzustände sowie\nentsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu definieren. Für die klassischen orthogonalen\nPolynome werden Beispiele explizit angegeben.\n \nWeiterhin werden Exponentialoperatoren als Verallgemeinerung der exponentiellen\nPhasenoperatoren von Susskind und Glogower eingeführt, die mit den verallgemeinerten\nbzw. erweiterten Kosinus- und Sinusoperatoren in Beziehung stehen. Die \nEigenzustände der als Absteigeoperatoren wirkenden Exponentialoperatoren sind innerhalb\ndes Einheitskreises definiert und bilden, sofern sie die Darstellung des Einheitsoperators\nermöglichen, verallgemeinerte kohärente Zustände. In diesem Fall können damit\nzweidimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen innerhalb des Einheitskreises und\ndaraus resultierende Phasenverteilungen definiert werden. Im Fall der klassischen orthogonalen\nPolynome haben die Eigenzustände der verallgemeinerten und erweiterten\nExponentialoperatoren als Normierungsfunktionen die hypergeometrischen 2F1- bzw.\n4F3-Funktionen. Die Darstellung des Einheitsoperators erfordert eine spezielle Grenzbetrachtung.\n \nSchließlich werden die Eigenzustände der Exponentialoperatoren, die mit den klassischen\northogonalen Polynomen im Zusammenhang stehen, erweitert, indem verallgemeinerte\nhypergeometrische Zustände eingeführt werden, deren Normierungsfunktionen\ndie verallgemeinerten hypergeometrischen Funktionen pFq sind. In Abhängigkeit\nvom Konvergenzradius der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktionen wird\nzwischen verallgemeinerten hypergeometrischen Zuständen in der gesamten Ebene,\ninnerhalb des Einheitskreises und auf dem Einheitskreis unterschieden. Diejenigen verallgemeinerten\nhypergeometrischen Zustände, die die Darstellung des Einheitsoperators\nermöglichen, werden als kohärente verallgemeinerte hypergeometrische Zustände\ndefiniert. Diese können als Basis zur Darstellung beliebiger Zustände im Bargmann- bzw.\nHardy-Raum verwendet werden und definieren verallgemeinerte hypergeometrische\nHusimi-Verteilungen und daraus resultierende Phasenverteilungen.
•Oct 9, 2006•0 citations