Quelques systèmes quantiques ouverts sont étudiés par la récente théorie des systèmes dynamiques. Un système est couplé à un réservoir, une équation de Volterra dirige son évolution. La limite faible conduit aux résultats markoviens de Davies introduisant les opérateurs de Davies et de Van Hove, calculés formellement. Le semi-groupe de générateur de Davies agit sur les observables du système. On précise des conditions à la complète positivité satisfaites par les modèles connus. Une méthode explicite résout l'équation maîtresse pour un système, formé d'oscillateurs harmoniques, et donne le retour rapide vers l'équilibre. La formule de Feshbach relie la résolvante projetée du liouvillien au générateur de Davies. Des hypothèses spécifiques d'un champ bosonique génèrent des processus gaussiens stationnaires représentés à l'aide d'un mouvement brownien complexe. L'existence d'une mesure invariante prouve l'évolution markovienne de la matrice de densité du système
Quelques systèmes quantiques ouverts sont étudiés par la récente théorie des systèmes dynamiques. Un système est couplé à un réservoir, une équation de Volterra dirige son évolution. La limite faible conduit aux résultats markoviens de Davies introduisant les opérateurs de Davies et de Van Hove, calculés formellement. Le semi-groupe de générateur de Davies agit sur les observables du système. On précise des conditions à la complète positivité satisfaites par les modèles connus. Une méthode explicite résout l'équation maîtresse pour un système, formé d'oscillateurs harmoniques, et donne le retour rapide vers l'équilibre. La formule de Feshbach relie la résolvante projetée du liouvillien au générateur de Davies. Des hypothèses spécifiques d'un champ bosonique génèrent des processus gaussiens stationnaires représentés à l'aide d'un mouvement brownien complexe. L'existence d'une mesure invariante prouve l'évolution markovienne de la matrice de densité du système
Quelques systèmes quantiques ouverts sont étudiés grâce à la récente théorie des systèmes dynamiques. Un petit système est couplé à un réservoir, son évolution est dirigée par une équation de Volterra. Le passage à la limite faible conduit aux résultats markoviens de Davies. Ce qui introduit les opérateurs, dits de Davies et de Van Hove, calculés de façon formelle. On les illustre par des modèles connus. Le semi groupe de générateur de Davies est complètement positif et agit sur les observables du petit système. L'expression abstraite de ce générateur nous oblige à étudier la complète positivité. Les modèles connus satisfont les conditions trouvées. L'équation maîtresse a été résolue pour un petit système, formé d'une famille finie d'oscillateurs harmoniques, par une méthode directe et explicite. Ce qui nous permet d'obtenir le retour exponentiellement rapide vers l'équilibre. La formule de Feshbach décompose en une somme directe la résolvante du liouvillien projetée sur le petit système. On relie cette décomposition au générateur de Davies. Des hypothèses raisonnables d'un champ bosonique unidimensionnel génèrent une famille commutative d'opérateurs auto adjoints. Par suite la théorie des processus gaussiens stationnaires s'y applique. La représentation par rapport à un mouvement brownien complexe de ces processus produit des équations linéaires de filtrage. L'existence d'une mesure invariante prouve une évolution markovienne de la matrice de densité du petit système.
Systèmes quantiques ouverts et processus stochastiques quantiques De nombreux phénomènes de physique quantique ne peuvent être compris que par l'analyse des systèmes ouverts. Un appareil de mesure, par exemple, est un système macroscopique en contact avec un système quantique. Ainsi, tout modèle d'expérience doit prendre en compte les dynamiques propres aux systèmes ouverts. Ces dynamiques peuvent être complexes : l'interaction du système avec son environnement peut modifier ses propriétés, l'interaction peu créer des effets de mémoire dans l'évolution du système, . . . Ces dynamiques sont particulièrement importantes dans l'étude des expériences d'optique quantique. Nous sommes aujourd'hui capables de manipuler individuellement des particules. Pour cela la compréhension et le contrôle de l'influence de l'environnement est crucial. Dans cette thèse nous étudions d'un point de vue théorique quelques procédures communément utilisées en optique quantique. Avant la présentation de nos résultats, nous introduisons et motivons l'utilisation de la description markovienne des systèmes quantiques ouverts. Nous présentons a la fois les équations maîtresses et le calcul stochastique quantique. Nous introduisons ensuite la notion de trajectoire quantique pour la description des mesures indirectes continues. C'est dans ce contexte que l'on présente les résultats obtenus au cours de cette thèse. Dans un premier temps, nous étudions la convergence des mesures non destructives. Nous montrons qu'elles reproduisent la réduction du paquet d'onde du système mesuré. Nous montrons que cette convergence est exponentielle avec un taux fixe. Nous bornons le temps moyen de convergence. Dans ce cadre, en utilisant les techniques de changement de mesure par martingale, nous obtenons la limite continue des trajectoires quantiques discrètes. Dans un second temps, nous étudions l'influence de l'enregistrement des résultats de mesure sur la préparation d'état par ingénierie de réservoir. Nous montrons que l'enregistrement des résultats de mesure n'a pas d'influence sur la convergence proprement dite. Cependant, nous trouvons que l'enregistrement des résultats de mesure modifie le comportement du système avant la convergence. Nous retrouvons une convergence exponentielle avec un taux équivalent au taux sans enregistrement. Mais nous trouvons aussi un nouveau taux de convergence correspondant a une stabilité asymptotique. Ce dernier taux est interprété comme une mesure non destructive ajoutée. Ainsi l'état du système ne converge qu'après un temps aléatoire. A partir de ce temps la convergence peut être bien plus rapide. Nous obtenons aussi une borne sur le temps moyen de convergence.
Cette thèse se consacre à l'étude de certaines passerelles existantes entre les probabilités dîtes classiques et la théorie des systèmes quantiques ouverts. Le but de la première partie de ce manuscrit est d'étudier l'émergence de bruits classiques dans l'équation de Langevin quantique. Cette équation sert à modéliser l'action d'un bain quantique sur un petit système dans l'approximation markovienne. L'analogue en temps discret de cette équation est décrit par le schéma des interactions quantiques répétées étudier par Stéphane Attal et Yan Pautrat. Dans des travaux antérieurs, Attal et ses collaborateurs montrent que les bruits classiques naturels apparaissant dans ce cadre sont les variables aléatoires obtuses, dont ils étudient la structure. Mais sont-ils les seuls bruits classiques pouvant émerger, et quand est-il dans le cas général ? De même, en temps continu, il était plus ou moins admis que les seuls bruits classiques apparaissant dans l'équation de Langevin quantique sont les processus de Poisson et le mouvement brownien. Ma contribution dans ce manuscrit consiste à définir une algèbre de von Neumann pertinente sur l'environnement, dite algèbre du bruit, qui encode la structure du bruit. Elle est commutative si et seulement si le bruit est classique ; dans ce cas on confirme les hypothèses précédentes sur sa nature. Dans le cas général, elle permet de montrer une décomposition de l'environnement entre une partie classique maximale et une partie purement quantique. Dans la deuxième partie, nous nous consacrons à l'étude de processus stochastiques classiques apparaissant au sein du système. La dynamique du système est quantique, mais il existe une observable dont l'évolution est classique. Cela se fait naturellement lorsque le semi-groupe de Markov quantique laisse invariante une sous-algèbre de von Neumann commutative et maximale. Nous développons une méthode pour générer de tels semi-groupes, en nous appuyons sur une définition de Stéphane Attal de certaines dilatations d'opérateurs de Markov classiques. Nous montrons ainsi que les processus de Lévy sur Rn admettent des extensions quantiques. Nous étudions ensuite une classe de processus classiques liés aux marches quantiques ouvertes. De tels processus apparaissent lorsque cette fois l'algèbre invariante est le produit tensoriel de deux algèbres, l'une non-commutative et l'autre commutative. Par conséquent, bien que comportant l'aspect trajectoriel propre au processus classiques, de telles marches aléatoires sont hautement quantiques. Nous présentons dans ce cadre une approche variationnelle du problème de Dirichlet. Finalement, la dernière partie est dédiée à l'étude d'un processus physique appelé décohérence induite par l'environnement. Cette notion est fondamentale, puisqu'elle apporte une explication dynamique à l'absence, dans notre vie de tous les jours, de phénomènes quantiques. Nous montrons qu'une telle décohérence a toujours lieu pour des systèmes ouverts décrits par des algèbres de von Neumann finies. Nous initions ensuite une étude innovante sur la vitesse de décohérence, basée sur des inégalités fonctionnelles non-commutatives, qui permet de mettre en avant le rôle de l'intrication quantique dans la décohérence
Dynamique hors-équilibre des systèmes quantiques ouverts et fermés Cette thèse est consacrée à l'étude de la dynamique de hors-équilibre dans les systèmes quantiques fermés et ouverts. La question de l'obtention d'équations dynamiques numériquement efficaces pour simuler de tels systèmes, qui souffrent d'une malédiction de dimensionnalité lorsqu'ils sont de grande taille est au centre de la thèse, ainsi que les divers nouveaux résultats physiques qui peuvent être obtenus grâce à ces équations efficaces. La question de l'obtention de représentations efficaces des états quantiques est également centrale, à travers la construction d'Ansatz. En particulier, nous présentons la méthode du sous-espace dynamique, une nouvelle méthode numérique pour la simulation de l'évolution temporelle de systèmes quantiques ouverts avec une entropie modérée. En représentant la matrice densité par un sous-espace constitué de M états purs, la complexité de l'intégration de l'équation maîtresse de Lindblad est considérablement réduite, et l'algorithme obtenu est entièrement déterministe. Nous appliquons ensuite cette méthode pour modéliser des algorithmes quantiques bruités, en simulant un algorithme quantique bruité de transformation de Fourier qui est au centre de l'algorithme de Shor pour la factorisation de nombre premiers. Nous trouvons une loi d'échelle pour l'erreur en fonction du taux de dissipation, et le comportement de l'infidélité par rapport au circuit idéal est modélisé en fonction des états initiaux qui sont fournis en entrée à l'algorithme. Ensuite, l'application des méthodes d'apprentissage automatique à la mécanique quantique est présentée, à travers la classe d'Ansatz des états quantiques neuronaux (NQS). La construction générale des NQS est introduite, ainsi que sa relation avec d'autres Ansatz tels que les réseaux tensoriels. Ensuite, le problème de la simulation de la dynamique des systèmes fermés avec NQS est étudié, ainsi que les problèmes courants liés à la géométrie de l'espace des paramètres qui peuvent survenir. Un schéma alternatif est introduit et appliqué aux quenches dépendantes du temps dans les systèmes critiques, où le mécanisme de Kibble-Zurek peut être étudié. Enfin, différentes constructions d'Ansatz pour les systèmes ouverts sont présentées, notamment la combinaison de la méthode du sous-espace dynamique avec un Ansatz neuronal. Enfin, nous étudions théoriquement la propagation de l'intrication dans les systèmes photoniques dissipatifs à forte interaction, motivés par la réalisation expérimentale récente de telles plateformes. Nos résultats montrent qu'en dépit du caractère dissipatif du système étudié, la propagation de l'intrication est ballistique avec une vitesse en accord avec l'image de quasiparticules impliquées dans la dynamique, des doublons et des holons photoniques. Notre analyse révèle que la dissipation est fortement asymétrique dans les deux cas étudiés de l'injection d'un doublon ou de son extraction, avec une influence plus forte dans le cas de l'extraction.
Modèles efficaces de systèmes quantiques ouverts bipartites Cette thèse développe des méthodes de réduction de modèles pour la dynamique des systèmes quantiques ouverts, conduisant à des modèles efficaces pour les systèmes bipartites, avec une application directe à la QED en circuit et une portée plus large au-delà de cette plateforme. Nous considérons tout d'abord des dynamiques dissipatives caractérisées par une séparation d'échelles de temps, qui se traduit par un écart spectral (gap) sur l'axe réel du spectre du Liouvillien générateur. Cela permet de calculer l'évolution réduite d'un sous-système cible en éliminant adiabatiquement les degrés de liberté à décroissance rapide. Une représentation intégrale sous forme d'équation de Sylvester fournit des expressions fermées pour les générateurs réduits ainsi que des applications de reconstruction explicites à tout ordre, sans étape préalable de moyennisation dans l'image d'interaction, ce qui donne une description linéaire en variété centrale séparant les modes de longue durée de vie des modes à décroissance rapide au moyen des parties réelles du spectre. La dynamique réduite se déroule sur la variété centrale, c'est-à-dire le sous-espace spectral associé aux valeurs propres dont les parties réelles sont petites (modes de longue durée de vie), sans imposer de restriction sur les parties imaginaires, ce qui autorise une dynamique unitaire rapide sur le sous-système cible. Nous démontrons en outre l'équivalence d'une telle approche géométrique de l'élimination adiabatique avec le formalisme des équations maîtresses sans mémoire (time-convolutionless), en montrant que les applications définissant le modèle réduit satisfont la même équation d'invariance dans les deux cadres. La formulation sans mémoire de l'élimination adiabatique s'étend à des cas où le système cible subit une dynamique unitaire rapide et conserve une dépendance temporelle explicite dans le modèle réduit, ce qui permet de capturer les transitoires initiaux qui sont négligés dans les réductions géométriques indépendantes du temps. Dans un deuxième temps, nous appliquons une transformation unitaire en chaîne des Hamiltoniens microscopiques système-environnement vers une forme à interactions de voisinage immédiat, permettant une évolution temporelle efficace au moyen d'algorithmes de réseaux de tenseurs basés sur le principe variationnel dépendant du temps. La précision de la représentation en réseau de tenseurs, et donc la taille du modèle réduit, est contrôlée par la croissance de l'entropie d'intrication, que nous quantifions numériquement. Bien que les méthodes soient générales et s'appliquent au-delà de la plateforme spécifique considérée, nous nous concentrons sur la mesure dispersive en QED en circuit (un qubit couplé dipolairement à une cavité excitée et dissipative). Nous quantifions la dépendance du temps de relaxation T₁ du qubit au nombre moyen de photons intracavité n̄ (et donc à l'amplitude du drive) ainsi qu'à la structure spectrale de l'environnement, et calculons le spectre d'émission directement à partir d'observables de l'environnement. Des simulations incluant un filtre de Purcell à encoche prédisent une diminution de T₁ lorsque la puissance du drive augmente, un comportement qualitativement différent des prédictions de type GKSL dans l'approximation de Born-Markov-séculaire, mais cohérent avec les tendances expérimentales, ce qui indique qu'un modèle incluant explicitement le filtre est nécessaire dans ce cas. Pris ensemble, ces résultats précisent dans quels régimes les modèles liouvilliens réduits sous l'hypothèse d'un gap dissipatif sont fiables et dans quels cas des simulations microscopiques non perturbatives sont nécessaires.
Les systèmes quantiques ouverts décrivent l'évolution d'un système de référence S en interaction avec un ou plusieurs autres systèmes appelés environnements. Pour les étudier on rencontre deux approches dans la littérature: l'approche hamiltonienne, où on décrit complètement les systèmes et leurs interactions, et l'approche markovienne, où on abandonne l'idée de décrire l'environnement et on considère une dynamique, dite effective, du système S seul mais prenant en compte les effets de l'interaction avec l'environnement.Nous nous intéresserons dans cette thèse à une classe particulière de tels systèmes: les système quantiques avec interactions répétées. Le système S interagit successivement avec une suite de sous-systèmes indépendants. L'approche de ces systèmes est à la fois hamiltonienne et markovienne. Leur étude joue un rôle fondamental dans la compréhension pratique et théorique des processus d'interaction matière-lumière ainsi qu'en optique quantique (expérience du maser à un atome).Cette thèse porte sur l'étude d'un système de type maser à un atome. Le modèle considéré décrit un champ électromagnétique dans une cavité et traversé par un faisceau d'atomes mais auquel on ajoute un réservoir supplémentaire interagissant de façon continue avec le champ électromagnétique. L'idée est que la cavité n'est pas parfaitement isolée et le réservoir permet de modéliser les fuites dans la cavité. Ainsi l'interaction entre le champ électromagnétique et les atomes est décrit par un système quantique avec interactions répétées et l'interaction entre le champ électromagnétique et le réservoir est décrit par une approche hamiltonienne des systèmes quantiques ouverts.Le système "cavité+réservoir" à été étudié par Könenberg en se basant sur des travaux de Arai. Via une diagonalisation du Hamiltonien du système couplé il montre des propriétés de retour à l'équilibre. Dans une première partie nous donnerons une nouvelle approche de ces travaux en utilisant des résultats récents de Nam, Napiórkowki et Solovej sur la diagonalisation des hamiltoniens bosoniques quadratiques.Dans un premier temps, nous étudierons l'auto-adjonction des Hamiltoniens du système et on s'intéressera notamment à la diagonalisation de l'un d'eux. Dans un second temps, nous étudierons le comportement en temps long du système, nous obtenons entre-autres des formules explicites pour l'évolution à un temps donné des observables de Weyl. Ces résultats nous permettent d'étudier la variation d'énergie totale ainsi que les échanges d'énergies dans le système. Enfin on terminera en étudiant la production d'entropie dans le système que l'on reliera aux formules de variation d'énergie. Pour cela on généralisera au préalable la formule dite de production d'entropie de Jaksic et Pillet.