Aleph UCLA Undergraduate Research Journal for the Humanities and Social Sciences
Uma abordagem de potencial e massa efetiva e a descrição de espaço de fase quântico para tratar sistemas de spins: Caracterizando o tunelamento de spin e propriedades da molécula de Fe8
We have used an angle-based description and the quantum discrete phase space formalism to characterize Fe8 cluster properties. Through the angle-based approach we have calculated the the ground state barrier height, the energy splitting of the two lowest levels, the crossover temperature, the matching and the saturation magnetic field intensities. With the quantum phase space approach we also have used the energy splitting in order to study the spin tunneling of the lowest energy levels, a qualitative and a quantitative way to show the correlations between the angle and angular momentum variables via the Wigner and Husimi functions
We have used an angle-based description and the quantum discrete phase space formalism to characterize Fe8 cluster properties. Through the angle-based approach we have calculated the the ground state barrier height, the energy splitting of the two lowest levels, the crossover temperature, the matching and the saturation magnetic field intensities. With the quantum phase space approach we also have used the energy splitting in order to study the spin tunneling of the lowest energy levels, a qualitative and a quantitative way to show the correlations between the angle and angular momentum variables via the Wigner and Husimi functions
Quando temos sistemas quânticos sem análogo clássico a descrição de Weyl- Wigner, para o espaço de fase quântico, não pode ser utilizada, pois a mesma não representa graus de liberdade associados a grandezas discretas. Um exemplo desses sistemas são os estados emaranhados bipartites de spin 1/2. Para tal, se faz necessária a descrição de um espaço de fase quântico discreto e de dimensão finita. Nessa descrição é possível se obter a caracterização do emaranhamento, bem como quantificar o grau dessas correlações entre os sub sistemas; além do que, há a possibilidade de calcular a evolução temporal nessa descrição, tanto para o sistema como um todo quanto para o emaranhamento
Starting from a phenomenological Hamiltonian originally written in terms of angular momentum operators we derive a new quantum angle-based Hamiltonian that allows for a discussion on the quantum spin tunneling. The study of the applicability of the present approach, carried out in calculations with a soluble quasi-spin model, shows that we are allowed to use our method in the description of physical systems such as the Mn12-acetate molecule, as well as the octanuclear iron cluster, Fe8, in a reliable way. With the present description the interpretation of the spin tunneling is seen to be direct, the spectra and energy barriers of those systems are obtained, and it is shown that they agree with the experimental ones.
Nesta dissertação, desenvolvemos uma abordagem matemática para a mecânica estatística quântica aplicada em modelos fermiônicos com Interações de Curto Alcance, por exemplo, o modelo de Hubbard, em redes bidimensionais, através do uso do Método da Variação de Clusters (CVM), a qual prova a convergência do Método CVM para o caso de férmions na rede, estendendo os resultados previamente desenvolvidos para modelos de spins clássicos. Os modelos de campo médio, como o modelo de Curie-Weiss para sistemas clássicos, fornecem uma primeira aproximação para a descrição de transições de fase ferromagnéticas. No entanto, sua simplicidade decorre da negligência das interações locais e da correlação entre sítios próximos. O CVM oferece uma alternativa mais precisa, incorporando interações locais de forma sistemática. Nesta pesquisa, adaptamos a abordagem formal do CVM clássico ao contexto quântico fermiônico, e assim foi possível provar que o CVM é capaz de produzir a convergência da energia livre no limite termodinâmico, à medida que aumentamos o tamanho dos seus clusters.
Em magnetismo quântico, a presença de interações de troca competitivas e frustração geométrica pode suprimir o surgimento de ordem magnética de longo alcance, permitindo assim o aparecimento de novas fases da matéria, como os Líquidos de Spin Quânticos. Esses estados são caracterizados pelo conceito de ordem topológica, que está associado à degenerescência topológica do estado fundamental, a padrões de emaranhamento de longo alcance e a excitações de baixa energia fracionárias. Essas características são naturalmente incorporadas pelas teorias de pártons, nas quais operadores de spin são substituídos por bilineares fermiônicos. Além disso, introduz-se um vínculo de ocupação simples para recuperar o espaço de Hilbert físico. Para impô-lo, pode-se aplicar a projeção de Gutzwiller à respectiva solução de teoria de campo médio, criando uma correspondência entre estados fermiônicos Gaussianos e fases de Líquidos de Spin Quânticos. Neste trabalho, formulamos tais teorias e as investigamos numericamente por meio de Estados Produto de Matrizes (Matrix Product States MPS). No formalismo de códigos estabilizadores, estudamos as condições sob as quais um estado projetado possui ordem topológica. Construímos um exemplo de dois estados fermiônicos isolantes triviais que são adiabaticamente conectados, enquanto os estados projetados correspondentes passam por uma transição de fase capturada pela entropia de emaranhamento topológica, alertando contra a classificação de Líquidos de Spin Quânticos baseada exclusivamente em seus estados fermiônicos correspondentes. Além disso, introduzimos um novo algoritmo numérico para o estudo de funções de onda projetadas. A abordagem explora o formalismo da matriz de correlação de estados fermiônicos Gaussianos para determinar o tensor local do MPS em cada sítio. Ao evitar o cálculo de determinantes de Slater e permitir o uso de simetrias translacionais para obter representações de MPS infinito do estado alvo, o método proposto supera limitações de abordagens anteriores, como demonstrado por cálculos ilustrativos no modelo de HaldaneShastry. Esperamos que esses desenvolvimentos contribuam para reduzir a lacuna entre a descrição por pártons de Líquidos de Spin Quânticos e métodos numéricos variacionais para sistemas fortemente correlacionados.
Em um curso tradicional de Química Quântica, os modelos estudados para ilustrar algumas das ferramentas da Mecânica Quântica relevantes para a compreensão da estrutura da matéria no nível atômico e molecular são apresentados no que se convencionou chamar, numa apresentação mais formal, de representação da posição. Nesta representação, o estado do sistema é descrito por uma função de onda dependente das posições das partículas que o constituem. Isso leva o estudante de química a uma concepção distorcida de que na natureza os estados dos sistemas devem ser obrigatoriamente descritos em termos das posições de suas partículas. Aqui mostramos que essa não é a única forma de abordar quanticamente a descrição de um sistema físico. Uma outra forma é servir-se da representação do momento, onde a função de estado depende do momento de cada uma das partículas. Existem dois caminhos para se obter as funções de estado na representação do momento. Uma delas é fazer-se a transformada de Fourier das funções de estado na representação da posição, e a outra é buscar resolver a equação de Schrödinger diretamente na representação do momento. Neste trabalho, foram discutidas essas duas abordagens para os modelos mais comuns estudados num curso de Química Quântica, sendo eles: a partícula na caixa, o oscilador harmônico, o átomo de hidrogênio, o átomo de hélio, o íon-molécula de hidrogênio (H2 +) e a molécula de hidrogênio (H2). Buscou-se mostrar uma perspectiva diferente na descrição desses sistemas bem como uma abordagem matemática distinta da usual e, também, as dificuldades, principalmente matemáticas, de sua aplicação e ensino num curso de Química Quântica.
RESUMOEm um curso tradicional de Química Quântica, os modelos estudados para ilustrar algumas das ferramentas da Mecânica Quântica relevantes para a compreensão da estrutura da matéria no nível atômico e molecular são apresentados no que se convencionou chamar, numa apresentação mais formal, de representação da posição.Nesta representação, o estado do sistema é descrito por uma função de onda dependente das posições das partículas que o constituem.Isso leva o estudante de química a uma concepção distorcida de que na natureza os estados dos sistemas devem ser obrigatoriamente descritos em termos das posições de suas partículas.Aqui mostramos que essa não é a única forma de abordar quanticamente a descrição de um sistema físico.Uma outra forma é servir-se da representação do momento, onde a função de estado depende do momento de cada uma das partículas.Existem dois caminhos para se obter as funções de estado na representação do momento.Uma delas é fazer-se a transformada de Fourier das funções de estado na representação da posição, e a outra é buscar resolver a equação de Schrödinger diretamente na representação do momento.Neste trabalho, foram discutidas essas duas abordagens para os modelos mais comuns estudados num curso de Química Quântica, sendo eles: a partícula na caixa, o oscilador harmônico, o átomo de hidrogênio, o átomo de hélio, o íon-molécula de hidrogênio (H 2 + ) e a molécula de hidrogênio (H 2 ).Buscou-se mostrar uma perspectiva diferente na descrição desses sistemas bem como uma abordagem matemática distinta da usual e, também, as dificuldades, principalmente matemáticas, de sua aplicação e ensino num curso de Química Quântica.