La teoria cuantica puede ser generada a partir de un conjunto de ecuaciones estocasticas. Estas ecuaciones se obtienen a partir del hecho de que las soluciones de las ecuaciones de Schrodinger y Bloch estan relacionadas entre si por extension analitica en el tiempo. En el presente trabajo, las ecuaciones estocasticas se construyen a partir de variables cuanticas, a diferencia del metodo de Feynman. Como resultado del analisis de estas ecuaciones, se muestra que solo una de sus soluciones esta definida positivamente, todas las demas soluciones necesariamente cambian de signo y no pueden ser interpretadas como densidad de probabilidades.
La teoria cuantica puede ser generada a partir de un conjunto de ecuaciones estocasticas. Estas ecuaciones se obtienen a partir del hecho de que las soluciones de las ecuaciones de Schrodinger y Bloch estan relacionadas entre si por extension analitica en el tiempo. En el presente trabajo, las ecuaciones estocasticas se construyen a partir de variables cuanticas, a diferencia del metodo de Feynman. Como resultado del analisis de estas ecuaciones, se muestra que solo una de sus soluciones esta definida positivamente, todas las demas soluciones necesariamente cambian de signo y no pueden ser interpretadas como densidad de probabilidades.
En el modelo del oscilador armónico se analiza la posibilidad de que se originen ecuaciones estocásticas en la mecánica cuántica.Para ello se hace extensión analítica en el tiempo real hacia el eje imaginario de la probabilidad de transición correspondiente al proceso de Ornstein -Uhlenbeck; como resultado se obtiene el producto de la función de estado básico y la función de Creen de la ecuación de Schrodinger para el oscilador armónico.También se estudia la posibilidad de que se originen ecuaciones estocásticas en problemas con funciones propias superiores del hamiltoniano.Se muestra que la mecánica cuántica, a diferencia de la teoría euclidiana, no puede ser interpretada en términos de procesos estocásticos.
El debate sobre el determinismo e indeterminismo en la física ha alcanzado una enorme expansión con el advenimiento de la mecánica cuántica, una teoría formulada en términos probabilísticos dado que su ecuación fundamental, la ecuación de Schrödinger, no determina la dinámica de las propiedades de un sistema, sino la dinámica de sus probabilidades. Al tratar exclusivamente con probabilidades, la física cuántica parece evidenciar un indeterminismo ontológico en los valores que adquieren las variables de un sistema físico (típicamente posición, velocidad, energía, etc.). Sin embargo la evolución del estado del sistema, gobernada por la ecuación de Schrödinger, es perfectamente determinista. Dado el estado a un tiempo inicial, la ecuación de Schrödinger predice de manera determinista el estado en todo tiempo posterior. Pero las probabilidades entran en juego al predecir resultados en el proceso de medición. Según la interpretación ortodoxa, a partir de ahí la evolución es indeterminista y sólo se puede recurrir a las probabilidades que permiten calcular el estado, que hasta ese momento evolucionó manera determinista. La mecánica cuántica parece incorporar así, tanto aspectos determínisticos como indetermínisticos, y la medición parece jugar un rol central en esto.Esta característica ha dado origen un sinnúmero de interpretaciones y no poca controversia entre ellas. Bajo la visión realista, se ha intentado interpretar las probabilidades en términos epistemológicos, es decir, en términos de ignorancia subjetiva del observador. De este modo, las probabilidades sólo estarían cuantificando un indeterminismo epistemológico. Sin embargo muchos de estos intentos demostraron no estar exentos de inconsistencias al punto de poner en juego hasta la misma noción de realismo. Desde una postura no realista, por el contrario, la mecánica cuántica parece imponer un indeterminismo ontológico antes no evidenciado por la mecánica clásica, principalmente porque no es posible asignar valores bien definidos a todas las variables.En las siguientes secciones indagaremos la dualidad entre determinismo e indeterminismo que exhibe la teoría cuántica. La primera sección centra su recorrido en las interpretaciones modales, para analizar desde ella algunas características relevantes de la teoría. En la segunda sección, se desarrollará la formulación Bohmiana de la mecánica cuántica, que tratándose de una formulación realista, pone de relieve la posibilidad de un indeterminismo epistemológico compatible con determinismo ontológico.
En primer lugar, se realiza un breve repaso tanto al formalismo del funcional de influencia introducido por Feynman y Vernon para el estudio de sistemas cuanticos abiertos, como al formalismo de historias consistentes y al mecanismo de decoherencia inducida por el ambiente. A continuacion se explica como se puede introducir una descripcion estocastica para sistemas cuanticos abiertos basada en ecuaciones de tipo Langevin que permite obtener informacion sobre propiedades cuanticas del sistema incluso en ausencia de decoherencia. Se obtiene una expresion para la funcion de Wigner reducida como un doble promedio respecto a todas las realizaciones de la fuente estocastica de la ecuacion de Langevin y respecto a las condiciones iniciales distribuidas segun la funcion de Wigner reducida inicial. Este resultado se aprovecha para proporcionar una deduccion de la ecuacion maestra alternativa a las ya existentes en la literatura. Asimismo, se obtiene una expresion explicita en terminos de elementos asociados a la descripcion estocastica para el funcional generador closed time path (CTP) de las funciones de correlacion cuanticas del sistema, y se demuestra que las funciones de correlacion estocasticas coinciden exactamente con un subconjunto de ellas. Los resultados anteriores se extienden a sistemas abiertos no lineales y se pone de manifiesto la necesidad de considerar procesos estocasticos generalizados con funciones de distribucion que pueden tomar valores negativos. En particular, se deduce la ecuacion maestra a primer orden relevante en la constante de Planck y a orden cuadratico en la constante de acoplo entre el sistema y el ambiente. Ademas se describe brevemente como dicha ecuacion maestra se puede aplicar al estudio de la desintegracion del vacio en teoria cuantica de campos planteado como un problema de sistemas cuanticos abiertos. Los primeros resultados en este sentido parecen indicar un aumento de
El análisis de los vínculos que pueden ser establecidos entre la lógica cuántica, las semánticas no deterministas de Nmatrices y las teorías de cuasiconjuntos es el núcleo central de este trabajo. La necesidad de tal análisis ha surgido de forma natural luego de que la relación entre Nmatrices y lógica cuántica quedó explicitada en un trabajo previo: los estados cuánticos, entendidos como medida de probabilidad, pueden ser interpretados como valuaciones de una cierta Nmatriz para el retículo cuántico de proyectores. El Teorema de Kochen-Specker priva a la lógica cuántica de veritativo funcionalidad, pero no de admitir una semántica no determinista Nmatricial. Esto es, la semántica de Nmatrices es compatible con los requerimientos semánticos y algebraicos del retículo de proyectores cuánticos. Si tenemos en cuenta que las teorías de cuasiconjuntos (Quasi-sets y Quasets) han surgido motivadas por la ontología cuántica, que las teorías de conjuntos están fuertemente vinculadas con la lógica y que originalmente uno de los objetivos de la teoría de quasets QST era brindar una semántica para los entes cuánticos, entonces el puente establecido entre la lógica cuántica y las semánticas no deterministas puede ser visto como el detonador que inicia la búsqueda de vínculos entre estas teorías. Por un lado, la lógica cuántica de Birkhoff y von Neumann está comprometida con la representación de espacios de Hilbert de la Mecánica cuántica. Por otro lado, esta representación (como quedará claro más adelante) está comprometida con una ontología de individuos. Por lo tanto, la lógica cuántica y la ontología están vinculadas a través del formalismo de espacios de Hilbert. Como dijimos, las teorías de cuasiconjuntos han surgido motivadas por la ontología de los entes del micromundo. Esto implica que los cuasiconjuntos y la lógica cuántica mantendrían de forma indirecta cierta relación.
Resumen.En estas notas se exponen con detalle y de manera autocontenida las herramientas básicas de la teoría de los espacios de Hilbert complejos de dimensión infinita, que son necesarias para un primer estudio, matemáticamente riguroso, de la mecánica cuántica.En la última parte incluimos una introducción axiomática a la mecánica cuántica y una breve exposición del modelo del oscilador armónico y de la teoría de estados cuánticos Gaussianos. IntroducciónLa mecánica cuántica es la rama de la física que estudia los fenómenos físicos que ocurren en escalas de longitudes muy pequeñas.El calificativo "cuántico" surge de, en contraste con la mecánica clásica, considerar algunas cantidades que toman solamente valores discretos i.e., en "paquetes" o quantum-quanta en latín.Aún cuando hay muchas nociones de la mecánica cuántica que aún suscitan controversia, esta teoría se aplica exitosamente para describir el comportamiento de sistema físicos y sus predicciones son consistentes con los experimentos.Los sistemas físicos que estudia la mecánica cuántica, exhiben propiedades ondulatorias que se pueden describir mediante una ecuación de onda, por ejemplo, la bien conocida "ecuación de Schrödinger", que describe la evolución temporal de una partícula subatómica con masa, en el contexto no relativista.En estas notas trabajamos con el formalismo de matrices de densidad, que permite describir estados que son mezclas de estados puros.En consecuencia, este enfoque resulta ser una herramienta poderosa para describir sistemas cuánticos más generales, por ejemplo, acoplamientos (ensambles) de muchos sistemas cuánticos idénticos.El material que se presenta en este trabajo está dividido en cuatro secciones compuestas de la siguiente manera: la sección 1 contiene una selección de resultados de índole geométrico y analítico de la teoría de espacios de Hilbert: ortogonalidad y descomposición ortogonal, convexidad, operadores lineales, norma de operadores y funcionales lineales.La sección 2 se concentra en la clase de los operadores compactos, particularmente en los operadores de la clase de traza y de manera especial, en los operadores de Hilbert-Schmidt.Es relevante mencionar que los estados cuánticos se representan mediante operadores positivos de traza uno.La sección 3 se dedica al estudio de operadores no acotados que pueden no estar densamente definidos en un espacio de Hilbert.Abordamos también el estudio de operadores cerrados y cerrables, el adjunto de un operador y una introducción a la teoría espectral de operadores.Una parte esencial de esta sección son los operadores simétricos e isométricos, los cuales exhiben similitudes en sus propiedades geométricas y espectrales.Cabe señalar que las observables físicas se representan por operadores simétricos típicamente no acotados.Por último, en la sección 4 se discuten brevemente postulados de la mecánica cuántica en el marco del formalismo de matrices de densidad, se revisa el modelo del oscilador armónico cuántico y se ofrece una introducción a los estados cuánticos Gaussianos.Al final de cada sección incluimos una selección de problemas que sirven para complementar estas notas.El lector interesado puede profundizar en el estudio de resultados aquí expuestos, desde los más básicos hasta los más avanzados, en la literatura clásica de operadores lineales, por ejemplo en [1,2,3,4,13,20].
En una serie de trabajos previos analizamos una formulación de la Mecánica Cuántica Relativista basada en una parametrización de la ecuación de Dirac originalmente propuesta por Feynman. En este trabajo discutimos la interpretación del producto escalar indefinido introducido anteriormente. El signo de la norma posibilita clasificar a los estados en estados de "partícula" y "antipartícula". Se utiliza la extensión del álgebra de Poincaré propuesta por Johnson de modo tal de incluir un cuadrioperador posición en la teoría y se discute el problema de la localización en este marco, el cual puede ser resuelto manteniendo la covariancia a expensas de considerar estados de masa indefinida